Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 1
5. ����Ł�
5. METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD LICZBOWY
5.1. Działanie sił zewnętrznych
Znalez
ć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym na rys. 5.1.
3
8kN 1.0
EJ
q = 6 kN/m
2
1
0,3EJ
4.0
0
3.0 5.0
[m]
Rys. 5.1. Rama płaska statycznie niewyznaczalna
Zanim przyjmiemy układ podstawowy metody przemieszczeń, zauważmy, że pręt 1-3 jest elementem
statycznie wyznaczalnym. Możemy zatem wyciąć ten pręt myślowo, a następnie obciążyć pozostałą część
ramy siłami, które powstaną w utwierdzeniu tego pręta.
8kN
1.0
R = 8 + 6 �1 = 14 [kN]
q = 6 kN/m
[m]
M = 8 �1 + 6 �1� 1
= 11 [kNm]
2
Rys. 5.2. Statycznie wyznaczalna część ramy
Teraz przyjmujemy układ podstawowy
11 kNm
"
q = 6 kN/m 14 kN
Ć
EJ
0,3EJ
Rys. 5.3. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 2
oraz związany z nim układ równań kanonicznych:
r11 �ą�ąr12 �ą�ąr1 P=0
(5.1)
{
r21 �ą�ąr22 �ą�ąr2 P=0
Konstrukcja wykonana jest z profili dwuteowych o następujących wielkościach charakterystycznych
przekrojów:
EJ Śą I140HEB
h=0,14 m
J =1510 cm4
x
0,3 EJ Śą I100HEB
h=0,10 m
J =453 cm4
x
Wartości momentów w poszczególnych stanach, od jednostkowych przemieszczeń obliczamy ze wzorów
transformacyjnych.
" Stan Ć = 1:
Ć=1
4�0,3EJ
r11 r21
5
3�EJ
5
M1
2�0,3EJ
5
Rys. 5.4. Wykres momentów w układzie podstawowym powstały od obrotu Ć = 1 (stan I)
1
W stanie D = 1 trzeba najpierw znalez
ć kąty obrotu cięciw prętów �. W tym celu tworzymy łańcuch
kinematyczny
"=1
1
1
2
�12
4.0
�01
0
0
3.0 5.0
[m]
Rys. 5.5. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku D = 1
Z równań łańcucha wyznaczamy kąty obrotu cięciw prętów:
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 3
012 Żą �ą01�"3�ą�ą12�"5=0
012 Śą �ą01�"4�ą�ą12�"0=1
1
�ą01=
4
3�"�ą 3
�ą12=- =-
01
5 20
a następnie rysujemy wykresy momentów:
" Stan " = 1:
"=1
r12
r22
3�3EJ
100
6�0,3EJ
20
6�0,3EJ
M2
20
Rys. 5.6. Wykres momentów w układzie podstawowym powstały od przesuwu D = 1 (stan II)
Na podstawie powyższych wielkości możemy wyznaczyć reakcje po kierunkach wprowadzonych zmiennych:
 z równowagi węzłów:
3 4�"0,3
r11= EJ �ą EJ =0,84 EJ
5 5
6�"0,3 3�"3
r12= - EJ =śą0,09-0,09źą EJ =0
śą źą
20 100
 z równania pracy wirtualnej:
3�"3 EJ 3
ą
r22�"1-2�"6�"0,3 EJ�"1 �ą �" - =0
śą źą
5�"4 4 5�"20 20
r22=0,045 EJ �ą0,0135 EJ =0,0585 EJ
Na tym etapie obliczeń warto skontrolować wartości obliczonych współczynników r . Jeżeli zyskamy
ik
pewność, że są one prawidłowe, unikniemy powtórnego rozwiązywania układu równań kanonicznych.
Sprawdzenia współczynników r dokonamy, korzystając z równania pracy wirtualnej (5.2). W tym celu
ik
wykorzystamy narysowane wcześniej wykresy momentów w stanach jednostkowych.
ąZ ą
L =LW (5.2)
ąZ= Pi �ąi
ą
L
"
i
ą
ąW= M M ds
L
+"
EJ
s
Obliczamy pracę sił układu I (stan Ć = 1) na przemieszczeniach układu II (stan " = 1)
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 4
ą
M �"M
ąZ ąW 1 2
L =r21�"ą ds (5.3)
1�ąr11�"0 L =
"
EJ
1�"0,6 1 1�"0,24 2�"0,09 1�"0,09 1
ą
LW= EJ�"5�"2�"0,09 EJ�"ą�" �ą EJ�"5�" - EJ �ą EJ �" �ą
1
śą źą
2 3 EJ 2 3 3 0,3 EJ
2�"0,09 1�"0,09 1 0,018�"EJ
�ą1�"0,12 EJ�"5�" - EJ �ą EJ �" =0,09 EJ - -0,09�"EJ =0
śą źą
2 3 3 0,3 EJ 0,3 0,3
Po porównaniu pracy sił zewnętrznych do pracy sił wewnętrznych otrzymujemy:
r21=0
Traktując stan Ć jako rzeczywisty, a zarazem wirtualny układ otrzymujemy:
ą
M �"M
ąZ=r11�"ą ąW= 1 1 ds
L 1�ąr21�"0 L (5.4)
"
EJ
1�"0,12 1�ą
ąW= 1 �"1�"0,6 EJ�"5�"2�"0,06 EJ�"ą 1 �" 1�"0,24 EJ�"5�" 2�"0,24 EJ - EJ �"ą
L 1�ą
śą źą
[
EJ 2 3 0,3 EJ 2 3 3
1�"0,12 2�"0,12 1�"0,24 1
�ą EJ�"5�" EJ - EJ �"ą =śą0,6 EJ �ą0,24 EJ źą�"ą EJ�"ą
1=0,84 1
śą źą
]
2 3 3
ą
Po wyeliminowaniu 1 i podstawieniu obliczonych wartości do równania (5.2):
r11=0,84 EJ
Na koniec stan " = 1 przyjmujemy raz jako układ I (siły) a raz jako układ II (przemieszczenia):
ą
M �"M
ąZ ąW 2 2
L =r22�"ą ds (5.5)
1�ąr12�"0 L =
"
EJ
1 1�"0,09 2�"0,09 1�"0,09 1�ą
ą
LW= �"1�"0,09 EJ�"5�"2�"0,09 EJ�"ą 1 �" EJ�"5�" EJ - EJ �"ą
1�ą
śą źą
[
EJ 2 3 0,3 EJ 2 3 3
1�"0,09 2�"0,09 1�"0,09 1
�ą EJ�"5�" EJ - EJ �"ą =śą0,0135 EJ �ą0,0225 EJ �ą0,0225 EJ źą�"ą 1
1=0,0585 EJ�"ą
śą źą
]
2 3 3
ą
Po wyeliminowaniu 1 i podstawieniu obliczonych wartości do równania (5.2):
r22=0,0585 EJ
Wartości współczynników macierzy sztywności pokrywają się z wyznaczonymi wcześniej, możemy przejść
zatem do dalszych obliczeń.
Kolejnym etapem w rozwiązywaniu zadania jest wyznaczenie reakcji od obciążeń zewnętrznych
(stan P). W tym celu rysujemy wykres momentów od obciążenia zewnętrznego w układzie kinematycznie
wyznaczalnym.
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 5
11kNm
6�42
r2P
r1P
12
14kN
24kN
Mpo
6�42
12
Rys. 5.7. Wykres momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego
i korzystając z równania równowagi w węz
le, oraz z zasady pracy wirtualnej wyznaczamy brakujące reakcje:
2
r1 P=6�"4 -11=-3[kNm]
12
W równaniu pracy wirtualnej oprócz momentów pracujących na kątach � trzeba uwzględnić obciążenie
pracujące na przemieszczeniach:
ą
r2 P�"ą �ą14�"ą
1�ą24�"1 1=0
2
r2 P=-26 [kN ]
Mając wszystkie współczynniki możemy wyznaczyć szukane przemieszczenia węzłów z układu równań
kanonicznych:
�ą=3,5714286
0,84 EJ�"�ą=3
EJ

{
0,0585 EJ�"�ą=26
{�ą=444,4444444
EJ
Korzystając ze wzoru superpozycyjnego
śąnźą
M =M �ąM �"�ą�ąM �"�ą (5.6)
P P 1 2
możemy wyliczyć wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w poszczególnych węzłach analizowanej
ramy.
6�"42 2�"0,3 EJ 3,57143 6�"0,3 EJ 444,44444
M =- �ą �" - �" =-8�ą0,42857-40=-47,57143 [kNm]
01
12 5 EJ 20 EJ
M =8�ą2�"0,42857-40=-31,14286 [kNm]
10
3 3 3
M = EJ�"3,57143 �ą EJ�" �"444,44444 =42,14286 [kNm]
12
5 EJ 5 20 EJ
W wykresie ostatecznym (rys. 5.8) nie wolno zapomnieć o statycznie wyznaczalnej części ramy.
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 6
3
11
1 2
42,143
31,143
Mp(n) [kNm]
0
47,571
Rys. 5.8. Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym
Obciążając poszczególne pręty wyznaczonymi momentami określamy wartości sił tnących.
42,1429 kNm
2
1
R12
Rys. 5.9. Przęsło 1-2
Najpierw poddamy analizie przęsło 1-2. Z sumy momentów względem punktu 2 (rys. 5.9) możemy wyznaczyć
reakcje R .
12
M =0
"
2
42,1429
R12= =8,42857 [kN ]
5,0
Wynik ten pozwala nam na bezpośrednie wyznaczenie siły tnącej na przęśle 1-2, gdyż jest ona na tym odcinku
stała (brak obciążenia ciągłego).
Teraz zajmijmy się przęsłem 1-0. Aby uzyskać wynik w postaci sił tnących należy wyliczyć obie reakcje R i
10
R .
01
31,1429 kNm
q = 6 kN/m
1
R10
4,0
0
ą
R01
47,5714 kNm
[m]
3,0
Rys. 5.10. Przęsło 0 -1
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
0
,
5
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 7
M : 0-47,5714-31,1429-R10�"5�ą6�"4�"2=0
"
0
R10=-6,14286 [kN ]
M : 0-47,5714-31,1429�ąR01�"5-6�"4�"2=0
"
1
R01=25,34289 [kN ]
Odcinek 1-3 ramy jak zauważyliśmy wcześniej jest statycznie wyznaczalny.
q = 6 kN/m
8 kN
3
ą1-ą1
y
1
ą
Rys. 5.11. Przęsło 1-3
Do wyznaczenia sił wewnętrznych potrzebne na będą funkcje sinus i cosinus kąta nachylenia wspornika
względem poziomu. Z rysunku 5.10 odczytujemy:
4 3
sin �ą= cos �ą=
5 5
Zapiszmy równanie tnącej rzutując wszystkie siły wewnętrzne na kierunek prostopadły do osi belki.
T =8�"sin �ą�ą6�"y�"sin �ą
�ą
Z tego równania, podstawiając odpowiednio za y najpierw 0, a potem 1 uzyskujemy wartości siły tnącej na
końcach przęsła.
T =8�"4 =6,4 [kN ]
31
5
T =8�"4 �ą6�"1�"4 =11,2[kN ]
13
5 5
Z uzyskanych wyników możemy narysować wykres sił tnących dla całej ramy.
6,4
8,4286
11,2
+
-
6,143
+
25,343
Tp(n) [kN]
Rys. 5.12. Wykres sił tnących w układzie statycznie niewyznaczalnym
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 8
Na koniec wyznaczamy rozkład sił normalnych:
 dla pręta 1-3 suma rzutów wszystkich sił wewnętrznych na kierunek osi pręta (rys. 5.11) prowadzi do
równania:
N =8�"cos �ą�ą6�"y�"cos �ą
�ą
po podstawieniu za zmienną y punktów końcowych:
N śą y=0źą=4,8 [kN ]
31
N śą y=1źą=8,4 [kN ]
13
 z równowagi węzła 2 na podstawie rys. 5.13 wyznaczamy N :
21
N =0
21
N21
2
8,4286
Rys. 5.13. Siły działające na węzeł 2
 z równowagi węzła 1 (suma rzutów sił na kierunek 0-1-3):
8,4
11,4
0
1
6,1429
8,4286
N10
Rys. 5.14. Siły działające na węzeł 1
N =8,4�ą8,42857�"sin�ą=15,14286 [kN ]
10
 z warunku równowagi pręta 0-1:
q = 6 kN/m
15,1429
N01
Rys. 5.15. Rozkład sił normalnych na pręcie 0-1
N =15,1429�ą6�"4�"cos�ą=29,543[kN ]
01
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 9
Na podstawie tych wyników narysujmy wykres sił normalnych.
4,8
8,4
+
15,143
0
+
Np(n) [kN]
29,543
Rys. 5.16. Wykres sił normalnych w układzie statycznie niewyznaczalnym
W celu kontroli poprawności obliczeń dokonamy sprawdzenia statycznego.
8,4
11,2
q = 6 kN/m
11
1
8,4286
25,3429
29,5429
47,5714
Rys. 5.17. Sprawdzenie statyczne
Zapisujemy trzy równania równowagi dla części konstrukcji (rys. 5.17) obciążonej siłami zewnętrznymi i
siłami wewnętrznymi:
M =0
"
1
11-8,42857�"5-47,57143�ą25,34286�"5-6�"4�"2=-0,8�"10-6 [kNm]H"0
X =0
"
6�"4�ą8,4�"cos �ą�ą11,2�"sin �ą-29,54286�"cos �ą-25,34286�"sin�ą=-0,036�"10-6 [kN ]H"0
Y =0
"
8,4�"sin�ą-11,2�"cos �ą�ą8,42857�ą25,34286�"cos �ą-29,54286�"sin �ą=0,072�"10-6 [kN ]H"0
Ponieważ równania są spełnione, możemy stwierdzić, że statyczna niezmienność jest zapewniona.
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 10
5.2. Wpływ osiadań podpór
Przeanalizujmy tę samą ramę w przypadku kiedy podpory doznają przemieszczeń.
3
EJ
2
1
0,3EJ
4.0
0,03 m
0
0,006 rad
[m]
3.0 5.0
Rys. 5.18. Rama płaska statycznie niewyznaczalna doznająca przemieszczeń w podporach
Ponieważ pręt 1-3 jest elementem statycznie wyznaczalnym, osiadania podpór nie wywołają w nim sił
wewnętrznych. Dlatego pominiemy go w dalszych obliczeniach i wykorzystamy wcześniejszy układ
podstawowy
Ć
"
EJ
0,3EJ
0,03 m
0,006 rad
Rys. 5.19. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą
oraz wyznaczoną dla niego macierz sztywności. W układzie równań kanonicznych trzeba jedynie uwzględnić
inne wyrazy wolne:
0,84 EJ�"�ą�ąr1 �ą=0
{
0,0585 EJ�"�ą�ąr2 �ą=0
W celu ich wyznaczenia obliczamy kąty obrotów cięciw prętów powstałe na skutek osiadania podpór:
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 11
2
1
�12(")
�01(") 4.0
0,03 m
0
0,006 rad
[m]
3.0 5.0
Rys. 5.20. Kąty obrotu cięciw prętów od osiadania podpór
012 Śą �ąśą�ąźą�"4�ą�ąśą�ąźą�"0=0 Śą �ąśą�ąźą=0
01 12 01
012 Żą �ąśą�ąźą�"3�ą�ąśą�ąźą�"5=0,03 Śą �ąśą�ąźą=0,006 [rad ]
01 12 12
oraz
�ąśą�ąźą=0,006 [rad ]
0
Obliczone wartości podstawiamy do wzorów transformacyjnych i rysujemy wykres momentów od osiadań
podpór,
3�0,006�EJ
r1"
5 r2"
2�0,3�0,006�EJ
5
M"
4�0,3�0,006�EJ
5
Rys. 5.21. Wykres momentów w układzie podstawowym od osiadania podpór
a następnie, korzystając z równowagi sił w węz
le oraz z zasady pracy wirtualnej określamy szukane reakcje:
2�"0,3
r1 �ą=-3 EJ�"0,006�ą EJ�"0,006 =-0,00432 EJ
5 5
ą
3 3
r2 �ą�"ą 6�"0,3 EJ �"0,006�"1 - EJ�"0,006�" - �"ą =0
1- 1
śą źą
5 4 5 20
r2 �ą=0
Znając wartości reakcji r możemy wyznaczyć przemieszczenia węzłów z układu równań kanonicznych:
i"
0,84 EJ�"�ą-0,00432 EJ =0
{
0,0585 EJ�"�ą�ą0=0
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 12
Wynoszą one:
�ą=5,142851�"10-3
{
�ą=0
Korzystając ze wzoru superpozycyjnego możemy wyliczyć wartości momentów w układzie niewyznaczalnym
w poszczególnych węzłach ramy. Ponieważ jedno z przemieszczeń jest równe zero wzór superpozycyjny
upraszcza się:
śąnźą
M =M �ąM �"�ą (5.7)
�ą �ą 1
5,1429
M"(n) �10-4EJ
8,2286
Rys. 5.22. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór
Wartości sił tnących wyznaczamy, podobnie jak poprzednio, analizując oddzielnie każdy pręt obciążony
wyznaczonymi momentami.
1,02857
+
+
T"(n) �10-4EJ
0,61714
Rys. 5.23. Wykres sił tnących w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór
Siłę normalną N wyliczymy na podstawie warunku równowagi sił w węz
le 1 (rys. 5.24).
10
0
1
0,617143
1,0285714
N10
Rys. 5.24. Siły działające w węz
le 1
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 13
Po zrzutowaniu wszystkich sił na kierunek pręta 0-1 otrzymujemy:
N =-1,02857�"sin�ą=-0,82286 [kN ]
10
a normalna w przęśle 1-2 jest, tak jak poprzednio, równa zeru.
-
N"(n) �10-4EJ
0,822857
Rys. 5.25. Wykres sił normalnych w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór
Ponownie jak w poprzednim przypadku w celu sprawdzenia poprawności obliczeń dokonamy
sprawdzenia statycznego:
0
1,0285714
0
0,617143
8,22857
0,822857
Rys. 5.26. Sprawdzenie statyczne w ramie obciążonej osiadaniami podpór
Trzy równania ułożone dla części ramy obciążonej tylko siłami wewnętrznymi:
M =0
"
0
8,22857-8�"1,02857=1,2�"10-6 [kNm]H"0
X =0
"
0,822857�"cos �ą-0,6171426�"sin �ą=1,2�"10-7 [kN ]H"0
Y =0
"
0,822857�"sin�ą�ą0,6171426�"cos �ą-1,0285714=-2,4�"10-7 [kN ]H"0
są spełnione, co świadczy o poprawności obliczeń.
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 14
5.3. Wpływ temperatury
Ponownie poddajmy analizie tę samą ramę, tym razem obciążając ją termicznie.
40�C
3
EJ
2
1
-20�C
0,3EJ
20�C
0
Rys. 5.27. Rama płaska statycznie niewyznaczalna obciążona temperaturą
Podobnie jak w przypadku osiadań, temperatura nie wywoła sił przekrojowych w statycznie
wyznaczalnym pręcie 1-3. Dlatego, aby wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych, powstałych na skutek działania
temperatury, ponownie wykorzystamy wcześniej przyjęty układ podstawowy i związaną z nim macierz
sztywności.
40�C
Ć
"
EJ
-20�C
0,3EJ
20�C
Rys. 5.28. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą
Działanie temperatury należy rozdzielić na dwa przypadki: nierównomiernego i równomiernego ogrzania.
Aby wyznaczyć reakcje od nierównomiernego ogrzania trzeba znalez
ć zależności temperaturowe na
poszczególnych prętach układu:
(5.8)
�ąt= tg-td
#" #"
o
�ąt01=40 C
o
�ą t12=20 C
Dalej tworzymy wykres momentów odkładając po stronie  zimniejszej na poszczególnych prętach momenty o
�ąt �ąt
3
wartości EJ �ąt dla pręta obustronnie utwierdzonego i EJ �ąt dla pręta z przegubem (tabela 4.1).
h 2 h
Zakładamy, że konstrukcja wykonana jest ze stali, dla której współczynnik rozszerzalności termicznej wynosi:
�ąt=1,2�"10-5 o1
[ ]
C
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 15
r1"t
1
2
r2"t
0,3�40�EJ�ąt
0,1
1,5�20�EJ�ąt
0,14
-0,3�40�EJ�ąt
0,1
M"t
0
Rys. 5.29. Wykres momentów w układzie podstawowym od różnicy temperatur Dt
Korzystając z równowagi w węz
le oraz z zasady pracy wirtualnej wyznaczamy reakcje:
3�" 20
r1 �ą t=0,3�"40 EJ�"�ąt�ą EJ�"�ąt=334,285714 EJ�"�ąt
0,1 2 0,14
ą
3
r2 �ą t�"ą �ą EJ�"�ąt�" - �"ą =0
1�ą0�"1 3�" 20 1
śą źą
4 2 0,14 20
r2 �ąt=32,142857 EJ�"�ąt
Drugim przypadkiem obciążenia jest równomierne działanie temperatury. Temperaturę w prętach
układu obliczamy jako różnicę pomiędzy temperaturą średnią i temperaturą montażu:
tg�ątd
t= -tm (5.9)
2
o
Przyjmując tm=10 C
otrzymujemy:
Ć
2
"
t12=20�C
1 EJ
t10=-10�C
0,3EJ
0
Rys. 5.30. Układ podstawowy obciążony temperaturą t
W celu wyznaczenia kątów obrotów cięciw prętów tworzymy łańcuch kinematyczny uwzględniający
wydłużenia prętów na wskutek równomiernego ogrzania konstrukcji:
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 16
2
1
�12(t)
�01(t)
4.0
0
3.0 5.0
[m]
Rys. 5.31. Kąty obrotu cięciw prętów od równomiernego ogrzania
o o
012 Śą �ąśąt źą�"4�ą�ąt�"śą-10 Cźą�"3�ą�ąśąt źą�"0�ą�ąt�"śą20 Cźą�"5=0 Śą �ąśąt źą=-17,5�"�ąt
01 12 01
o
śą-10 źą
012 Żą �ąśąt źą�"3-�ąt�" C �"4�ą�ąśąt źą�"5=0 Śą �ąśąt źą=2,5�"�ąt
01 12 12
�ąśąt źą
Dysponując kątami możemy narysować wykres momentów (rys. 5.32)
ik
r1t 3�2,5�EJ�ąt
5
r2t
6�0,3�17,5�EJ�ąt
5
2
1
Mt
0
6�0,3�17,5�EJ�ąt
5
Rys. 5.32. Wykres momentów w układzie podstawowym od temperatury t
o
a następnie wyznaczyć reakcje powstałe przy równomiernym ogrzaniu:
6�"0,3�"17,5�"EJ�"�ąt 3�"2,5�"EJ�"�ą
r1 t= - =śą6,3-1,5źą�"EJ�"�ąt=4,8 EJ�"�ąt
t
5 5
ą
3
r2 t�"ą
1�ą2�"6,3�"EJ�"�ąt�"1 -1,5�"EJ�"�ąt�" - =0
śą źą
4 20
r2 t=-3,375 EJ�"�ąt
Po zsumowaniu otrzymanych reakcji od t i "t tworzymy układu równań kanonicznych:
0,84 EJ�"�ą�ąśą334,285714�ą4,8źą EJ�"�ąt=0
{
0,0585 EJ�"�ą�ąśą32,142857 -3,375źą EJ�"�ąt=0
i wyznaczamy wartości przemieszczeń w ramie obciążonej temperaturą:
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 17
�ą=-4,844081633�"10-3
{
�ą=-5,901098901�"10-3
Korzystając z wzoru superpozycyjnego (5.10) wyliczamy wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w
poszczególnych węzłach ramy.
śąnźą
M =M �ąM �ąM �"�ą�ąM �"�ą (5.10)
T �ą t t 1 2
4�"0,3 6�"0,3 EJ 6�"0,3�"17,5 EJ�"�ąt
M = EJ�"�ą- �"�ą�ą0,3�"40 EJ�"�ąt�ą
10
5 5�"4 0,1 5
M =-3,5987651�ą1,64401665�ą4,45752�ą0,2340198=2,73679135 [kNm]
10
2�"0,3
M = EJ�"�ą-6�"0,3 EJ �"�ą-0,3�"40 EJ�"�ąt�ą6�"0,3�"17,5 EJ�"�ąt
01
5 5�"4 0,1 5
M =-1,79938256 �ą1,64401665-4,45752�ą0,2340198=-4,37886611 [kNm]
01
3 3 3 3�" 20 3�"2,5
M = EJ�"�ą�ą EJ�" �"�ą�ą EJ�"�ąt- EJ�"�ąt
12
5 5 20 2 0,14 5
M =-8,9969128-1,6440166 �ą7,9598571-0,055719=-2,7367913 [kNm]
12
-2,737
2,737
MT(n) [kNm]
-4,379
Rys. 5.33. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym od temperatury
Podobnie jak poprzednio tworzymy wykres sił tnących
0,547359
+
0,328415
+
TT(n) [kN]
Rys. 5.34. Wykres sił tnących w układzie niewyznaczalnym
oraz sił normalnych (równoważąc węzeł 1):
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 5. METODA PRZEMIESZCZEC
 PRZYKA
AD LICZBOWY 18
0
1
0,32841496
0,5473583
N10
Rys. 5.35. Siły działające w węz
le 1
N =-0,5473583�"sin �ą=-0,43789 [kN ]
10
0,479867
-
Nt(n) [kN]
Rys. 5.36. Wykres sił normalnych w układzie niewyznaczalnym
I w tym przypadku w celu kontroli poprawności obliczeń dokonamy sprawdzenia statycznego.
0
0,547359
0
0,329415
0,437887
4,37887
Rys. 5.37. Sprawdzenie statyczne
Zapisujemy trzy równania, które powinny zapewnić statyczną niezmienność:
M =0
"
0
4,37886611-8�"0,54735826 =3�"10-8[kNm]H"0
X =0
"
0,437886611�"cos �ą-0,32841495�"sin �ą=6�"10-9[kN ]H"0
Y =0
"
0,437886611�"sin�ą�ą0,32841495�"cos �ą-0,54735826 =-2�"10-9[kN ]H"0
Jak widać wszystkie sprawdzenia są spełnione, co świadczy o poprawności obliczeń w przyjętym
algorytmie rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń.
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater