z6

Rozdział 1

Do rozwiązania poniższego zadania potrzebny będzie wzór na pierwiastki równania kwadratowego.

Dla az² + bz + c = 0 pierwiastki wynoszą:

-    _ -b+ó

^Z2    2 a ’

gdzie 5 jest jednym z pierwiastków kwadratowych liczby zespolonej & = b² - 4ac (<5 = -/K lub 5 = + JA).

6. Rozwiązać równania zespolone:

a) z² + 1 = 0 A = -4 = M²

JK = 2/ lub Ja = -2/

Przyjmujemy, że 5 = 2/ i dla tej wartości dalej rozwiązujemy zadanie (bez znaczenia jest czy przyjmiemy 5 = 2/ czy 5 = —2ż, ponieważ wyniki dla obu wartości są takie same).

.    _ -b-5 _

^1 -Zl =

-2 i

2 a -b+ó 2 a

_ 2 i _

i

(dla ó = -2/ mamyzi = i, z₂ = -/) e) z² + 3z + 5 = 0 A = -11 = liż²

Ja = ±ijn

dla 5 = iju otrzymujemy:

-3-iju 3    .Jn .

2    ^- 2 2 ¹

. _ -3-H-yn _    3 , vu j

^Z2 2 2 ⁺ 2 ⁷

f) z⁴ - 5z² - 6 = 0

Aby rozwiązać to równanie musimy za z²podstwić t (z² = t).W wyniku podstawienia otrzymujemy:

t² - 5t-6 = 0

JT, =1

t\ =    = “I = Ż²

t2 = ■¥■ = 6 z² = ż² lub z² = 6

Zi = z Z2 = -i z₃ = J6 Zą = — JE

I) z⁴ + (15 + 7ż)z² + 8 - 15ż = 0 podst. z² = t

t² + (15 + 7ż)r+ 8- 15ż = 0 A_t = (15 + 7ż)² -4(8- 15r) = 225 + 210Ż + 49Ż² - 32 + 60Ż =

144 + 270?

JT: = 7144 + 270Ż

(^144 + 270ż można zapisać jako

liczbę zespoloną w postaci a+ bi)

J144 + 270? = a+bi

144 + 270? = a² + 2abi + b²i²

144 + 270? = a² + 2cibi-b²

Tworzymy układ równań, w którym

wartości rzeczywiste lewej strony muszą

się równać wartościom strony prawej,

oraz wartości urojone lewej strony muszą

się równać wartościom urojonym strony prawej.

2abi = 270?

a² -b² = 144

2ab = 270

b= JE-

² - (i|M² = 144 - 144 = 0

a

a²-

18225

a-

Mnożymi obie strony przez a² i otrzymujemy

a⁴ - 144<r - 18225 = 0

Za a² podstawiamy z (a² = z i z > 0)

z² - 144z - 18225 = 0

A_z = 93636

JI.7 = 306

= -81

= 225

z\

Zl

144-306

2

144+306

2

Ponieważ z > 0 to otrzymujemy tylko z₂ = 225

a² = 225 a = ±15

by = -12L = ill = 9

¹ a\    15

a₂ = -15

b₂ = izl = m. = -9

² a:    -15

Otrzymane wartości podstawiamy do równania /I44+T7Ó7 = a+bi ^144 + 270ż = 15 + 9ż lub