1 Geometrayczna definicja prawdopodobieństwa
Załóżmy, że w przestrzei zdażeÅ„ elementarnych &! na Ã-ciele F podzbiorów bÄ™dÄ…cych zdażeniami losowymi,
okreÅ›lona jest pewna miara µ : F R przy czym 0 < µ(&!) < ", załóżmy ponadto, że szanse otrzymania
elementarnego ]omega należącego do zbioru A " F niezależną od kształtu ani położenia zbiory A w przestrzeni
&! tylko jego miary. Wtedy jego prawdopodobieństwo zajścia zdażenia jest równe
µ(A)
P [A] = (1.1)
µ(&!)
W praktycznych zastosowaniach tej definicji najczęśćiej &! jest podzbiorem ograniczonym przestrzeniami
R1, R2, R3, a miara µ jest dÅ‚ugoÅ›ciÄ… zbioru, polem powierzchni lub objÄ™toÅ›ciÄ….
Przykład
Strzelamy do kwadratowej tarczy o boku a, 0 < a < " Jako wynik strzału przyjmujemy współrzędne punktu
w którym pocisk uderzył w tarczę w prostokątnym układzie współrzędnych wprowadzonym w środku tarczy.
Jakie jest prawdopodobieńśtwo zdażenia, że pocisk trafi w koło stuczne do wszystkich krawędzi tarczy?
a a
&! = {(x, y) " R2 : - y }
2 2
a
A = {(x, y) " &! : x2 + y2 ( )2}
2
Stosujemy def. geometrycznÄ… prawdopodobieÅ„stwa z miarÄ… µ równÄ… polu powierzchni zbiorów.
µ(&!) = a2 pole powierzchni kwadratu
a Ä„a2
µ(A) = Ä„( )2 =
2 4
µ(A)
Ä„a2 Ä„
P [A] = = =
µ(&!) a2 4
1