NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW.ZADANIA.INFO
POZIOM ROZSZERZONY
24 MARCA 2012
CZAS PRACY: 180 MINUT
ZADANIE 1 (5 PKT.)
Rozwiąż nierówność |6 - 2x| - 4 |5 + 3x|.
ROZWI
ZANIE
Zapiszmy podaną nierówność w postaci
|2x - 6| - 4 |3x + 5|.
Wyrażenie pod pierwszą wartością bezwzględną zeruje się dla x = 3, a wyrażenie pod
drugą dla x = -5, więc mamy do rozpatrzenia 3 przypadki.
3
Jeżeli x < -5 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są ujemne i
3
mamy nierówność
- (2x - 6) - 4 -(3x + 5)
x -7.
Czyli w tym przypadku otrzymujemy przedział: (-", -7 .
Jeżeli -5 x < 3 to mamy nierówność
3
- (2x - 6) - 4 5 + 3x
- 3 5x / : 5
3
- x.
5
W tym przypadku otrzymujemy więc przedział rozwiązań: -3, 3 .
5
Jeżeli wreszcie x 3 to wyrażenia pod obydwiema wartościami bezwzględnymi są do-
datnie i mamy nierówność
2x - 6 - 4 3x + 5
- 15 x.
W tym przypadku otrzymujemy więc zbiór rozwiązań: 3, +").
Rozwiązaniem nierówności jest więc
3
(-", -7 *" - , +" .
5
Odpowiedz
: (-", -7 *" -3, +"
5
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 2 (4 PKT.)
Uzasadnij, że 8027 < 2836.
ROZWI
ZANIE
Sposób I
Ponieważ oba wykładniki są wielokrotnościami 9, zapiszmy obie liczby jako potęgi z wy-
kładnikiem 9.
9
8027 = 803 = 5120009
9
2836 = 284 = 6146569.
Widać teraz, że 2836 > 8027.
Sposób II
Tym razem spróbujemy obie liczby zapisać jako potęgi z wykładnikiem 36. W tym celu sza-
cujemy
8027 < 8127 = (34)27 = (33)36 = 2736.
Widać teraz, że ta liczba jest mniejsza od 2836.
ZADANIE 3 (4 PKT.)
3b + 2ab = 1
Wykaż, że nie istnieje para liczb (a, b) spełniająca układ równań
a2 + b2 + 3a = -4.
ROZWI
ZANIE
Sposób I
Dodajmy równania układu stronami.
a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab = -3
(a + b)2 + 3(a + b) = -3
(a + b + 3)(a + b) = -3.
Podstawmy teraz x = a + b.
(x + 3)x = -3
x2 + 3x + 3 = 0
" = 9 - 12 < 0.
Otrzymane równanie kwadratowe jest sprzeczne, więc układ nie ma rozwiązań.
Sposób II
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Przekształćmy drugie równanie  zwijamy do pełnego kwadratu.
9 9
a2 + 3a + + b2 - = -4
4 4
2
3 7
a + + b2 = - .
2 4
Oczywiście suma kwadratów nie może być liczbą ujemną, więc drugie równanie układu jest
sprzeczne.
Sposób III
1
Podstawiamy b = z pierwszego równania do drugiego.
3+2a
1
a2 + + 3a = -4 / � (3 + 2a)2
(3 + 2a)2
a2(3 + 2a)2 + 1 + 3a(3 + 2a)2 = -4(3 + 2a)2
(3 + 2a)2(a2 + 3a + 4) = -1.
Teraz wystarczy zauważyć, że oba wyrażenia z lewej strony są nieujemne (" trójmianu w
drugim nawiasie jest ujemna). Równanie to jest więc sprzeczne.
Podobają Ci się nasze rozwiązania?
Zadania.info
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
ZADANIE 4 (4 PKT.)
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 sin2 x + sin x cos x + 3 cos2 x = 3 należące do
przedziału 0, 2Ą .
ROZWI
ZANIE
Przekształcamy (korzystając z jedynki trygonometrycznej).
2 sin2 x + sin x cos x + 3 cos2 x = 3
2 sin2 x + sin x cos x + 3(1 - sin2 x) = 3
- sin2 x + sin x cos x = 0
sin x(- sin x + cos x) = 0
sin x = 0 (" sin x = cos x.
Rozwiązaniem pierwszego równania (w danym przedziale) są liczby {0, Ą, 2Ą}, a drugie
równanie możemy przekształcić następująco:
sin x = cos x / : cos x
tg x = 1
(dzieliliśmy przez cos x, bo widać, że jeżeli cos x = 0 to równanie jest sprzeczne). Mamy
Ą 5Ą
stąd dwa dodatkowe rozwiązania: , .
4 4
Ą 5Ą
Odpowiedz
: x " 0, , Ą, , 2Ą
4 4
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 5 (6 PKT.)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których suma odwrotności pierwiastków
równania
3 1 8 - 2m
= -
x + 3 m x2 + 2x - 3
5
jest równa .
m-3
ROZWI
ZANIE
Oczywiście musi być x = -3, m = 0 i m = 3. sprawdz
my jeszcze kiedy zeruje się trójmian
w mianowniku.
x2 + 2x - 3 = 0
" = 4 + 12 = 16
-2 - 4 -2 + 4
x = = -3 (" x = = 1.
2 2
Musimy więc dodatkowo założyć, że x = 1. Przy okazji okazało się również, że
x2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3),
co pozwala dość łatwo pozbyć się ułamków w równaniu.
3 1 8 - 2m
= - / � m(x - 1)(x + 3)
x + 3 m (x - 1)(x + 3)
3m(x - 1) = x2 + 2x - 3 - (8 - 2m)m
0 = x2 + x(2 - 3m) + (2m2 - 5m - 3).
Otrzymaliśmy więc zwykłe równanie kwadratowe z parametrem. Sprawdz
my, kiedy rów-
nanie to ma pierwiastki.
0 " = (2 - 3m)2 - 4(2m2 - 5m - 3) =
= 4 - 12m + 9m2 - 8m2 + 20m + 12 =
= m2 + 8m + 16 = (m + 4)2.
Równanie ma więc zawsze pierwiastki i możemy skorzystać ze wzorów ViŁte a.
5 1 1 x1 + x2 -(2 - 3m)
= + = =
m - 3 x1 x2 x1x2 2m2 - 5m - 3
5 3m - 2
= .
m - 3 2m2 - 5m - 3
Zanim rozwiążemy to równanie, bądz
my ostrożni i sprawdz
my jakie są miejsca zerowe
mianownika.
2m2 - 5m - 3 = 0
" = 25 + 24 = 49
5 - 7 1 5 + 7
m = = - (" m = = 3.
4 2 4
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Zakładamy więc dodatkowo, że m = -1. Przy okazji okazało się, że
2
1
2m2 - 5m - 3 = 2 m + (m - 3) = (2m + 1)(m - 3),
2
co pozwala łatwo uprościć równanie
5 3m - 2
= / � (2m + 1)(m - 3)
m - 3 (2m + 1)(m - 3)
10m + 5 = 3m - 2
7m = -7
m = -1.
Na koniec sprawdz
my, czy otrzymana wartość m spełnia wszystkie poczynione wcześniej
założenia. Wprawdzie nigdzie nie założyliśmy, że m = -1, ale założyliśmy, że x = -3 i
x = 1. Sprawdz
my więc, czy rozwiązaniem równania dla m = -1 nie jest jedna z tych liczb.
Równanie kwadratowe dla m = -1 przyjmuje postać
0 = x2 + 5x + 4
" = 25 - 16 = 9
-5 - 3 -5 + 3
x1 = = -4, x2 = = -1.
2 2
1 1 5
Zatem wszystko jest w porządku (widać też, że rzeczywiście + = = -5).
x1 x2 m-3 4
Odpowiedz
: m = -1
ZADANIE 6 (5 PKT.)
Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 63, a ich iloczyn jest równy
5832. Wyznacz ten ciąg.
ROZWI
ZANIE
Sposób I
Jeżeli trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, to są one postaci a, aq, aq2. Mamy zatem układ
równań
a + aq + aq2 = 63
a(aq)(aq2) = 5832
a(1 + q + q2) = 63
a3q3 = 5832.
Widać, że musimy wyciągnąć pierwiastek 3 stopnia z liczby 5832. Można łatwo to zrobić
dzieląc ją przez sześciany, np. łatwo zauważyć, że dzieli się ona przez 3, więc próbujemy
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
podzielić ją przez 27. Dzieli się też przez 2, więc dzielimy ją przez 8. Otrzymamy w ten
sposób 5832 = 33 � 23 � 33 = 183. Mamy zatem
a(1 + q + q2) = 63
(aq)3 = 183
a(1 + q + q2) = 63
aq = 18.
Prowadzi to do równania
18 q
(1 + q + q2) = 63 / �
q 9
2(1 + q + q2) = 7q
2q2 - 5q + 2 = 0
" = 25 - 16 = 9
5 - 3 1 5 + 3
q = = (" q = = 2.
4 2 4
1 18 18
Jeżeli q = to a = = 36 i otrzymujemy ciąg (36, 18, 9). Jeżeli natomiast q = 2 to a = =
2 q q
9 i otrzymujemy ciąg (9, 18, 36).
Sposób II
Szukamy trzech liczb a, b, c spełniających warunki
ńł
�ł + + =
�ła b c 63
abc = 5832
�ł
ółb2 ac.
=
Podstawiamy ac = b2 z trzeciego równania do drugiego.
b3 = 5832 �! b = 18.
Mamy więc układ równań
a + c = 45
ac = 324.
Podstawiamy a = 45 - c z pierwszego równania do drugiego.
(45 - c)c = 324
0 = c2 - 45c + 324
" = 452 - 324 � 4 = 729 = 272
45 - 27 45 + 27
c = = 9 (" c = = 36.
2 2
Mamy wtedy a = 45 - c = 36 i a = 45 - c = 9 odpowiednio.
Odpowiedz
: (36, 18, 9) oraz (9, 18, 36)
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 7 (5 PKT.)
"
W trójkącie ABC, w którym |AC| = 5, |BC| = 4 2 i |AB| = 7 na boku AB wybrano taki
punkt D, że |AD| = 2. Oblicz sinus kąta ADC.
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
C
5
4 2
ą �
A B
D
2 5
Sinus kąta ADC możemy wyliczyć korzystając z twierdzenia sinusów lub cosinusów
w trójkącie ADC, ale zanim to zrobimy musimy obliczyć długość odcinka CD. Możemy
obliczyć tę długość pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie ADC  do tego potrzebujemy
cos ą = cos CAD.
Liczymy. Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC.
BC2 = AB2 + AC2 - 2AB � AC cos ą
32 = 49 + 25 - 2 � 7 � 5 cos ą
70 cos ą = 42
42 3
cos ą = = .
70 5
Teraz stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ADC.
CD2 = AD2 + AC2 - 2AD � AC cos ą
3
CD2 = 4 + 25 - 2 � 2 � 5 �
5
CD2 = 29 - 12 = 17
"
CD = 17.
Interesujący nas sin � = sin ADC obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Chcemy skorzystać z twierdzenia sinusów w trójkącie ADC. Najpierw obliczmy jednak
sin ą.
9 4
sin ą = 1 - cos2 ą = 1 - = .
25 5
Materiał pobrany z serwisu
7
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Teraz piszemy twierdzenie sinusów w trójkącie ADC.
CD AC
=
sin ą sin �
"
17 5
=
4
sin �
5
"
5 4 4 4 17
" "
sin � = � = = .
5 17
17 17
Sposób II
Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Piszemy twierdzenie cosinusów w trój-
kącie ADC.
AC2 = AD2 + CD2 - 2AD � CD cos �
"
25 = 4 + 17 - 2 � 2 � 17 cos �
"
4 17 cos � = -4
-1
cos � = "
17
Pozostało skorzystać z jedynki trygonometrycznej.
"
1 16 4 4 17
"
sin � = 1 - cos2 � = 1 - = = = .
17 17 17
17
"
4 17
Odpowiedz
: sin ADC =
17
ZADANIE 8 (4 PKT.)
Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o ramionach długości a. Pole
podstawy jest równe sumie pól dwóch przystających ścian bocznych graniastosłupa. Jakie
powinny być długości pozostałych krawędzi graniastosłupa, aby jego objętość była najwięk-
sza?
ROZWI
ZANIE
Oznaczmy przez H długość wysokości graniastosłupa, a przez ą kąt przy wierzchołku trój-
kąta równoramiennego w podstawie.
D
F
E
H
A C
a ą
a
B
Materiał pobrany z serwisu
8
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Pole podstawy jest równe
1
Pp = a2 sin ą.
2
Z drugiej strony wiemy, że jest ono równe sumie pól dwóch ścian bocznych, czyli
1 1
a2 sin ą = 2aH �! H = a sin ą.
2 4
Zatem objętość graniastosłupa jest równa
1 1 1
V = Pp � H = a2 sin ą � a sin ą = a3 sin2 ą.
2 4 8
Objętość będzie największa, gdy sin ą = czyli dla ą = 90ć%. Wtedy podstawa trójkąta ABC
"1,
1
ma długość (twierdzenie Pitagorasa): a 2, a wysokość: a.
4
"
a
Odpowiedz
: Trójkąt w podstawie: a, a, a 2, wysokość: .
4
ZADANIE 9 (4 PKT.)
Dane są punkty A = (-1, 3) i B = (-4, 2). Wyznacz współrzędne punktu C na prostej
y = -x + 5 tak, aby pole trójkąta ABC było równe 7.
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
y
C
+5
A
B
+1
C
-5 -1 +1 +5 x
-1
-5
Sposób I
Obliczmy długość podstawy trójkąta ABC
" "
AB = (-4 + 1)2 + (2 - 3)2 = 9 + 1 = 10.
Materiał pobrany z serwisu
9
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Z podanego pola obliczamy jaka jest długość wysokości opuszczonej na bok AB.
1 14
"
7 = AB � h �! h = .
2
10
Co dalej?  szukamy punktu C na danej prostej, który jest w odległości h od prostej AB.
Napiszmy najpierw równanie prostej AB. Można to zrobić korzystając ze wzoru na rów-
nanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, ale my zrobimy to wprost: szukamy prostej
w postaci y = ax + b. Podstawiamy współrzędne punktów A i B.
3 = -a + b
2 = -4a + b
Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić b) i mamy
1
1 = -a + 4a �! a = .
3
10
Zatem b = 3 + a = i prosta AB ma równanie:
3
1 10
y = x + / � 3
3 3
3y - x - 10 = 0.
Sprawdzamy teraz, kiedy odległość punktu C = (x, -x + 5) od prostej AB jest równa h.
"
|3(-x + 5) - x - 10| 14
" = " / � 10
9 + 1 10
| - 4x + 5| = 14
- 4x + 5 = -14 (" -4x + 5 = 14
4x = 19 (" 4x = -9
19 9
x = (" x = - .
4 4
1 29 19 1
Wtedy y = -x + 5 = i y = -x + 5 = odpowiednio. Zatem C = , lub C =
4 4 4 4
29
-9, .
4 4
Sposób II
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach A = (xA, yA), B = (xB, yB) i C =
(xC, yC).
1
PABC = |(xB - xA)(yC - yA) - (yB - yA)(xC - xA)|.
2
W naszej sytuacji C = (x, -x + 5), więc mamy równanie
1
7 = |(-4 + 1)(-x + 5 - 3) - (2 - 3)(x + 1)|
2
14 = | - 3(2 - x) + (x + 1)|
14 = |4x - 5|
4x - 5 = -14 (" 4x - 5 = 14
4x = -9 (" 4x = 19
9 19
x = - (" x = .
4 4
Materiał pobrany z serwisu
10
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
1 29 19 1
Wtedy y = -x + 5 = i y = -x + 5 = odpowiednio. Zatem C = , lub C =
4 4 4 4
29
-9, .
4 4
19 1 29
Odpowiedz
: C = , lub C = -9,
4 4 4 4
ZADANIE 10 (5 PKT.)
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} losujemy bez zwracania 4 liczby. Oblicz
jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 4 otrzymanych liczb jest dokładnie jedna para
liczb o sumie równej 14.
ROZWI
ZANIE
Wszystkich zdarzeń elementarnych jest
13 13 � 12 � 11 � 10 13 � 12 � 11 � 10
= = = 13 � 11 � 5.
4 4! 2 � 3 � 4
Wypiszmy wszystkie pary liczb, które w sumie dają 14.
(1, 13), (2, 12), (3, 11), (4, 10), (5, 9), (6, 8).
Jest jeszcze liczba 7, która nie ma pary (bo losujemy bez zwracania).
Sposób I
O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych
par, a potem musimy dobrać jeszcze dwie liczby tak, aby nie były z jednej pary.
Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Po wybraniu tej pary pozostaje 13 - 2 = 11
liczb i z nich musimy wybrać jeszcze dwie. Dwie pozostałe liczby możemy wybrać na
11 11 � 10
= = 55
2 2
sposobów. Od tych 55 możliwych par musimy jednak odjąć 5 par, w których suma jest równa
14. W sumie 3 i 4 liczbę możemy więc wybrać na 55 - 5 = 50 sposobów. Jest więc
6 � 50
zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo jest równe
6 � 50 6 � 10 60
= = .
13 � 11 � 5 13 � 11 143
Sposób II
Materiał pobrany z serwisu
11
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych
par, a potem musimy dobrać jeszcze dwie liczby tak, aby nie były z jednej pary.
Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Gdy para ta jest ustalona to możliwe są dwie
sytuacje: albo jedną z pozostałych liczb jest 7, albo nie. Jeżeli jest 7 wśród wylosowanych
liczb to czwarta liczba może być którąkolwiek z pozostałych 13 - 2 - 1 = 10 liczb. Jest więc
6 � 10 = 60
zdarzeń tego typu.
Jeżeli natomiast wśród wylosowanych liczb nie ma 7, to pozostałe dwie liczby wybiera-
my spośród 5 par tak, aby dwie liczby nie były z jednej pary. W takim razie trzecią liczbę
wybieramy dowolnie spośród 13 - 2 - 1 = 10 liczb (odejmujemy wybraną na początku pa-
rę i 7), a czwartą liczbę wybieramy spośród 13 - 2 - 1 - 2 = 8 liczb (odejmujemy pierwszą
parę, 7-kę, oraz parę trzeciej liczby). Teraz bardzo łatwo popełnić błąd  zauważmy, że przy
takim sposobie liczenia, np. czwórkę {1, 13, 2, 3} policzyliśmy dwukrotnie: jako (1, 13, 2, 3) i
(1, 13, 3, 2)! W takim razie zdarzeń bez 7-ki jest
6 � 10 � 8
= 60 � 4.
2
Zdarzenia bez 7-ki mogliśmy też policzyć inaczej: parę z sumą równą 14 możemy wybrać na
6 sposobów, potem wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić dwie pozostałe liczby
 możemy to zrobić na
5 5 � 4
= = 10
2 2
sposobów. Na koniec musimy jeszcze uwzględnić, że w każdej z tych dwóch ostatnich par
mamy możliwość wyboru jednej z dwóch liczb. Daje to w sumie
6 � 10 � 2 � 2 = 60 � 40.
możliwości.
Prawdopodobieństwo jest więc równe
60 + 60 � 4 60 � 5 60 60
p = = = = .
13 � 11 � 5 13 � 11 � 5 13 � 11 143
Sposób III
Tym razem, zamiast obliczać prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia A, obliczymy praw-
dopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A . Są dwa rodzaje zdarzeń sprzyjających zdarze-
niu A : albo nie ma żadnej pary z sumą równą 14, albo takie pary są dwie.
A
atwo obliczyć liczbę zdarzeń z dwoma parami z sumą równą 14  jest ich tyle, ile moż-
liwości wybrania 2 par spośród 6 par wypisanych powyżej. Jest więc
6 6 � 5
= = 15
2 2
zdarzeń tego typu.
Jeżeli natomiast nie ma żadnej pary liczb z sumą równą 14, to każda z liczb musi pocho-
dzić z innej z wypisanych par, lub może być też 7-ką.
Materiał pobrany z serwisu
12
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Jeżeli wśród wybranych liczb jest 7, to aby wybrać pozostałe trzy liczby wybieramy 3
pary, z których będą pochodzić, możemy to zrobić na
6 6 � 5 � 4
= = 20
3 3!
sposobów. Ponadto w każdej z 3 wybranych par możemy wybrać jedną z dwóch liczb jest
więc
20 � 2 � 2 � 2 = 20 � 8
takich par.
Jeżeli wreszcie wśród wybranych liczb nie ma 7-ki, to liczby pochodzą z 4 różnych par,
co możemy wybrać na
6 6 � 5 � 4 � 3
= = 15
4 4!
sposobów. W każdej parze mamy możliwość wyboru jednej z 2 liczb. Jest więc
15 � 2 � 2 � 2 � 2 = 15 � 16
takich zdarzeń.
Prawdopodobieństwo jest więc równe.
15 + 20 � 8 + 15 � 16
P(A) = 1 - P(A ) = 1 - =
13 � 11 � 5
3 + 4 � 8 + 3 � 16 83 60
= 1 - = 1 - = .
13 � 11 143 143
Sposób IV
Tym razem będziemy uwzględniać kolejność w jakiej losowane są liczby, czyli za zdarzenia
elementarne przyjmiemy czwórki (a, b, c, d) wylosowanych liczb. Mamy zatem
|&!| = 13 � 12 � 11 � 10.
Liczymy ile jest zdarzeń sprzyjających.
Najpierw zdarzenia w których jest 7. Do tej siódemki musimy dobrać parę liczb z sumą
równą 14  możemy to zrobić na 6 sposobów, a potem jeszcze jedną dowolną liczbę spo-
śród pozostałych 10 liczb. Na koniec musimy ustalić kolejność wybranych liczb, co możemy
zrobić na 4! sposobów. W sumie jest więc
6 � 10 � 4! = 60 � 24
takich zdarzeń.
Teraz policzmy ile jest zdarzeń bez 7-ki. Musimy wybrać dwie liczby z sumą równą 14 
możemy to zrobić na 6 sposobów, potem musimy jeszcze dobrać dwie liczby, których suma
nie jest równa 14. A
atwo tu popełnić błąd, nie możemy liczyć tak: wybieramy liczbę spo-
śród pozostałych 10, a potem ostatnią liczbę możemy wybrać na 8 sposobów  przy takim
sposobie liczenia każdą parę liczymy podwójnie.
Materiał pobrany z serwisu
13
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
W takim razie liczmy ostrożniej, aby wybrać dwie liczby, których suma nie jest równa
14, wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić te liczby  możemy to zrobić na
5 5 � 4
= = 10
2 2
sposobów, a potem z każdej pary wybieramy jedną z dwóch liczb w tej parze. W sumie jest
więc
10 � 2 � 2 = 40
możliwości wybrania dwóch liczb, których suma nie jest równa 14. Na koniec możemy 4
wybrane liczby dowolnie permutować, więc jest w sumie
6 � 40 � 4! = 6 � 40 � 24
zdarzeń bez 7-ki. Prawdopodobieństwo jest więc równe
60 � 24 + 6 � 40 � 24 60 � 2 + 6 � 40 � 2 6 � 2 + 6 � 4 � 2 60
= = = .
13 � 12 � 11 � 10 13 � 11 � 10 13 � 11 143
60
Odpowiedz
:
143
ZADANIE 11 (4 PKT.)
Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola przekroju osiowego tego stożka jest rów-
2Ą
"
ny . Oblicz kąt rozwarcia stożka.
3
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy od rysunku  oznaczmy kąt rozwarcia kąta przez 2ą.
C
ą ą
l
h
A B
r r
D
Sposób I
Materiał pobrany z serwisu
14
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Zapiszmy podaną informację o stosunku pól.
2Ą Ąrl Ąl
" = = / : Ą
1
h
3 � 2r � h
2
l 2
"
= /()-1
h
"3
h 3
=
l 2
"
3
cos ą = .
2
Zatem ą = 30ć% i kąt rozwarcia stożka jest równy 2ą = 60ć%.
Sposób II
Zauważmy, że
r r
= sin ą �! l =
l sin ą
r r
= tg ą �! h = .
h tg ą
Zapiszmy podaną informację o stosunku pól.
2Ą Ąrl Ąl
" = = / : Ą
1
h
3 � 2r � h
2
r sin ą
2 tg ą 1
sin ą cos ą
" = = = =
r
sin ą sin ą cos ą
3
tg ą
"
3
cos ą = .
2
Zatem ą = 30ć% i kąt rozwarcia stożka jest równy 2ą = 60ć%.
Sposób III
Zapiszmy podaną informację o stosunku pól (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z sinu-
sem).
2Ą Ąrl 2Ąr
" = = / : 2Ą
1
l sin 2ą
3 l2 sin 2ą
2
1 r
" = .
l sin 2ą
3
Zauważmy, że ponadto
r
= sin ą �! r = l sin ą.
l
Mamy zatem
1 r l sin ą sin ą 1
" = = = =
l sin 2ą l sin 2ą 2 sin ą cos ą 2 cos ą
3
"
3
cos ą = .
2
Zatem ą = 30ć% i kąt rozwarcia stożka jest równy 2ą = 60ć%.
Materiał pobrany z serwisu
15