Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Obwody elektryczne
Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych 
odpowiedz
na dowolne wymuszenie
Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski
Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii
Wydział Elektryczny
Politechnika Wrocławska
D-1, 205/1
tel: [phone]
fax: [phone]
email: [e-mail]
�
1
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1. Sygnały jako funkcje uogólnione ............................................................................................................................................................................................5
1.1 Skok jednostkowy............................................................................................................................................................................................................5
1.2 Funkcja impulsowa, impuls Diraca - dystrybucja ...........................................................................................................................................................9
1.3 Różniczkowanie dystrybucyjne .....................................................................................................................................................................................12
1.4 Działania z udziałem impulsu Diraca ............................................................................................................................................................................14
2. Splot  związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu SLS w dziedzinie czasu...............................................................................................................16
2.1 Odpowiedz
jednostkowa i impulsowa układu ...............................................................................................................................................................17
2.2 Operacja splotu ..............................................................................................................................................................................................................20
2.3 SPLOT - wyznaczanie splotu analitycznie  Przypadek dwóch funkcji prawostronnych: ...........................................................................................22
2.4 SPLOT: wyznaczanie splotu z wykorzystaniem jego własności...................................................................................................................................27
2.5 SPLOT: wyznaczanie splotu analitycznie  Przypadek funkcji lewostronnej i prawostronnej: ...................................................................................30
2.6 SPLOT: wyznaczanie splotu analitycznie  Przypadek funkcji prawostronnej oraz o ograniczonym czasie trwania:.................................................35
�
2
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Liniowość obwodu elektrycznego
Obwód liniowy spełnia zasadę addytywności i zasadę homogeniczności (proporcjonalności,
jednorodności) w stosunku do wielkości wejściowych i wyjściowych.
Zasada addytywności: Zasada homogeniczności (proporcjonalności):
x1 t y1 t i x2 t y2 t x t y t
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x1 t + x2 t y1 t + y2 t ax t ay t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Liniowy Liniowy
Stacjonarność obwodu elektrycznego
Obwód nazywamy stacjonarnym, jeśli jego parametry nie ulegają zmianie w czasie, a zatem odpowiedz

nie zależy od chwili pojawienia się wymuszenia. Obwód stacjonarny jest inwariantny względem przyjętej
chwili początkowej.
x t y t
( ) ( )
Stacjonarny
x t +� y t +�
() ()
Przyczynowość obwodu elektrycznego
Obwód nazywamy przyczynowym, jeśli przy braku wymuszenia nie wykazuje odpowiedzi. W obwodzie
przyczynowym skutek(odpowiedz
) nie może pojawić się wcześniej od przyczyny (wymuszenia). Każdy
obwód liniowy pasywny musi być przyczynowy.
Przyczynowy
x t = 0 y t = 0
( ) ( )
�
3
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Bieżące podsumowanie w zakresie analizy stanu nieustalonego:
Dotychczas w analizie stanu nieustalonego wykorzystywaliśmy metodę klasyczną. Załączanie na napięcie
stałe czy też sinusoidalne tego samego obwodu było dla nas osobnym zagadnieniem, które
rozwiązywaliśmy od początku do końca zgodnie z prawidłami metody klasycznej. Musimy też pamiętać, że
dla tego rodzaju wymuszeń mamy szeroką wiedzę na temat wyznaczania składowej ustalonej, która jest
niezbędną dla określenia końcowej odpowiedzi.
Pytania i problemy następne:
Czy dla obwodów liniowych stacjonarnych (SLS czy LTI) musimy za każdym razem przeprowadzać pełną
analizę stanu nieustalonego jeśli zmienimy np. rodzaj wymuszenia? Czy nie można danej strukturze
obwodu przyporządkować jednoznacznej charakterystyki (lub charakterystyk) na podstawie, której da się
określić szukaną odpowiedz
np. dla dowolnego wymuszenia? Znaczenie takiej charakterystyki obwodu,
byłoby tym większe, jeśli wymuszeniem byłby dowolny sygnał, wykraczający poza standardy sygnału
stałego bądz
sinusoidalnego.
Sprecyzujmy zagadnienie następująco:
charakterystyki obwodu SLS w relacjach wejście  wyjście, odpowiedz
obwodu na dowolne
wymuszenie, przejście sygnału przez obwód.
dowolna relacja
x t e t e t
np.
( ) ( ) ( )
y t
x t
( )
( )
prądowo-
SLS
WY
WE y t uC t iL t
np.
( ) ( ) ( )
napięciowa
�
4
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1. Sygnały jako funkcje uogólnione
Zanim spróbujemy rozwiązać postawiony problem relacji pomiędzy wejściem a wyjściem obwodu SLS
musimy poszerzyć definicję funkcji, które służyć będą do opisu sygnałów. Zdążyliśmy się już zorientować,
że w stanach nieustalonych nieciągłości typu  skok w sygnałach napięć czy prądów nie są niczym
nadzwyczajnym, np. napięcie na cewce czy prąd płynący przez kondensator, czy też relacje napięciowo-
prądowe na rezystorze, mogą zmieniać się skokowo. Nawet, w szczególnych idealnych przypadkach,
sygnały zachowawcze tj. prąd płynący przez cewkę oraz napięcie na kondensatorze, mogą utracić swoją
ciągłość.
Wykracza to poza dziedzinę funkcji ciągłych, ponieważ nie możemy określić wartości funkcji punkt po
punkcie, jak to ma miejsce w przypadku  zwyczajnych funkcji.
Poznajmy zatem dwie dodatkowe funkcje, które w towarzystwie funkcji ciągłych, pozwolą w pełni opisać
sygnały. Jest to tym bardziej istotne, kiedy należy opisać analitycznie (matematycznie wzorem) sygnał
wejściowy i poddać go operacji przejścia przez obwód SLS.
1.1 Skok jednostkowy
Funkcją Heaviside'a (skokiem jednostkowym, funkcją skoku jednostkowego) nazywamy funkcję 1(t)
określoną następująco:
1(t )
1
1 dla t > 0
ż#
1 t =
( )
�#
t
�#0 dla t < 0
0
�
5
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
W ogólnym przypadku skok jednostkowy może być przesunięty na osi czasu o wartość t0. Stosujemy
wówczas zapis:
1(t-t )
0
1
1 dla t > t
ż#
0
1 t - t =
()
�#0 dla t < t
0
t
�# 0
0
t
0
Wykorzystując skok jednostkowy można w prosty sposób zapisywać sygnały, które posiadają
niejednorodny opis w różnych przedziałach czasowych. W tym celu określa się funkcję spełniającą rolę
okna czasowego w(t):
w(t)
1
w t = 1 t - t1 - 1 t - t2
( ) ( ) ( )
t
0
t1 t2
�
6
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykłady wykorzystania funkcji skoku jednostkowego i funkcji okna do zapisu analitycznego
sygnałów:
xa(t) xb(t)
1
0,9999
1
-3t
999900e
1(1 - e-2t)
t
0
2 4
0
t
xb t = 1 1 - e-2t 1 t - 1 t - 2 +
Ą#ń#
( ) ( ) ( )Ś#
( )Ł#
+ 999900e-3t Ą#1 t - 2 - 1 t - 4 ń#
xa t = e-3t 1 t ( ) ( )Ś#
( ) ( )
Ł#
xc(t) xd (t)
3
2
2
1
1
t
t
0
1 2 3 4 5
0
1 2 3 4 5
xd t = 2 t - 1 Ą#1 t - 1 - 1 t - 2 ń# +
( ) ( )Ł# ( ) ( )Ś#
xc t = t - 1 t - 1 + 2 t - 1 - 1 t - 2 +
Ą# ń# Ą# ń#
( ) ( ) ( )Ś# Ł#1( ) ( )Ś#
Ł#1
1
t Ą# ń#
)Ł# ( ) ( )Ś#
2
+ 3Ł#1 t - 2 - 1 t - 4 + t - 4 - 1 t - 5
Ą#ń# Ą#ń#
( ) ( )Ś# Ł#1( ) ( )Ś# - ( - 6 1 t - 2 - 1 t - 4 +
+ 2 t - 4 - 1 t - 5
Ą#ń#
( ) ( )Ś#
Ł#1
�
7
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykłady wykorzystania funkcji skoku jednostkowego i funkcji okna do zapisu analitycznego
sygnałów okresowych:
"
Sygnał okresowy możemy zapisać definiując jeden okres xT t jako x t = xT t - kT
( ) ( ) ( )
"
k=-"
Sygnał piłokształtny
xT(t)
x(t)
A
A
t
t
0
T
0
-T T2T
A
""
A
x t = t Ą#1 t - 1 t - T ń#
( ) ( ) ( )Ś#
T
Ł#
x t = xT t - kT = t
( ) ( ) ( - kT Ą#1 t - kT - 1 t - kT ń#
) () ()Ś#
"" T
Ł#
T
k =-1 k =-1
Sygnał sinusoidalny wyprostowany dwupołówkowo (dwufalowo)
x(t)
xT(t)
2t
sin(
)
2Ą
� = 2 rad / s ,T = = Ą s
[ ] [ ]
�
1
1
t
t
Ą
Ą
3
Ą
[s]
0
0
Ą
2
2
2
3
ĄĄ Ą Ą
x t = x t = sin 2t t - 1 t - ń#
Ą#
( ) ()Ś# Ł#1() ( )
()ń# ( ) ( ) ( ) ( )Ś#
"sin Ą# t - k ń# Ą# t - k - 1 t - k + 1 Ś#
22 2
Ł#2 T 2
Ł#1
k=0
�
8
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1.2 Funkcja impulsowa, impuls Diraca - dystrybucja
Kolejną funkcją wykraczająca poza definicje funkcji ciągłych, jest impuls Diraca (dystrybucja). Funkcja
impulsowa jest typowym przedstawicielem funkcji uogólnionych. Definicja impulsu Diraca ma swoje z
ródła
w aproksymacji skoku jednostkowego i próbie określenia pochodnej ze skoku jednostkowego.
Funkcję skoku jednostkowego można rozpatrywać jako granicę funkcji 1 t,� z parametrem � > 0 :
( ) ( )
1 t = lim 1 t ,�
( ) ( )
� 0+
Przykładowe aproksymacje skoku jednostkowego przedstawia poniższy rysunek:
1(t,�)
1
1(t,�)
� = 1
� = 0.5
1
0.5
� = 0.1
t
t
0
-5 5
-� �
1 1 t
�# ś#
1 t ,� = + arctg
( )2 Ą
ś# ź#
�
�# #
�
9
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Różniczkując względem czasu dowolną funkcję aproksymującą skok jednostkowy 1 t,� otrzymujemy
( )
przebiegi posiadające kształt impulsu, pod którym pole powierzchni (niezależnie od � ) równe jest jeden.
Teraz spróbujemy określić pochodne funkcji aproksymującej oraz wpływ parametru � na ich kształt.
Niech:
"
� t ,� = Ą#
( )" t Ł#1 t ,� ń#
( )Ś#
� (t,�)
� (t,�)
� = 0.1
3 2
�
� = 0.2
� = 1
�
-�
t
t
-3 0 3
0
" ż#1 1 t �# 1 �
1
� t ,� =+ arctg�# ś# =
( )" t
�#
ś# ź#Ź# � t ,� = Ą#1 t + � -1 t - � ń#
2 ( )2� Ł# ( ) ( )Ś#
� + t2
�# #
�#2 Ą� Ą
�#
Funkcje � t,� spełniają granicznie definicję impulsu Diraca
( )
" dla t = 0
ż#
� t = lim � t ,� =
( ) ( )
�#
� 0+
�#0 dla t `" 0
�
10
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Impuls Diraca stanowi więc dystrybucyjną pochodną skoku jednostkowego. Przypomnijmy, pochodna w
sensie zwykłym, w punkcie nieciągłości I-go rodzaju, jakim jest skok jednostkowy, nie istnieje.
" " d
Ą#lim1 t ,� ń#ń#
� t = lim Ą#1 t ,� ń#Ą#1 t
==
( ) ( )Ś# " t Ł#� ( )Ś# dt Ł# ( )Ś#
Ł#
� 0+ 0+
" t
Jednocześnie tak zdefiniowana funkcja impulsu Diraca, wciąż zachowuje właściwość:
"
� t dt = 1
( )
+"
-"
Podobnie jak skok jednostkowy impuls Diraca może być przesunięty na osi czasu. Spełnia wówczas
analogiczne:
"
" dla t = t0
ż#
� t - t = � t - t dt = 1
() ()
�#0 dla t `" t0 ,
0 0
+"
�# -"
Wzajemne relacje pomiędzy skokiem jednostkowym a impulsem Diraca podsumowują zależności:
t t
d d
Ą# - t ; 1 t - t = � � - t d�
ń#
Ą#
� t = � � d� oraz � t - t =Ł#1 t
( ) ( )Ś# ( ) ( ) () ()Ś# ) ()
(
00 0 0
Ł#1 t ń# ; 1 t = +" +"
dt dt
-" -"
x(t) Impuls Diraca przedstawia się na wykresach
5�(t-2)
symbolicznie za pomocą odcinka zakończonego
t
-3
grotem. Wartość impulsu np. -4 oznacza, że "pole"
x t = -4� t + 3 + 5� t - 2
( ) ( ) ( )
2 pod impulsem wynosi -4 (impuls ma w tym przypadku
0
 wartość ujemną)
-4�(t+3)
�
11
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1.3 Różniczkowanie dystrybucyjne
Wprowadzenie funkcji skoku jednostkowego oraz impulsu Diraca daje możliwości opisu znacznie szerszej
klasy sygnałów niż tyko sygnałów ciągłych. Daje też możliwość różniczkowania sygnału oraz
jednoznacznego odtworzenia sygnału z jego pochodnej, co przy pominięciu elementów dystrybucyjnych
nie jest zawsze możliwe. Podobnie więc różniczkowanie dystrybucyjne wnosi większą  ogólność ,
niezbędną często przy zapisie sygnałów.
Niech będzie dana funkcja f(t), która w każdym skończonym przedziale otwartym:
- posiada co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości I-go rodzaju;
- jest różniczkowalna (w zwykłym sensie)  wszędzie poza ww. punktami nieciągłości, tzn. jest
przedziałami funkcją ciągłą fc(t).
Wykorzystując skok jednostkowy funkcję tę można zapisać w postaci :
Ą#
f t = fc t + f tk + - f tk - 1 t - tk
( ) ( )
( ) ( )ń# ( )
"
Ł#
Ś#

k
"fk
Pochodną dystrybucyjna, zawierać będzie przedziałami ciągłe pochodne od składników fc(t), ale również w
punktach nieciągłości składniki dystrybucyjne w postaci impulsów Diraca o wartościach równych różnicy
prawo- i lewostronnej granicy funkcji w tych punktach.
dd
Ą#ń# Ą# ń#
f t = fc t +
( )Ś# dt Ł# ( )Ś# ()
""f � t - tk
k
Ł#
dt
k
�
12
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykłady różniczkowania dystrybucyjnego:
Przykład 1 Przykład 2 Przykład 3
x(t)
x1(t) x2(t)
3
2 2
1 1
2
t t
0 0
1 2 1 2
1
t
0 13 7
2
x2 t
2 ( )
x1 t
( )
� t - 1 2
( ) x t
� t-1 � t-2 ( )
( ) ( ) 2� t - 3
( )
1
1
1
7
t t
2
t
0 0
0 1
1 2
1 2 3
-� t - 2
( )
-1
-1
-� t -7
( )
2 2
x t
( )
1
2
2� t - 3 � t -7
( ) ( )
2
� t
( )
t
0 7
1 23
sygnał
pochodna ciągła
pochodna dystrybucyjna
1
2
-� t - 1 - � t - 3
( ) ( ) -� t -7
( )
2
�
13
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1.4 Działania z udziałem impulsu Diraca
Przypomnijmy, co wiemy już o impulsie Diraca:
t
d
� � d� =1 t
Ą#1 t ń# = � t ( ) ( )
( )Ś# ( )
+"
Ł#
dt
-"
t
d
� � - t0 d� =1 t - t0
Ą#1 t - t0 ń# = � t - t0 () ()
()Ś# ()
+"
Ł#
dt
-"
+
t0
+"
+" 0+
� t - t0 dt =1 =
� t dt = 1 =
()
( )
+"+"� (t - t0 )dt
+"+"� (t)dt
-
-"
-" t0
0-
Kolejne działania z udziałem impulsu Diraca dotyczą iloczynu z funkcją f(t) z impulsem Diraca � t - t0 lub
( )
n
( )
jego pochodną , ogólnie n-tego rzędu � t - t0 :
( )
f t � t - t0 = f t0 � t - t0
( ) () ( ) ( )
2 2 2
f t � t - t = f t � t - t - f t � t - t
( ) () ( ) ( ) ( ) ( )
00 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
f t � t - t = f t � t - t - 2 f t � t - t + f t � t - t
( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00 0 0 0 0 0
Ogólnie dla n-tego rzędu pochodnej impulsu Diraca iloczyn da się wyrazić jako:
n
nk n-k
( ) n ( ) ( )
f t � t - t = f t � t - t
( ) () ( ) ( ) ()
"
0k0 0
k =0
e-3t� t = e-0� t = � t
( ) ( ) ( )
Przykład:
�
14
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Charakterystyczną własnością impulsu Diraca, jest tzw. własność filtracyjna, umożliwiająca wyznaczenie
wartości funkcji lub jej pochodnych, za pomocą operacji całkowania. Własność tę otrzymuje się
wykorzystując m.in. omówioną powyżej operację iloczynu funkcji z impulsem Diraca lub jego pochodnymi:
Dla funkcji (sygnału) własność filtracyjna impulsu Diraca wyraża się jako:
" ""
f t � t - t dt = f t � t - t dt = f t � t - t dt = f t
( ) () ( ) () ( ) () ( )
00 0 0 0 0
+"+" +"
-"-" -"
W przypadku pierwszej pochodnej:
""
2 2 2
f t � t - t dt = - f t � t - t dt = - f t
( ) () ( ) () ( )
00 00
+"+"
-" -"
W przypadku drugiej pochodnej
""
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Ą#
f t � t - t dt = f t0 � t - t0 - 2 f t0 � t - t0 + f t0 � t - t0 Ś# dt = f t0
( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ń# ( )
0
+"+"
Ł#
-" -"
Ostatecznie dla dowolnego n własność filtracyjna impulsu Diraca przyjmuje postać:
"
n
nn
( ) ( )
f t0 = -1 f t � t - t dt
( ) ( ) ( ) ()
0
+"
-"
�
15
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2. Splot  związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu SLS w
dziedzinie czasu
Wprowadzenie pojęcia układu jest pewnym uogólnieniem ze względu na funkcję pełnioną przez dany
obwód elektryczny, a także wypadkową funkcję jednostek zbudowanych z wielu obwodów elektrycznych.
Niezależnie od różnic w interpretacji lub strukturze układów, zawsze można wyróżnić w układzie wejście,
na które wprowadzany jest sygnał wejściowy (tzw. pobudzenie lub wymuszenie) oraz wyjście, z którego
odbierany jest sygnał wyjściowy (tzw. odpowiedz
), który następnie może być przekazywany dalej - do
innych układów przetwarzania.
Na przykład dla rozgałęzionego obwodu elektrycznego, w którym występuję kilka z
ródeł autonomicznych,
dowolnego rodzaju (prądowe, napięciowe), możemy przyjąć wielkości określone przez z
ródła jako sygnały
wejściowe, natomiast prądy i napięcia w gałęziach obwodu jako sygnały wyjściowe.
Ogólnie, układy więc mogą być traktowane jako wielowymiarowe. Wtedy wejściem jest wektor zawierający
wymuszenia, a wyjściem układu jest wektor odpowiedzi.
Układ, w którym wymuszenie oraz odpowiedz
są skalarami nazywamy jednowymiarowym
DEFINICJA:
Relacje pomiędzy wyjściem a wejściem układu SLS oparte są na operacji splotu z wykorzystaniem
odpowiedzi impulsowej h t lub odpowiedzi skokowej k t
( ) ( )
d
SLS
y t = Ą#x t " k t ń# Całka Duhamela
( ) ( ) ( )Ś#
Ł#
y t
x t
( )
( )
dt
h t
( )
WY
WE
y t = x t " h t
Całka splotowa
( ) ( ) ( )
k t
( )
�
16
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
UWAGA nowe pojęcia: odpowiedz
jednostkowa k t , odpowiedz
skokowa h t , splot ",
( ) ( )
wymusznie (wejście), odpowiedz
(wyjście).
Choć wymienione pojęcia wprowadzamy po raz pierwszy, okazuje się, że jedno z nich, tj. odpowiedz

jednostkowa nie jest nam zupełnie obca. Bowiem dla układu jednowymiarowego, dla którego sygnałem
wejściowym jest z
ródło napięcia, poszukiwanie odpowiedzi jednostkowej oznacza analizę obwodu w stanie
nieustalonym przy załączaniu na z
ródło napięcia stałego 1V w chwili t0=0. Określony sygnał wyjściowy, czy
to dowolne napięcie czy prąd w obwodzie, będzie odpowiedzią jednostkową układu.
Przypomnijmy w tym miejscu ideę poszukiwania ogólnego związku pomiędzy wejściem a wyjściem dla
danego układ. Otóż, dla danej struktury układu odpowiedz
jednostkową czy impulsową będziemy
wyznaczać tylko raz, traktując te je jako charakterystyki  czasowe układu. Na ich podstawie korzystając z
operacji splotu możemy wyznaczyć odpowiedz
na dowolne wymuszenia i zaoszczędzić pełnych analiz
układu w stanie nieustalonym dla każdego wymuszenia z osobna.
2.1 Odpowiedz
jednostkowa i impulsowa układu
y t = k t
x t =1 t Odpowiedz
jednostkowa k t
( ) ( )
( ) ( ) ( )
k t = y t
( ) ( )
SLS
x t =1 t
( ) ( )
WY
WE (charakterystyka jednostkowa)
Odpowiedz
jednostkowa układu liniowego jest sygnałem wyjściowym układu wywołanym przez sygnał
wejściowy będący skokiem jednostkowym.
�
17
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
y t = h t
x t = � t Odpowiedz
impulsowa h t
( ) ( )
( ) ( ) ( )
h t = y t
( ) ( )
SLS
x t =� t
( ) ( )
WY
WE
(charakterystyka impulsowa)
Odpowiedz
impulsowa układu liniowego jest sygnałem wyjściowym układu wywołanym przez sygnał
wejściowy będący impulsem Diraca jednostkowym.
Ponadto pomiędzy odpowiedzią jednostkową i impulsową istnieje wzajemna relacja różniczkowa taka, że:
d
h t = k t
( ) ( )
dt
Przy czym należy pamiętać, że różniczkowanie to ma sens ogólny, czyli dystrybucyjny.
Przykład wyznaczania odpowiedzi jednostkowej i impulsowej układu
Niech dany będzie układ jak na rysunku, którego sygnałem wyjściowym jest napięcie na kondensatorze.
Do wyznaczenia odpowiedzi jednostkowej możemy posłużyć się analizą obwodu w stanie nieustalonym
przy załączaniu napięcia stałego o wartości E=1V, poszukując napięcia na kondensatorze.
R R
i(t) i(t)
t = 0
uR(t) uR(t)
Praktyczna
realizacja
WE WY
WY
C C
odpowiedzi
E=1
uc(t) uc(t)
jednostkowej
k t
( )
WE
1 t
( )
�
18
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Wracając do wykładu 3 przebieg napięcia na kondensatorze w szeregowym obwodzie RC załączanym na
napięcie stałe o wartości E ma postać:
11
- t - t
�#ś#
RC
RORN = RSRN + RORJ �! uC t = uCu t + uCp t = E - Ee = E ,dla t > 0
( ) ( ) ( )
ś#1- e RC ź#
�# #
Adaptując dla E=1, możemy określić odpowiedz
jednostkową
11
- t - t
�#ś#
RC
k t = 1- 1e = ,dla t > 0
( )
ś#1- e RC ź#
�# #
Mając wiedzę o wykorzystaniu funkcji jednostkowych w zapisie sygnału, dopisek t>0 możemy zastąpić
formą:
1
- t
�#ś#
k t =
( ) ( )
ś#1- 1e RC ź#�"1 t
�# #
Chcąc wyznaczyć odpowiedz
impulsową należy dokonać różniczkowania dystrybucyjnego odpowiedzi
jednostkowej, wykorzystując przy tym własność iloczynu funkcji z impulsem Diraca
11 1
- t
Ą#ń# - t - t
�#ś#
dd
h t = k t = �"1 t + 1 t �"ś#1- 1eRC ź# =
( ) ( ) ( )Ą# �#ś#2 ( ) ( )
( )2 �#ś#
ó#
ś#1- 1e RC ź#�"1 t = ś#1- 1e RC ź#
dt dt
�# # �# # �# #
Ł#Ś#
11 11 1
- t - t - t - 0 - t
�#ś# �# ś# �#ś# �# ś# �#ś#
111
RC RC RC
= e = e = e
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ś#ź#�"1 t + � t �"ś#1- 1e RC ź# ś#ź#�"1 t + � t �"ś#1- 1e RC ź# ś#ź#�"1 t
RC RC RC
�# # �# # �# # �# # �# #
�
19
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.2 Operacja splotu
Zanim wykorzystamy operację splotu do wyznaczania odpowiedzi na dowolne wymuszenie przy danej
charakterystyce jednostkowej lub impulsowej musimy poznać prawidła matematyczne rządzące tym
przekształceniem. Określmy je i poznajmy na podstawie dowolnych funkcji f t i g t
( ) ( )
SPLOT  DEFINICJA:
Splotem funkcji (dystrybucji) f t i g t nazywamy funkcję (dystrybucję) określoną za pomocą całki:
( ) ( )
"
s t = f t " g t = f � g t -� d�
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"
-"
Operację tworzenia splotu nazywamy splataniem lub mnożeniem splotowym
Do podstawowych własności splotu należą:
"
s t = f t " g t = g t " f t = g � f t -� d�
Przemienność ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"
-"
s t = Ą# f t " g t ń# " h t = f t " Ą#g t " h t ń# = f t " g t " h t
A
ączność ( ) ( ) ( )Ś# ( ) ( ) ( ) ( )Ś# ( ) ( ) ( )
Ł# Ł#
Rozdzielność
s t = Ą# f t ą g t ń# " h t = f t " h t ą g t " h t
względem dodawania i ( ) ( ) ( )Ś# ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ł#
odejmowania
n
Różniczkowanie splotu
d
n-k
2 2 2
s t = f t " g t = f t " g t Ą# f t " g t ń# = f t g(k) t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), dtn Ł# ( ) ( )Ś# ( ) ( ) ( )
�
20
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
c.d. własności splotu:
"
Przesunięcie splotu
s t - t0 = f � g t - t0 -� d� = f t " g t - t0 s t - t0 = f t - t0 " g t
( )
( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( )
(stacjonarność
+"
-"
splotu)
,
Mnożenie splotu
t s t = Ą#t f t ń# " g t + f t " Ą#t g t ń#
( ) ( )Ś# ( ) ( ) ( )Ś#
Ł# Ł#
przez t
Mnożenie splotu
przez funkcję
eat Ą# f t " g t ń# = f t " g t
( ) ( )Ś# Ą#eat ( )ń# Ą#eat ( )ń#
Ł#
Ł# Ś# Ł# Ś#
wykładniczą eat
""" "
f t "� t = � � f t -� d� = � � f t -� d� = � � f t d� = f t � � d� = f t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"+"+" +"
Splot z impulsem
-" -" -" -"
Diraca � t ,� t - t0
( ) ( )
nn n
( ) ( ) ( )
f t "� t = f t "� t = f t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
- jedynka splotowa
f t "� t - t = f t - t "� t = f t - t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00 0
�
21
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.3 SPLOT - wyznaczanie splotu analitycznie  Przypadek dwóch funkcji
prawostronnych:
Rozpatrzmy ogólnie przypadek splotu dwóch funkcji prawostronnych
f t = f t �" 1 t - t1 , g t = g t �" 1 t - t2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00
których splot zdefiniować można jako:
""
s t = f � g t -� d� = f � 1 � - t g t -� 1 t - t -� d�
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()
01 0 2
+"+"
-" -"
Warto zauważyć, że granice całki, ze względu na � , z granic nieoznaczonych możemy ustalić na
oznaczone na podstawie czynników 1 � - t1 oraz 1 t - t2 -� , przez określenie, zależnych od t, granic
( ) ( )
przedziału zmiennej t, w którym iloczyn ich równy jest jeden, tzn. oba są niezerowe.
1 � - t1 = 1 gdy � > t1 , 1 t - t2 -� = 1 gdy � < t - t2
( ) ( )
Stąd :
1 gdy t1 < � < t - t2
ż#
1 � - t1 1 t - t2 -� =
( ) ( )
�#0 gdy � < t1 lub � > t - t2
�#
A granice nieoznaczone ze względu na istnienie funkcji podcałkowej względem zmiennej całkowania �
przejdą w z
(-",+" w t1 ,t - t2
)
Ich wzajemne połączenie wyznacza przedział zmiennej t, w którym splot różny jest od zera, czyli
t > t1 + t2. Zapewni to wymnożenie przez skok jednostkowy o początku w punkcie t1 + t2
�
22
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
t-t2
Ą#ń#
s t = 1 - t1 + t2 f � g t -� d�
( ) ()Ś# ( ) ( )
00
+"
Ł#t
t1
Do zobrazowania powyższego rozumowania możemy wprowadzić pojęcie  stałego i  ruchomego okna
względem zmiennej całkowania � . Okno stałe to 1 � - t1 . Okno  ruchome należy rozumieć, jako zależne
( )
od parametru t , a więc1 t - t2 -�
()
t - t2 < t1
a)
1(t - t2- � ) 1(� - t1)
1
�
t - t2 t1
okno ruchome okno stałe
b)
t - t2 = t1
1
�
t - t2= t1
t - t2 > t1 przedział całkowania
c)
1
�
t1
t - t2
�
23
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład wyznaczania odpowiedzi układu RC na wymuszenie wykładnicze:
Dla układu RC opisanego wcześniej charakterystyką jednostkową i impulsową wyznacz odpowiedz
na
wymuszenie typu x t = e-ąt1 t
( ) ( )
1
R
- t y t = ?
�#ś#x t = e-ąt1 t ( )
( ) ( )
i(t)
k t =
( ) ( )
ś#1- 1e RC ź#�"1 t
�# #
uR(t)
1
- t
WE WY �#ś#
1
C
uc(t)
h t = eRC
( ) ( )
ś#ź#�"1 t
RC
�# #
Mając daną postać odpowiedzi impulsowej skorzystamy z postaci całki splotowej opisując relację
pomiędzy wejściem a wyjściem:
1
""
- ( )
t-�
1
RC
y t = x t " h t = x � h t -� d� = e-ą� 1 � e 1 t -� d� =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )RC ()
+"+"
-" -"
1
ś#
11
""
-�#ą -
- ( ) ś# ź#�
t-� - t
11
RC
�# #
RC RC
= e-ą�e 1 � 1 t -� d� = e e 1 � 1 t -� d�
( ) ( ) ( ) ( )
+"+"
RC RC
-" -"
Określamy granice całki splotowej :1 � = 1 gdy � > 0 , 1 t -� = 1 gdy t -� > 0,� < t
( ) ( )
�
24
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1 gdy 0 < � < t
ż#
1 � 1 t -� =
( ) ( )
�#
�#0 gdy � < 0 lub � > t
Określamy niezerowe wartości splotu 0 <� < t , co względem zmiennej t prowadzi do t > 0. Zapewni to
funkcja skoku jednostkowego 1(t)
Stąd operację splotu da się wyznaczyć analitycznie jako:
11
ś# ś#
11
" t
-�#ą - Ą#ń#
-�#ą -
- t - t
ś# ź#� ś# ź#�
11
RC RC
y t = x t " h t =eRC e�# # 1 � 1 t -� d� = eRC �# # d� �"1 t =
ó#Ą#
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"+"e
RC RC
ó#Ą#
-" 0
Ł# Ś#
1 1
ś# ś#
Ą#ń#ś# ź#� t ń#
1 1
�#ś#
Ą#
-�#ą -
- t - t
ś# ź#� t
11 1RC �# -�#ą - ś#
RC
RC RC
RC
ó#
ś#ź#
ó#- e ś#e ź# �"1 t =
Ą#
=-�# #Ą#�# #
ee �"1 t = �"
( ) ( )
0 0
1 ś#ź#
ó#Ą#
RC
ś#ź# RC ą RC - 1
ą - ó#Ą#
�# #
Ł#Ś#
RC
�# #
Ł#Ś#
1
ś#t
11 1 1
Ą#ń#
�# -�#ą - ś#
Ą#ń#
- t �# - t t - t ś#
ś# ź#
11
RC
�# #
RC RC RC
ó#Ą#
=- 1ź# �"1 t = e e-ąteRC - e
e ś# e
( ) ( )
ó#
ś#ź#
ó#1-ą RC ś#ź#Ą#
ó#1-ą RC ś#ź#Ą# �"1 t =
�# #
Ł#Ą#
Ś#
�# #
Ł#Ś#
1
Ą#ń#
- t
�#ś#
1
RC
= e-ąt - e
ó# ( )
ś#ź#
ó#1-ą RC ś#ź#Ą# �"1 t
�# #
Ł#Ą#
Ś#
�
25
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład dla danych : ą = 2,R = 1� ,C = 1F
Ą#- Ą#
h t = e-t 1 t ; x t = e-2t1 t y t = e-2t - e-t Ś# �"1 t = e-t - e-2t Ś# �"1 t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )ń# ( )ń#
Ł# Ł#
1
h
0.9
x
y=h*x
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
t [s]
�
26
[pu]
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.4 SPLOT: wyznaczanie splotu z wykorzystaniem jego własności
Nie zawsze konieczne jest wyznaczanie splotu przez sprecyzowanie obszarów całkowania i wykonania
poszczególnych całkowań.
Niekiedy konstrukcja splotu pozwala na wykorzystanie jego podstawowych właściwości:
"
s t = f t " g t = g t " f t = g � f t -� d�
Przemienność ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"
-"
s t = Ą# f t " g t ń# " h t = f t " Ą#g t " h t ń# = f t " g t " h t
A
ączność ( ) ( ) ( )Ś# ( ) ( ) ( ) ( )Ś# ( ) ( ) ( )
Ł# Ł#
Rozdzielność
s t = Ą# f t ą g t ń# " h t = f t " h t ą g t " h t
względem dodawania i ( ) ( ) ( )Ś# ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ł#
odejmowania
n
Różniczkowanie splotu
d
n-k
2 2 2
s t = f t " g t = f t " g t Ą# f t " g t ń# = f t g(k) t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), dtn Ł# ( ) ( )Ś# ( ) ( ) ( )
"
Przesunięcie splotu
s t - t0 = f � g t - t0 -� d� = f t " g t - t0 s t - t0 = f t - t0 " g t
( )
( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( )
+"
(stacjonarność splotu)
-"
,
t s t = Ą#t f t ń# " g t + f t " Ą#t g t ń#
Mnożenie splotu przez t ( ) ( )Ś# ( ) ( ) ( )Ś#
Ł# Ł#
Mnożenie splotu przez
eat Ą# f t " g t ń# = f t " g t
( ) ( )Ś# Ą#eat ( )ń# Ą#eat ( )ń#
Ł#
Ł# Ś# Ł# Ś#
funkcję wykładniczą eat
�
27
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
""" "
f t "� t = � � f t -� d� = � � f t -� d� = � � f t d� = f t � � d� = f t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"+"+" +"
-" -" -" -"
Splot z impulsem
nn n
( ) ( ) ( )
Diraca
f t "� t = f t "� t = f t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
� t ,� t - t0 -
( ) ( )
f t "� t - t = f t - t "� t = f t - t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00 0
jedynka splotowa
Przykład:
Przykłady wykorzystania właściwości splotu:
Ą#
a) "� t - 2 = t - 2 �"1 t - 3 + e2(t-2)1 t - 1
( ) ( )ń# ( ) ( ) ( ) ( )
Ł#t �"1 t - 1 + e2t 1 t + 1 Ś#
wykorzystana właściwość: f t "� t - t = f t - t "� t = f t - t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00 0
b) 1 t - 2 "1 t + 1 = 1 t "� t - 2 "1 t "� t + 1 = 1 t "1 t "� t + 1 "� t - 2 =
() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= t1 t "� t - 1 = t - 1 1 t - 1
( ) ( ) ( ) ( )
wykorzystana właściwość f t "� t - t = f t - t "� t = f t - t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00 0
� t + 1 "� t - 2 = � t + 1- 2 = � t - 1
( ) ( ) ( ) ( )
+" t
dodatkowo lokalnie splot 1 t "1 t = 1 � 1 t -� d� =
( ) ( ) ( ) ( )
+"+"d� �"1(t) = t �"1(t)
-" 0
�
28
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
ponownie wykorzystana właściwość f t "� t - t = f t - t "� t = f t - t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00 0
t1 t "� t - 1 = t - 1 1 t - 1
( ) ( ) ( ) ( )
2
c) Ą#ń#
t + 2 1 t - 1 "1 t + 3 = t + 2 1 t - 1 " 1 t + 3
() ( )Ś# 2 () () ( ) ()
Ł#
= t + 2 1 t - 1 "� t + 3 = t + 5 1 t + 2
() ( ) () () ()
2 2
wykorzystana właściwość f t " g t = f t " g t
( ) ( ) ( ) ( )
oraz f t "� t - t = f t - t "� t = f t - t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00 0
�
29
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.5 SPLOT: wyznaczanie splotu analitycznie  Przypadek funkcji lewostronnej i
prawostronnej:
Rozpatrzmy ogólnie przypadek splotu funkcji lewostronnej i prawostronnej
f t = f t �" 1 t1 - t , g t = g t �" 1 t - t2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
00
Należy zwrócić uwagę na zapis funkcji lewostronnej z wykorzystaniem lewostronnego skoku
jednostkowego:
Lewostronny skok jednostkowy Prawostronny skok jednostkowy
1 t1 - t 1 t - t1
( ) ( )
vs
1 t1 - t
( )
1 t - t1
( )
� �
t1 t1
Splot funkcji lewostronnej i prawostronnej zdefiniujemy jako:
""
s t = f � g t -� d� = f � 1 t -� g t -� 1 t - t -� d�
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()
01 0 2
+"+"
-" -"
Warto zauważyć, że granice całki, ze względu na � , możemy ustalić na podstawie czynników 1 t1 -� oraz
( )
1 t - t2 -� , przez określenie, zależnych od t, granic przedziału zmiennej � , w którym iloczyn ich równy jest
( )
jeden, tzn. oba są niezerowe.
�
30
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1 t1 -� = 1 gdy t1 -� > 0 tj.� < t1 , 1 t - t2 -� = 1 gdy � < t - t2
( ) ( )
Stąd dolna granica całkowania pozostaje nieoznaczona, czyli -", zaś górna granica całkowania zależeć
będzie od wzajemnych relacji pomiędzy t1 oraz t - t2
1 t -� 1 t - t -� = 1 gdy � < min t - t2 ,t1
() ( ) { }
12
Granice nieoznaczone ze względu na istnienie funkcji
podcałkowej względem zmiennej całkowania �
a)
okno ruchome 1 t - t2 -�
( )
przejdą z
(-",+" w -",min t - t2 ,t1 , co
) { }
t - t2 < t1
ostatecznie zdefiniuje splot w postaci
�
min t-t2 ,t1
{ }
t - t2 t1 okno stałe 1 t1 -�
( )
s t = f � g t -� d�
( ) ( ) ( )
00
+"
b)
-"
t - t2 = t1
Powyższe rozwiązanie możemy zobrazować przez
�
wprowadzenie pojęcie  stałego i  ruchomego okna
t - t2= t1
względem zmiennej całkowania � . Okno stałe to
lewostronne 1 t1 -� . Okno  ruchome należy
( )
t - t2 > t1
c)
rozumieć, jako zależne od parametru t , a
więc1 t - t2 -�
()
�
t1
t - t2
�
31
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład wyznaczania odpowiedzi układu RC na lewostronne wymuszenie wykładnicze:
Dla układu RC opisanego wcześniej charakterystyką jednostkową i impulsową wyznacz odpowiedz
na
wymuszenie lewostronne typu x t = eąt 1 -t
( ) ( )
1
R
- t y t = ?
�#ś#x t = eąt1 -t ( )
( ) ( )
i(t)
k t =
( ) ( )
ś#1- 1e RC ź#�"1 t
lewostronne
�# #
uR(t)
1
- t
WE WY �#ś#
1
C
uc(t)
h t = eRC
( ) ( )
ś#ź#�"1 t
RC
�# #
Dla usprawnienia obliczeń przyjmijmy dane: R = 1� ,C = 1F oraz ą = 1
R
y t = ?
x t = et1 -t
k t = 1- 1e-t �"1 t ( )
( ) ( ) ( ) ( )
i(t) ( )
lewostronne
h t = e-t �"1 t
( ) ( )
( )
uR(t)
WE WY
C
uc(t)
�
32
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Mając daną postać odpowiedzi impulsowej skorzystamy z postaci całki splotowej opisując relację
pomiędzy wejściem a wyjściem:
""
y t = x t " h t = x � h t -� d� = e� 1 -� e-(t-� )1 t -� d� =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()
+"+"
-" -"
""
= e�e-(t-� )1 -� 1 t -� d� =e-t e2� 1 -� 1 t -� d�
( ) ( ) ( ) ( )
+"+"
-" -"
Określamy granice całki splotowej :
1 -� = 1 gdy -� > 0,tj.� < 0 , 1 t -� = 1 gdy t -� > 0,� < t
( ) ( )
1 1 t -� = 1, gdy � < min t ,0
(-�
) ( ) { }
Stąd operację splotu da się wyznaczyć analitycznie jako:
min t ,0
{ }
min t ,0
{ }
11 1 1 1
y t = e-t e2� d� = e-t Ą#e2� ń# = e-te2t 1 -t + e-te0 1 t = et 1 -t + e-t 1 t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2 2
+"
Ł# Ś#
-"
-"
�
33
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład dla danych : ą = 1,R = 1� ,C = 1F
11
h t = e-t 1 t ; x t = et1 -t y t = et 1 -t + e-t 1 t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22
1
h
0.9
x
y=h*x
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
t [s]
�
34
[pu]
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.6 SPLOT: wyznaczanie splotu analitycznie  Przypadek funkcji prawostronnej oraz o
ograniczonym czasie trwania:
Rozpatrzmy ogólnie przypadek splotu dwóch funkcji: prawostronnej i ogranioczonej
Ą# - t1 ,
ń# Ą# - t3 - 1 t - t4 Ś#
f t = f0 tŁ#1 t g t = g0 tŁ#1 t
( ) ( ) ( )Ś# ( )( ) ( ) ( )ń#
Splot funkcji prawostronnej i ograniczonej w czasie zdefiniujemy jako:
" "
Ą# ń#
s t = f � g t -� d� = f � 1 � - t g t -� 1 t - t -� - 1 t - t -� d�
( ) ( ) ( ) ( ) () ()Ł# () ()Ś#
01 0 3 4
+"+"
-"-"
Warto zauważyć, że granice całki, ze względu na � , możemy ustalić na podstawie czynników 1 � - t1 oraz
( )
1 t - t3 -� ,1 t - t4 -� , przez określenie, zależnych od t, granic przedziału zmiennej � , w którym iloczyn
( ) ( )
ich równy jest jeden, tzn. oba są niezerowe.
Ą# - t -� - 1 t - t -� = 1 gdy t - t4 < � < t - t3
ń#
1 � - t1 = 1 gdy � - t1 > 0 tj.� > t1 ,
() ( ) ( )Ś#
34
Ł#1 t
Realizacja omawianych granic całkowania zależeć będzie od wzajemnych relacji pomiędzy t1 a t - t3 oraz
t - t4
�
35
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Powyższe rozwiązanie możemy zobrazować
przez wprowadzenie pojęcie  stałego i
1 - t1
( )
1 t1 -�
(� )
 ruchomego okna względem zmiennej 1
okno stałe
�
całkowania � . Okno stałe to 1 � - t1 . Okno
( )
t1
 ruchome należy rozumieć, jako zależne od
okno ruchome
1 t - t3 -� 1 t - t4 -�
( )
Ą#ń#
parametru t , a więc t - t -� - 1 t - t -�
1
() ( )Ś# )- (
34
Ł#1
� - t3 < t1 �! t < t1 + t3
t
t - t4 t - t3
Szukany splot będziemy rozważać w dwóch
warunkach tj.
t - t3 > t1
1
�! t1 + t3 < t < t1 + t4
a) kiedy obszar całkowania zawiera część
� - t4 < t1
t
okna ruchomego znajdującego się w
t - t4 t - t3
obrębie okna stałego
1
b) kiedy obszar całkowania zawiera pełne
t - t4 > t1 �! t > t1 + t4
�
okno ruchome znajdujące się w obrębie
okna stałego.
t1 t - t4 t - t3
Granice całkowania dla obszaru pierwszego wynoszą t1 < � < t - t3 , przy niezerowych wartościach splotu
Ą#1
t1 + t3 < t < t1 + t4 , realizowanych jako t - t1 + t3 - 1 t - t1 + t4 Ś#.
( ) ( )
( ) ()ń#
Ł#
Granice całkowania dla obszaru drugiego wynoszą t - t4 <� < t - t3, przy niezerowych wartościach
Ą#1
splotu t > t1 + t4, realizowanych jako t - t1 + t4 Ś# .
( )
( )ń#
Ł#
�
36
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Ostatecznie wyniki splotu zawierać będzie dwa składniki
t-t3 t-t3
Ą#1
s t = t - t1 + t3 + 1 t - t1 + t4 Ś# f0 � g0 t -� d� + 1 t - t1 + t4 f0 � g0 t -� d�
( ) () () ( ) ( ) () ( ) ( )
() ()ń# +"+"
()
Ł#
t1 t-t4
Przykład wyznaczania odpowiedzi układu RC na ograniczone wymuszenie:
Dla układu RC opisanego wcześniej charakterystyką jednostkową i impulsową wyznacz odpowiedz
na
Ą# ń#
wymuszenie lewostronne typu x t = AŁ#1 t - 2 - 1 t - 4
( ) ( ) [ ]Ś#
1
R
- t Ą# ń# y t = ?
�#ś# x t = AŁ#1 t - 2 - 1 t - 4
( )
( ) ( ) [ ]Ś#
i(t)
k t =
( ) ( )
ś#1- 1e RC ź#�"1 t
�# #
uR(t)
1
- t
WE WY �#ś#
1
C
uc(t)
h t = eRC
( ) ( )
ś#ź#�"1 t
RC
�# #
Dla usprawnienia obliczeń przyjmijmy dane: R = 1� ,C = 1F oraz A=1, t1 = 0,t3 = 2,t4 = 4
R
Ą# ń# y t = ?
x t = t - 2 - 1 t - 4
( )
k t = 1- 1e-t �"1 t ( ) ( ) [ ]Ś#
( ) ( )
i(t) ( )
Ł#1
h t = e-t �"1 t
( ) ( )
( )
uR(t)
WE WY
C
uc(t)
�
37
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Mając daną postać odpowiedzi impulsowej skorzystamy z postaci całki splotowej opisując relację
pomiędzy wejściem a wyjściem oraz z właściwości przemienności splotu
""
Ą#ń#
y t = h t " x t = h � x t -� d� = e-� 1 � 1 t - 2 -� - 1 t - 4 -� d� =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ł# ( ) ( )Ś#
+"+"
-" -"
Obszar 1: operacja splotu obejmuje część wejściowego sygnału
1 �
( )
ograniczonego
1
Nazwijmy częściowy wynik całki splotowej dla omawianego obszaru jako
�
y1 t .
( )
1
- Granice całkowania ze względu na zmienną � :
�
0 < � < t - 2
- Niezerowe wartości splotu:
t - 2
t - 4
t
ż# - 4 < 0
2 < t < 4
�#
�#t - 2 > 0
Ą# ń#
realizowane przez t - 2 - 1 t - 4 . Wtedy :
( ) ( )Ś#
Ł#1
t-2
t-2
ń# ń#
y1 t = Ą# - 2 - 1 t - 4 e-� d� = - Ą# - 2 - 1 t - 4 e-� 0 =
( )() ()Ś# ) ()Ś#
(
Ł#1 t +" Ł#1 t
0
-( )
t-2
=- Ą# - 2 - 1 t - 4 ń#
() ()Ś#
(e - 1
)
Ł#1 t
�
38
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Obszar 2: operacja splotu obejmuje pełen wejściowy sygnał ograniczony
Nazwijmy częściowy wynik całki splotowej dla omawianego obszaru jako
1 �
( )
y2 t .
( )
1
- Granice całkowania ze względu na zmienną � :
�
t - 4 < � < t - 2
- Niezerowe wartości splotu:
1
t
�
ż# - 4 > 0
t > 4
�#
t - 4 t - 2
�#t - 2 > 0
Ą# ń#
realizowane przez t - 4 . Wtedy :
( )Ś#
Ł#1
t-2
-( )
t-2
Ą#ń#
y2 t = t - 4 e-� d� = - Ą# - 4 e-� t-2 = - Ą# - 4
( )()Ś# ()Ś# ()Ś#
(e )
t-4
Ł#1 +" Ł#1 t ń# Ł#1 t ń#- e-(t-4)
t-4
Ostatecznie splot y t = y1 t + y2 t
( ) ( ) ( )
-( )
t-2 -( )
t-2
y t =- Ą# - 2 - 1 t - 4 ń#
( ) ( ) ( )Ś# )Ś#
(
(e - 1)- Ą# t - 4 ń#(e - e-(t-4))
Ł#1 t Ł#1
�
39
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład dla danych : R = 1� ,C = 1F h t = e-t1 t ; oraz A=1, t1 = 0,t3 = 2,t4 = 4
( ) ( )
-( )
t-2 -( )
t-2
Ą#ń#
x t = t - 2 - 1 t - 4 y t = - Ą# - 2 - 1 t - 4 ń#
( ) ( ) [ ]Ś# ( )Ł#1 t ( )Ś#
( ) ( )Ś#
(e - 1)- Ą# t - 4 ń#(e - e-(t-4))
Ł#1 Ł#1
1
h
0.9
x
y=h*x
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
t [s]
�
40
[pu]