Zadania z rachunku prawdopodobieństwa  6
PRAWDOPODOBIEC
STWO GEOMETRYCZNE
1. W kolo wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) punkt rzucony losowo na kolo znajdzie sie wewna trz kwadratu,
b) z pieciu punktów, rzuconych losowo na kolo, jeden znajdzie sie w kwadracie, a pozostale - po jednym
w każdym z czterech odcinków kola.
2. Ala i Ola wychodza z domu do pracy zawsze o 7:00. Ich drogi pokrywaja sie na odcinku AB, Ala idzie z
A do B, a Ola odwrotnie. Ala dochodzi do A (a Ola do B niezależnie od niej) w przypadkowym momencie
miedzy 7:30 a 7:45 i idzie ze stala predkościa p (Ola też). Oblicz prawdopodobieństwo spotkania pań.
3. Z wnetrza sześcioka ta foremnego o boku a wybrano losowo jeden punkt. Jakie jest prawdopodobieństwo,
"
a 3
że odleglość tego punktu od środka sześcioka ta nie przekracza t ? t jest ustalona liczba i 0 < t < .
2
4. Na plaszczyz
nie poprowadzono dwie rodziny prostych równoleglych, dziela cych ja na prostoka ty o bokach
a d" b. Naste pnie rzucono na plaszczyzne monete o średnicy 2r < a. Oblicz prawdopodobieństwo, że moneta
nie przetnie żadnej prostej.
5. Strzelec zawsze trafia w losowy punkt na tarczy o średnicy D. Środkowy obszar tarczy, punktowany za
10, ma średnice d, a obszar za 9 punktów jest pierścieniem o szerokości s, otaczaja cym obszar za 10 punktów.
Oblicz prawdopodobieństwo, że strzelaja c 20 razy, strzelec bedzie mial dokladnie 12 trafień za 10 punktów i
3 trafienia za 9 punktów.
6. Na okre gu umieszczono losowo trzy punkty: A, B, C. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trójka t ABC
jest ostroka tny?
7. Na odcinku AB umieszczono losowo dwa punkty L i M. Oblicz prawdopodobieństwo, że z L jest bliżej
do M niż do A.
8. Na odcinku dlugości l wybrano losowo 2 punkty. Oblicz prawdopodobieństwo, że odleglość miedzy nimi
nie przekracza d, 0 d" d d" l.
9. (Problem astronomii gwiezdnej.) W kuli o promieniu R jest rozmieszczonych losowo n punktów. Wyznacz
prawdopodobieństwo, że odleglość od środka sfery do najbliższego punktu jest nie mniejsza niż a, 0 < a < R.
10. W czasie T dochodza do odbiornika dwa sygnaly. Każdy z nich dociera w losowym momencie i
niezależnie od drugiego. Jeśli różnica w czasie miedzy sygnalami nie przekracza t, to odbiornik psuje sie.
Oblicz prawdopodobieństwo awarii.
11. Dwie osoby umówily sie w restauracji miedzy 18:00 a 18:30. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie
beda na siebie czekać dlużej niż kwadrans ?
12. Liczby rzeczywiste x, y wybieramy losowo z przedzialu [0, 4]. Oblicz
a) prawdopodobieństwo, że x2 d" y d" 2,
b) prawdopodobieństwo, że ich iloczyn nie przekracza 1,
c) prawdopodobieństwo P (y < 3|x + y < 5).
13. Patyk lamiemy w losowo wybranym punkcie na dwie cześci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna
z tych cześci nie jest wie cej niż 2 razy wie ksza od drugiej ?
14. Zalóżmy, że odleglość miedzy miastami A i B wynosi d. Jedziemy z A do B i robimy postój w losowo
wybranym miejscu odcinka AB. Oblicz prawdopodobieństwo, że wówczas do B mamy jeszcze ponad 3 razy
wiecej kilometrów niż ujechaliśmy lub zostalo nam jeszcze nie wie cej niż 10 km do przejechania.
15. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania kwadratowego x2 + 2ax + b = 0 sa rzeczy-
wiste, jeśli wspólczynniki równania moga przyja ć z jednakowym prawdopodobieństwem każda z wartości w
prostoka cie -k d" a d" k, -l d" b d" l.
16. Kolo o promieniu R obraca sie ze stala predkościa . W odleglości l > R od środka kola umieszczono
odcinek dlugości 2h. Odcinek znajduje sie w plaszczyz
nie kola, a jego symetralna przechodzi przez środek
kola. W dowolnym momencie z okre gu wylatuje po stycznej cza stka. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi
ona w odcinek.
17. (Zagadnienie Buffona dla igly). Na plaszczyz
nie poprowadzono rodzine prostych równoleglych, odd-
alonych jedna od drugiej o L > 0. Rzucamy igle dlugości 2l < L. Oblicz prawdopodobieństwo, że igla
przetnie jedna z prostych.