Egzamin maturalny z matematyki  Arkusz II  Poziom rozszerzony  styczeń 2003 r.
SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAC

ARKUSZ II  POZIOM ROZSZERZONY
Maksymalna
Nr liczba
Etapy rozwiÄ…zania zadania
punktów za
zadania
dany etap
1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli: W (3,4) .
1p.
2. Obliczenie wartości f (0) = -5 .
1p.
11.
3. Obliczenie wartości f (7) = -12 .
1p.
(4 pkt)
4. Zapisanie odpowiedzi: Funkcja f w przedziale 0;7 osiąga największą
1p.
wartość równą 4 , zaś najmniejszą równą (-12) .
5. Przekształcenie danego równania do postaci np.
1p.
równania: x(a -1)(a +1) = a +1
6. Zapisanie, że dla a = 1 dane równanie nie ma żadnego rozwiązania. 1p.
12.
7. Zapisanie, że dla a = -1 dane równanie ma nieskończenie wiele
(4 pkt)
1p.
rozwiązań.
8. Zapisanie, że dla a `" 1 i a `" -1dane równanie ma dokładnie jedno
1p.
rozwiÄ…zanie.
9. Zapisanie, że warunkiem koniecznym ciągłości danej funkcji w punkcie
x = 2 jest istnienie skończonej granicy w tym punkcie. Uzasadnienie, że
dwumian (x - 2) jest podzielnikiem dwumianu (x2 + a) , zatem parametr a 2p.
przyjmuje wartość: a = -4. (1punkt przyznajemy za podanie odpowiedzi
a =-4 bez uzasadnienia)
13.
x2 - 4
(4 pkt)
10. Obliczenie granicy danej funkcji w punkcie x = 2 : lim = 4 . 1p.
x2
x - 2
11. Porównanie obliczonej granicy z wartością funkcji g w punkcie x = 2 :
lim g(x) = 4 = g(2) =b oraz zapisanie odpowiedzi: Funkcja g jest ciągła w
1p.
x2
punkcie x = 2 gdy a = -4 oraz b = 4 .
12. Zapisanie, że an+1 = Sn+1 - Sn = 2n + 4
2p.
13. Obliczenie n - tego wyrazu ciÄ…gu: an = 2n + 2 .
1p.
14.
14. Zapisanie różnicy dwóch dowolnych, kolejnych wyrazów tego ciągu:
(5 pkt)
1p.
r = an+1 - an
15. Obliczenie różnicy ciągu i stwierdzenie, że jest to ciąg arytmetyczny. 1p.
16. Oznaczenie pierwszego wyrazu tego ciÄ…gu, np. przez a1 oraz ilorazu, np.
1p.
przez q i zapisanie, że a1 Å" q9 = 10 .
17. Doprowadzenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
1p.
wyrazów danego ciÄ…gu do postaci a119 Å" q1+2+...+18 .
15.
18. Przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
1p.
(5 pkt)
wyrazów danego ciÄ…gu do postaci a119 Å" q19Å"9 .
19. Przekształcenie iloczynu dziewiętnastu początkowych, kolejnych
1p.
wyrazów danego ciÄ…gu do postaci (a1 Å" q9 )19
20. Zapisanie odpowiedzi: Iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych
1p.
wyrazów tego ciągu jest równy 1019 .
Strona 1 z 3
Egzamin maturalny z matematyki  Arkusz II  Poziom rozszerzony  styczeń 2003 r.
21. Zauważenie i zapisanie, że dane doświadczenie losowe można opisać
1
schematem Bernoullego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu p = ,
6
1p.
5
prawdopodobieństwo porażki q = , liczba prób N = 5 , liczba sukcesów
6
k e" 4 .
22. Zapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia w postaci:
16.
1p.
P5 (k e" 4) = P5 (k = 4) + P5 (k = 5) .
(4 pkt)
23. Wykorzystanie wzorów i zapisanie prawdopodobieństwa szukanego
4 5 0
5 5
ëÅ‚ öÅ‚ 1 5 ëÅ‚ öÅ‚ 1 5
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ 1p.
zdarzenia w postaci: P5 (k e" 4) = ìÅ‚ Å" Å" + ìÅ‚ Å" Å" .
ìÅ‚4÷Å‚ ìÅ‚ 6 ÷Å‚ ìÅ‚ 6 ÷Å‚ ìÅ‚5÷Å‚ ìÅ‚ 6 ÷Å‚ ìÅ‚ 6 ÷Å‚
÷Å‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
24. Poprawne obliczenie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia:
25 1 26 13
1p.
P5 (k e" 4) = + = = H" 0,00334 .
7776 7776 7776 3888

1p.
25. Zapisanie warunku (1) CA CB = 0 , gdzie C(0, y) .

1p.
26. Obliczenie współrzędnych wektora CA = [- 9, - 2 - y].

17. 1p.
27. Obliczenie współrzędnych wektora CB = [4, 2 - y].


(5 pkt)
28. Obliczenie iloczynu skalarnego wektorów CA i CB :
1p.
-36 - (2 - y)Å"(2 + y)
29. Rozwiązanie równania (1) i zapisanie odpowiedzi: Istnieją dwa takie
1p.
punkty: C(0, 2 10) lub C(0, - 2 10) .
30. SporzÄ…dzenie rysunku i zaznaczenie na nim szukanego kÄ…ta.
1p.
31. Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie równania np.
3 3 3
a2 = a2 + a2 - 2 Å" a2 Å" cosÄ… , gdzie a - dÅ‚ugość krawÄ™dzi szeÅ›cianu,
2p.
18.
4 4 4
(4 pkt)
zaś ą - miara kąta ostrego między przekątnymi sześcianu
1 1
32. Obliczenie wartoÅ›ci cosinusa kÄ…ta ostrego: cosÄ… = . (Albo: cos ² = -
1p.
3 3
gdzie ² jest katem rozwartym).
33. Wykorzystanie faktu istnienia okręgu wpisanego w dany trapez i
2p.
zapisanie, że suma długości podstaw a i b trapezu jest równa 10 cm .
34. Zauważenie i zapisanie, że wysokość trapezu, opuszczona z wierzchołka
kąta rozwartego, dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach:
1p.
19.
a + b a - b
)
oraz .
(5 pkt)
2 2
35. Obliczenie długości wysokości trapezu: h = 4 cm .
1p.
36. Obliczenie pola danego trapezu: P = 20cm2 .
1p.
37. Wyznaczenie warunków określających dziedzinę równania
20.
2p.
h(x) - log2 k = 0 : x > 5 i k > 0 .
(10 pkt)
x2 - 4
38. Przekształcenie równania h(x) - log2 k = 0 do postaci: = k 1p.
x - 5
39. Przekształcenie równania do postaci: x2 - kx + 5k - 4 = 0 .
1p.
Strona 2 z 3
Egzamin maturalny z matematyki  Arkusz II  Poziom rozszerzony  styczeń 2003 r.
" > 0
Å„Å‚
ôÅ‚x
40. Zapisanie układu warunków > 5 , gdzie xw oznacza odciętą
òÅ‚
w
ôÅ‚
f (5) > 0
ół 1p.
wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f = x2 - kx + 5k - 4 , przy
pewnej wartości k .
2
41. Obliczenie wyróżnika trójmianu: " = k - 20k +16 .
1p.
42. Rozwiązanie nierówności " > 0 :
1p.
" > 0 Ô! k "(- ";10 - 2 21)*"(10 + 2 21; ").
43. Rozwiązanie nierówności xw > 5 : k "(10;").
1p.
44. Sprawdzenie, że warunek f (5) > 0 zachodzi dla każdej rzeczywistej
1p.
wartości parametru k .
44. Zapisanie odpowiedzi, uwzględniającej zbiór rozwiązań układu
nierówności z p.40 oraz warunku k > 0 : Dla wszystkich k "(10 + 2 21; ")
1p.
równanie h(x) - log2 k = 0 ma dwa różne pierwiastki.
R r
45. Zapisanie zależności między zmiennymi: = .
1p.
2 2
H - R
H + r
16H
2
46. Wyznaczenie jednej zmiennej z powyższej zależności, np. r = .
1p.
H - 8
47. Wyznaczenie objętości stożka, jako funkcji jednej zmiennej:
2
Ä„ 16H 1p.
V (H ) = Å" .
3 H - 8
48. Wyznaczenie dziedziny funkcji V (H ) : DV = (8;").
1p.
16Ä„ H (H -16)
49. Obliczenie pochodnej funkcji objÄ™toÅ›ci: V '(H ) = Å" ,
2
3
(H - 8)
1p.
DV ' = DV .
21.
50. Wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji objętości: H = 16 .
1p.
(10 pkt)
51. Zbadanie znaku pochodnej funkcji objÄ™toÅ›ci: V '(H ) > 0 Ô! H " (16;")
1p.
oraz V '(H ) < 0 Ô! H " (8;16) .
52. Stwierdzenie i zapisanie, że dla H = 16 funkcja V osiąga lokalne
512Ä„
1p.
minimum równe V (16) = .
3
53. Uzasadnienie, że minimum lokalne funkcji objętości stożka jest
wartością najmniejszą tej funkcji, np. poprzez powołanie się na dwa fakty:
1p.
lim V (H ) = +" oraz lim V (H ) = +" .
H "
H 8+
54. Podanie wymiarów stożka o najmniejszej objętości opisanego na kuli o
promieniu R = 4cm : wysokość stożka, H = 16cm , promień podstawy
1p.
stożka r = 4 2 cm .
Uwaga:
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od
przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Strona 3 z 3