fizyka008

Przykład. Ciało rzucone pionowo do góry wznosi się na wysokość h w ciągu czasu T, a następnie spada na miejsce, z którego zostało wyrzucone. Na trasie ziemia — najwyższy punkt — ziemia, mamy = 0, nato-

Drogę s przebytą przez ciało można obliczyć bezpośrednio z równania x = *(/), jeśli są określone chwile zawracania, w których prędkość zmienia zwrot; na rys. 2-2 są to chwile t₂ i /₄. W tych chwilach następuje zmiana znaku składowej prędkości. Prędkość jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej określonej równaniem x = x(t), co pokazano dla przykładu dla chwil t₀ i /, na rys. 2-2. Dla chwili zawracania t₂

i l₄ prędkość jest równa zeru. Jak widać z rysunku droga s przebyta w czasie t₃ -i_l (jedna chwila zawracania) wynosi

« = Ix(r₁)-x(/₂)| + |x(f₂)-x(/₃)|    (2.6)

Wzór ten można łatwo uogólnić na dowolną liczbę chwil zawracania (np. na rys. 2-2 droga j(r) = 5,+.j₂+j₃).

Analogicznie do określenia prędkości średniej dla dowolnego ruchu przyspieszenie średnie wyraża się wzorem

a_u

h-ti

(2.7)

gdzie r(/₂) i «(/,) są wektorami prędkości w chwilach t₂ i t_x.

Kinematyczne równanie ruchu x = x(t) i otrzymane przez różniczko-

. . dx    d²x

wanie rownosci v — ——, a —

dt    dt^Y

są spełnione w każdej chwili czasu.

Oznacza to, że jeśli w pewnej chwili /, położenie ciała jest określone przez .v,, prędkość przez v_lt a przyspieszenie przez a_lt wówczas .v, = .v(r,), e, s u(f,), a_x = a(/,).

Przykład. Rozważmy ruch prostoliniowy wzdłuż osi Ox opisany kinematycznym równaniem ruchu x(/) = 3/² + 2sin 5/. Przez różniczkowanie otrzymujemy: v(t) = 6/+10 cos St, a(r) = 6-50 sin 51. Oznacza to, żc w dowolnych chwilach t₂,... parametry określające ruch wynoszą odpowiednio: x, = 3/J + 2sin 5/,, t>, = 6/! +10cos 5/,, a_x = 6—50 sin 5f_t; x2 = 3/^ + 2sin 5(₂, v₂ = 6t₂+ 10cos 5r₂. a₂ = 6—50sin5r₂ itd.

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny. Gdy siła wypadkowa F_w działająca na ciało nie zmienia się w czasie, ciało porusza się ruchem jednostajnie zmiennym, a = const. Tor, po którym porusza się wówczas ciało, zależy od kierunku prędkości początkowej r₀. Gdy zwrot wektora jest zgodny lub przeciwny do zwrotu wektora a (również do zwrotu F_w), ruch odbywa się po linii prostej. Obierając wówczas np. kierunek osi Ox układu współrzędnych zgodnie z kierunkiem wektora r₀, otrzymujemy kinematyczne równania ruchu jednostajnie zmiennego postaci

x (f) = x₀ +1>₀1 +    (2.8a)

v(t)=*v₀ + at    (2.8b)

gdzie .v₀ — współrzędna określająca położenie początkowe (.v(0) = .v₀), ” prędkość początkowa (u(0) = v₀), a - przyspieszenie. Zwróćmy uwagę, żc zgodnie z definicją prędkości równanie (2.8b) wynika z (2.8a). Różniczkując z kolei v (/) względem t otrzymamy, zgodnie z definicją, przyspieszenie a.

Dwa szczególne przypadki ruchu jednostajnie zmiennego: rzut pionowy w dół i rzut pionowy do góry, są przedstawione na rys. 2-3 i 2-4; n«I to wykresy funkcji x = .v(f) określonej wzorem (2-8aJ.

21