DSC
51

197

10.2. Układy o jednej masie skupionej

Równaniu (10.2) nadamy teraz następującą postać:

Q(t) + 2₇Q(t) + u>²Q(t) = -lp(t),

(10.3)

a po wprowadzeniu oznaczeń 27 = C/M, w² = K/M i korzystając z zasady superpozycji przedstawimy rozwiązanie Q(t) w postaci sumy

Q(t) — Qoa(t) + Qob{t) + Q_p(t).

(10.4)

Kolejne składniki tej sumy reprezentują niezależne od siebie ruchy składowe, wywołane trzema różnymi przyczynami.

Omówimy kolejno te trzy niezależne od siebie przyczyny zakładając, że dla i < to = 0 układ pozostaje w spoczynku (jego całkowita energia E° =

E°_k + E°_p= 0).

Przypadek 1. W chwili początkowej t = to ⁼ 0 wychylamy skokowo układ z jego położenia równowagi o wartość Q(to) = Qo gl 0. Energia poten-

cjalna układu E_v wzrasta od zera do wartości E_p = \KQq.

Przypadek 2. W chwili początkowej t = to = 1 udzielamy układowi pewnej energii kinetycznej E® = jMQq (a co za tym idzie 1 prędkości początkowej o wartości Qo), działając na jego masę M impulsem chwilowym o wartości I — MQo, Qo i¹ 0.

Przypadek 3. W chwili początkowej t — to = 0 zaczynamy działać na układ (znajdujący się w spoczynku) obciążeniem zewnętrznym P(t).

Występującą we wzorze (10.4) funkcję a(t), nazywaną (skokową) funkcją przejścia, otrzymamy rozwiązując jednorodne równanie (10.3) z warunkami początkowymi Q₀ i i Qo i 0. Nie wdając się w szczegóły matematyczne, wynik tego rozwiązania możemy zapisać w postaci

(10.5)

Podobnie wyznaczenie funkcji b(t), nazywanej impulsową funkcją przejścia, wymaga rozwiązania jednorodnego równania (10.3), ale tym razem z warunkami początkowymi Qo = 0, Qq = l. Rozwiązanie to ma postać

(10.6)

i określa wartość odpowiedzi występującej w chwili t, a wywołanej impulsem chwilowym o wartości I — MQq = M, działającym w chwili t — 0. Przyłożenie do masy M impulsu o takiej właśnie wartości powoduje nadanie tej masie