Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Obwody elektryczne
Wykład 2  Metoda Klasyczna  część I
Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski
Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii
Wydział Elektryczny
Politechnika Wrocławska
D-1, 205/1
tel: [phone]
fax: [phone]
email: [e-mail]
�
1
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1 Metoda klasyczna  wyznaczanie stanu nieustalonego w dziedzinie czasu (w dziedzinie rzeczywistej)  t>0......................................................................3
1.1 Wprowadzenie .................................................................................................................................................................................................................3
1.2 Równania różniczkowe liniowe  zależności ogólne ......................................................................................................................................................5
1.3 Diagram operacji prowadzących do wyznaczenia odpowiedzi w stanie nieustalonym ................................................................................................10
2 Stan nieustalony w gałęzi RL ................................................................................................................................................................................................11
2.1 Załączanie szeregowej gałęzi RL na napięcie stałe.......................................................................................................................................................11
2.2 Zwarcie w gałęzi szeregowej RL zasilanej początkowo napięciem stałym ..................................................................................................................18
2.3 Załączanie szeregowej gałęzi RL na napięcie sinusoidalne ..........................................................................................................................................23
�
2
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1 Metoda klasyczna  wyznaczanie stanu nieustalonego w
dziedzinie czasu (w dziedzinie rzeczywistej)  t>0
1.1 Wprowadzenie
Metoda klasyczna analizy stanu nieustalonego w obwodzie SLS bazuje na wykorzystaniu związków
różniczkowo-całkowych na elementach obwodu oraz praw Kirchhoffa w zapisie sygnałowym (czasowym).
Dla pojedynczej gałęzi zbudowanej z elementów RLC i z
ródła napięciowego II prawo Kirchhoffa przyjmie
postać:
i
( t)
di t
( ) 1
( t)
e u t = i t R + L +
u ( t) ( ) ( )
uC( t)
uL( t)
+"i(t)dt + e(t)
dt C
u
( t)
Obwód zbudowany z g gałęzi i w węzłów można opisać za pomocą układu równań Kirchhoffa
zawierającergo:
K
m=w-1 niezależnych równań I Prawa Kirchhoffa,
( )
"i t = 0
kw
k=1
LM
n=g-(w-1) niezależnych równań II Prawa Kirchooffa.
( ) ( )
"u t +"e t = 0
ln mn
l=1 m=1
�
3
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
W efekcie otrzymujemy układu Praw Kirchhoffa, który jest układem równań różniczkowo-
całkowych.
Układ ten rozwiązuje się względem jednej wybranej zmiennej tzn. wybranego prądu w gałęzi lub
napięcia na elemencie. Ze względu na zachowawczość oraz definicyjne związki prądowo-
napięciowe oparte na zależnościach różniczkowo-całkowych, przyjęło się rozwiązywać układ
równań ze względu na wybrany prąd płynący przez cewkę lub napięcie na kondensatorze.
Po przekształceniach względem wybranej zmiennej, układ równań zostaje zredukowany do jednego
równania opisującego daną zmienną (np. prąd płynący przez cewkę iL t lub napięcie na
( )
kondensatorze uC t ), które ma charakter RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO LINIOWEGO
( )
ZWYCZAJNEGO O STAA
YCH WSPÓA
CZYNNIKACH, najczęściej NIEJEDNORODNEGO.
W obwodach elektrycznych, rozważania te przeznaczone są do odkrycia charakteru przebiegu
iL t lub uC t , a wreszcie wszystkich pozostałych napięć i prądów w obwodzie, po komutacji,
( ) ( )
czyli umownie dla t>t0,czy też t>0.
Przykładowy problem:
iL(t)
R R
i(t)
2 E
L
i 0+ = i 0- =
( ) ( )5 R
LL
E R t = 0 ?
R
t
(0-) (0+)
iL(t)
0
�
4
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1.2 Równania różniczkowe liniowe  zależności ogólne
Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne, rzędu n, o stałych współczynnikach
nn-1
d y t d y t dy t
( )+ an-1 ( ) ( )
an + . . . + a + a y t = f t dla t > t
( ) ( )
10 0
dtn dtn-1 dt
Równanie różniczkowe liniowe jednorodne, rzędu n, o stałych współczynnikach
nn-1
d y t d y t dy t
( )+ an-1 ( ) ( )
an + . . . + a + a y t = 0 dla t > t
( )
10 0
dtn dtn-1 dt
y t reprezentuje np. iL t lub uC t .
( ) ( ) ( )
Stałe współczynniki an,an-1,...,a0 są kombinacją liniową parametrów RLC.
Funkcja f t jest związana z wymuszeniami, czyli napięciami i prądami z
ródłowymi.
( )
Rząd n równania zależy od liczby elementów zachowawczych (LC) oraz od struktury obwodu po
komutacji.
Poszukiwane y t jest rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego. Z teorii równań różniczkowych
( )
liniowych, rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (RORN) można odnalez
ć jako sumę rozwiązania
szczególnego równania niejednorodnego (RSRN) oraz rozwiązania ogólnego równania jednorodnego
(RORJ).
�
5
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
W obwodach elektrycznych zamiast określenia "rozwiązanie szczególne" używa się zwykle: "składowa
wymuszona" lub "składowa ustalona"- yu t , natomiast zamiast - "rozwiązanie ogólne równania
( )
jednorodnego" stosuje się określenie - "składowa przejściowa" yp t lub ogólniej "składowa swobodna".
( )
RORN = RSRN + RORJ �! y t = yu t + yp t
( ) ( ) ( )
RSRN, składowa wymuszona, składowa ustalona yu t
( )
W obwodach elektrycznych, w których wymuszenia mają przebiegi stałe lub sinusoidalne, jako
rozwiązanie szczególne przyjmuje się zazwyczaj rozwiązanie w stanie ustalonym po komutacji (tj.
dla t +"). Rozwiązanie to może być wyznaczone przy wykorzystaniu ogólnych metod
rozwiązywania obwodów, w tym metody symbolicznej. Wymaga to przeprowadzenia klasycznej
analizy obwodu o strukturze po komutacji, w stanie ustalonym.
RORJ, składowa przejściowa, składowa swobodna yp t
( )
Składowa przejściową, jako rozwiązanie ogólne równania jednorodnego, odnalez
ć można
wykorzystując wielomian charakterystyczny (równanie charakterystyczne)
nn-1
V  = an + an-1 + & + a  + a , który powstaje przez zastąpienie różniczek liniowym
( )
10
parametrem  :
nn-1
d yp t d yp t dyp t
( )+ an-1 ( ) ( )+ a yp t = 0 dla t > t
an + . . . + a
( )
10 0
dtn dtn-1 dt
nn-1
�! an + an-1 + & + a  + a = 0
10
�
6
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Poszukujemy pierwiastków wielomianu charakterystycznego i tj. V i = 0,i = 1, 2, & ,r .
( )
Pierwiastki wielomianu charakterystycznego mogą być wielokrotne, przy czym suma krotności
poszczególnych pierwiastków musi być równa rzędowi równania:
r
"n = n, ni - krotność i-tego pierwiastka, n  rząd równania.
i
i=1
Rozwiązanie yip t odpowiadające i-temu pierwiastkowi charakterystycznemu, zależy od wartości
( )
i oraz od jego krotności, co ogólnie można zapisać następująco (przewidywana postać składowej
przejściowej):
ni -1
i
i i
yip t = Ai e (t-t0 ) + Ai t - t e (t-t0 ) +& + Ain t - t e (t-t0 ) ,i = 1, 2, & ,r
( ) ( ) ( )
12 00
i
Ostatecznie składową przejściową wyznaczamy jako sumę wszystkich składników przejściowych w
zależności od liczby pierwiastków równania charakterystycznego i = 1, 2, & ,r oraz ich krotności
k = 1, 2, & ,ni
ni
r
k -1
i
yp t =
( ) ( )
""Aik t - t e (t-t0 ) dla t > t0
0
i=1 k =1
�
7
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykłady przewidywanej postaci składowej przejściowej dla t0=0 w zależności od
pierwiastków wielomianu charakterystycznego i
jeden pierwiastek 1
1
yp t = A11e t ,t > 0
( )
rzeczywisty
dwa różne pierwiastki 12
1 ,2
yp t = A11e t + A21e t ,t > 0
( )
rzeczywiste, " > 0
jeden rzeczywisty 11
1 ,k = 1,2
yp t = A11e t + A12te t ,t > 0
( )
pierwiastek podwójny
" = 0
dwa pierwiastki 12
1
yp t = A11e t + A21e t ,t > 0
( )
zespolone sprzężone
2 = 1 *
" < 0
UWAGA:
Do wyznaczenia stałych Aik konieczna jest znajomość warunków początkowych,
obejmujących również wartość składowej ustalonej w chwili t=t0+. W zależności od rzędu
równania n mogą być również wymagane warunki początkowe dla pochodnych.
�
8
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykłady wymagań dla warunków początkowych t0=0+ w zależności od rzędu równania
różniczkowego n
n=1 jeden pierwiastek
1
y 0+ yu 0+
( ) ( )
rzeczywisty
dwa różne
1 ,2
pierwiastki
rzeczywiste,
" > 0
jeden
1 ,k = 1,2
dy 0+ dyu 0+
( ) ( )
n=2 rzeczywisty
y 0+ , yu 0+ ,
( ) ( )
pierwiastek
dt dt
podwójny " = 0
jeden zespolony
1
pierwiastek
2 = 1 *
sprzężony
" < 0
UWAGA: KOC
COWE ROZWI
ZANIE:
RORN = RSRN + RORJ �! y t = yu t + yp t
( ) ( ) ( )
�
9
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1.3 Diagram operacji prowadzących do wyznaczenia odpowiedzi w stanie nieustalonym
Historia obwodu
Analiza obwodu w stanie ustalonym przed
t<0
komutacją
Warunek początkowy dla t=0-
t=0-
Warunek początkowy dla t=0+
t=0+
Dla układów wyższego rzędu warunki początkowe
dla pochodnych dla t=0+
Układ równań Kirchhoffa
Równanie różniczkowe szukanej wielkości
Przyszłość obwodu
RSRN
RORJ
składowa ustalona (wymuszona)
składowa przejściowa (swobodna)
t>0
Analiza obwodu w stanie ustalonym
po komutacji Określenie przewidywanej postać
składowej przejściowej na podstawie
t->+inf
wielomianu charakterystycznego
Wyznaczenie wartości składowej Wyznaczenie wartości składowej
ustalonej dla t=0+ przejściowej w chwili to=+, oraz, dla
Dla układów wyższego rzędu ukłądów wyższego rzędu, wartości
wyznacznie wartości pochodnych pochodnych składowej przejściowej w
składowej ustalonej w chwili t=0+ chwili t=0+
Wyznaczenie stałych składowej
przejściowej
Wyznaczenie odpowiedzi całkowitej jako sumy składowej ustalonej (wymuszonej)
oraz składowej przejściowej (swobodnej)
RORN=RSRN+RORJ
�
10
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2 Stan nieustalony w gałęzi RL
2.1 Załączanie szeregowej gałęzi RL na napięcie stałe
Jeden element zachowawczy  L
e t = E = const.
( )
Równanie różniczkowe oprzeć na
Dane:
R, L
iL t
( )
1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz
wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-
iL t = 0
( )
iL 0- = 0
( )
2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po załączeniu łącznika sprawdzamy istnienie węzłów osobliwych. Gałąz
z E nie zawiera elementów
indukcyjnych - nie stwierdzamy węzła osobliwego, a zatem prąd na cewce zachowuje prawa komutacji.
iL 0+ = iL 0- = 0
( ) ( )
�
11
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
3. t>=0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego iL t
( )
ż#i t = iL t
( ) ( )
�#
�#
diL t
( )
( )
�#E = L + RiL t
�# dt
Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:
diL t
( )
E = L + RiL t
( )
dt
Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Szukane
rozwiązanie tj. prąd iL t w stanie nieustalonym znajdziemy jako:
( )
RORN = RSRN + RORJ �! iL t = iLu t + iLp t
( ) ( ) ( )
4. t +", analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji (przyszłość obwodu)  składowa
ustalona odpowiedzi (składowa wymuszona) iLu t
( )
W stanie ustalonym po komutacji napięcie na cewce będzie równe zeru, ze względu na stałe
wymuszenie E. Obwód będzie miał charakter czysto-rezystancyjny. Równania opisujące obwód przyjmą
postać:
ż#iu t = iL t
( ) ( )
E
�#
u
�! iLu t =
( )
�#
R
( )
�#E = RiLu t
�#
�
12
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
W szczególności wyznaczymy wartość składowej ustalonej w chwili t=0+:
iLu 0+ =
( )E
R
5. t>0, składowa przejściowa (swobodna) iLp t
( )
diLp t
( )
Równanie jednorodne
L + RiLp t = 0
( )
dt
V  = L + R
Wielomian charakterystyczny ( )
R
Pierwiastki wielomianu
L + R = 0 �!  = - stwierdzamy jeden pierwiastek
L
charakterystycznego
rzeczywisty
R
Przewidywana postać składowej - t
L
iLp t = Aet = Ae ,dla t > 0
( )
przejściowej
W szczególności wartość składowej
iLp 0+ = A
( )
ustalonej dla to=0+
�
13
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
iL t = iLu t + iLp t ,dla t > 0 a zatem również dla t=0+
( ) ( )( )
iL 0+ = iLu 0+ + iLp 0+
( ) ( ) ( )
EE
0 = + A �! A = -
Wyznaczenie stałej A i pełnej
RR
postaci składowej przejściowej
Ostatecznie składowa przejściowa:
R
- t
E
L
iLp t = Aet - e ,dla t > 0
( )
R
6. Ostatecznie prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym jest sumą składowej ustalonej
(wymuszonej) i przejściowej (swobodnej):
- t
E ER
L
RORN = RSRN + RORJ �! iL t = iLu t + iLp t = - e ,dla t > 0
( ) ( ) ( )
R R
Sprawdz
my rozwiązanie ze względu na zachowanie ciągłości prądu przy przejściu ze stanu ustalonego
przed komutacją do stanu przejściowego czyli w t=0+.
Wiemy z początkowych rozważań, że układ przed komutacją nie był zasilany i spełnił prawa komutacji
czyli: iL 0+ = iL 0- = 0
( ) ( )
- t
E ER
L
Teraz wstawmy do rozwiązania t=0 na iL t = - e = 0 Sprawdzone
( )
t=0
R R
�
14
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Dodatkowo chcąc wyznaczyć napięcie na cewce uL t w stanie nieustalonym możemy wykorzystać
( )
wyznaczony prąd iL t oraz ogólną zależność różniczkową:
( )
'
- t - t- t
diL t Ą#ń#R R
( )= L - e = -L e �"�# - = Ee ,dla t > 0
E ER E R
ś#
L
uL t = L
( )
ś# ź#
ó#Ą#L L
dt R R R L
�# #
Ł#Ś#
i(t)
uL(t)
L
iLu t
� ( )
E
E
R
R
- t
L
- t uL t = Ee ,dla t > 0
( )
E ER
L
iL t = - e ,dla t > 0
( )
R R
t
t
t=0
�
iLp t
( )
t=0
-E
R
Zwróć uwagę, że prąd płynący przez cewkę zachowuje ciągłość, natomiast napięcie na cewce w
pierwszej fazie przejścia do stanu nieustalonego reaguje skokiem jednostkowym.
�
15
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Komentarz:
Szybkość zanikania składowej przejściowej zależy od elementów RLC obwodu. Parametrem,
który opisuje czas (w sekundach) zanikania składowej przejściowej jest stała czasowa � , którą
wyznaczyć możemy jako odwrotność pierwiastka wielomianu charakterystycznego ze znakiem
przeciwnym:
1
� = -

Stała czasowa � określa czas([s]), po którym wartość bezwzględna składowej przejściowej,
wyrażona w procentach składowej ustalonej, malej e razy.
Udział składowej przejściowej w czasie w zależności od stałej czasowej �
Czas[s] 0 1� 2� 3� 4� 5� 6� 7�
ip
100 36.78 13.53 4.98 1.83 0.674 0.428 0.091
100[%]
iu
�
16
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
L
Dla rozważanego przypadku obwodu szeregowego RL � = . Stąd wniosek, że szybciej będzie zanikał
R
stan nieustalony w gałęzi RL zawierającej duże rezystancje.
i(t) uL(t)
L
�1 > �2
R1 < R2
�1
E
E
L1 = L2
R1
L1 = L2
�1
�1
�2
R1 < R2
E
�1 > �2
�2
R2
t
t
�2 �1
�2
�
17
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.2 Zwarcie w gałęzi szeregowej RL zasilanej początkowo napięciem stałym
Jeden element zachowawczy  L
t = 0
L i(t) e t = E = const.
( )
L
Równanie różniczkowe oprzeć na
Dane:
R, L
iL t
( )
uL(t)
R
uR(t)
E
1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz
wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-
E
iL t =
( )
R
iL 0- =
( )E
R
2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po załączeniu łącznika nie stwierdzamy węzła osobliwego, a zatem prąd na cewce zachowuje prawa
komutacji.
iL 0+ = iL 0- =
( ) ( )E
R
�
18
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
3. t>=0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego iL t
( )
t > 0
L
diL t
( )
uL(t)
0 = L + RiL t
( )
R dt
uR(t)
E
Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:
diL t
( )
0 = L + RiL t
( )
dt
Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach. Szukane
rozwiązanie tj. prąd iL t w stanie nieustalonym zawierał będzie jedynie RORJ, czyli składową
( )
przejściową:
RORJ �! iL t = iLp t
( ) ( )
RSRN = iLu t = 0
( )
W takim przypadku nie jest konieczne wyznaczanie składowej ustalonej iLu t . Jednakże, wskazaną
( )
praktyką jest przyjrzeć się pracy obwodu w stanie ustalonym po komutacji. Zauważymy, że obwód
pozostaje po komutacji bez wymuszenia. A zatem w stanie ustalonym po komutacji, tj. po rozładowaniu
energii cewki przez rezystor, prąd płynący przez cewkę osiągnie wartość zero.
�
19
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
4. t>0, składowa przejściowa (swobodna) iLp t
( )
diLp t
( )
Równanie jednorodne
L + RiLp t = 0
( )
dt
V  = L + R
Wielomian charakterystyczny
( )
R
Pierwiastki wielomianu
L + R = 0 �!  = - stwierdzamy jeden pierwiastek
L
charakterystycznego
rzeczywisty
R
Przewidywana postać składowej - t
L
iLp t = Aet = Ae ,dla t > 0
( )
przejściowej
W szczególności wartość składowej
iLp 0+ = A
( )
ustalonej dla to=0+
iL t = iLp t ,dla t > 0 a zatem również dla t=0+
( ) ( )
E
iL 0+ = iLp 0+ �! = A
( ) ( )
R
Wyznaczenie stałej A i pełnej
Ostatecznie składowa przejściowa:
postaci składowej przejściowej
R
- t
EE
L
iLp t = et = e ,dla t > 0
( )
RR
�
20
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
5. Ostatecznie prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym składa się jedynie ze składowej
przejściowej (swobodnej):
R
- t
E
L
RORJ �! iL t = iLp t = e ,dla t > 0
( ) ( )
R
Chcąc wyznaczyć napięcie na cewce uL t w stanie nieustalonym możemy wykorzystać wyznaczony
( )
prąd iL t oraz ogólną zależność różniczkową:
( )
'
RR R
- t - t - t
diL t Ą#ń#
( )= L e = L e �"�# - = -Ee ,dla t > 0
EE R
ś#
LL L
uL t = L
( )
ś# ź#
ó#Ą#
dt R R L
�# #
Ł#Ś#
uL(t)
E
i(t)
R
L
- t t
R E t=0
L
iL t = iLp t = e ,dla t > 0
( ) ( )
R
R
- t
L
iLu t = 0
( )
uL t = -Ee ,dla t > 0
( )
-E
t
t=0
Zwróć uwagę, że prąd płynący przez cewkę zachowuje ciągłość, natomiast napięcie na cewce w
pierwszej fazie przejścia do stanu nieustalonego reaguje skokiem jednostkowym.
�
21
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
L
Dla rozważanego przypadku RL � = . Stąd wniosek, że szybciej będzie zanikał stan nieustalony w
R
gałęzi RL zawierającej duże rezystancje.
iL(t)
u(t)
L
t
�2 �1
E
R1
t=0
�1
L1 = L2
L1 = L2
�1
R1 < R2
E
R1 < R2
�1 > �2
�2
R2
�2 �1 > �2
t
-E
t=0
�2 �1
�
22
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.3 Załączanie szeregowej gałęzi RL na napięcie sinusoidalne
Dane: Jeden element zachowawczy  L
L
i(t)
t = 0
L
e t = Em sin �t +�
( ) ( ) Równanie różniczkowe oprzeć na
e
iL t
( )
uL(t)
R, L
R
uR(t)
e t = Em sin �t +�
( ) ()
e
1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz
wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-
iL t = 0
( )
iL 0- = 0
( )
2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po załączeniu łącznika nie stwierdzamy węzła osobliwego, a zatem prąd na cewce zachowuje prawa
komutacji.
iL 0+ = iL 0- = 0
( ) ( )
�
23
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
3. t>=0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczanie równania różniczkowego opisującego iL t
( )
L
i(t)
t > 0
L
diL t
uL(t) Em sin �t +�e = L+ RiL t
()( ) ( )
dt
R
uR(t)
e t = Em sin �t +�
( ) ( )
e
Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:
diL t
Em sin �t +� = L+ RiL t
()( ) ( )
e
dt
Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Szukane
rozwiązanie tj. prąd iL t w stanie nieustalonym znajdziemy jako:
( )
RORN = RSRN + RORJ �! iL t = iLu t + iLp t
( ) ( ) ( )
4. t +", analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji (przyszłość obwodu)  składowa
ustalona odpowiedzi (składowa wymuszona) iLu t
( )
W stanie ustalonym po komutacji napięcie i prąd w obwodzie, ze względu na sinusoidalne wymuszenie
e t = Em sin �t +�e , będą miały charakter sinusoidalny, a obwód może być traktowany jako
( ) ( )
impedancyjny, a ściśle rzecz biorąc rezystancyjno-indukcyjny. Równania opisujące obwód przyjmą
postać:
Em sin �t +�e = ULum sin �t +� +URum sin �t +�
( ) ( ) ( )
Lu Ru
�
24
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przy prądzie o charakterze: iLu t = ILum sin �t +�iu
( ) ( )
UWAGA: Przy tego rodzaju wymuszeniu nie możemy traktować cewki jako  przewodu .
Zmiennemu w czasie sinusoidalnemu sygnałowi prądu odpowie wyindukowane sinusoidalne
napięcie na cewce indukcyjnej. Do rozwiązania tego  lokalnego problemu możemy wykorzystać
analizę obwodu z wykorzystaniem metody symbolicznej.
L
iLu jXL
(t)
t +" I
Lu
ULu
uLu(t)
Zapis
R
URu
R
uRu symboliczny
(t)
E
e t = Em sin �t +�
( ) ( )
e
Wartości rzeczywiste, czasowe Zapis symboliczny, wektor zespolony, wskaz
Em
j�
e
E Ee E( )
j � -� j � -�
2 ( )
ee
=
I = = = e2 e
Lu
j�
z ze z
R2 + �L
( )
2 �L
�# ś#
z = R2 + �L ,� = arctg
( )
ś# ź#
R
�# #
iLu t = ILum sin �t +�iu =
( ) ()
Powrót z zapisu
symbolicznego
Em
= sin �t +�e -�
()
z
�
25
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
W szczególności wyznaczymy wartość składowej ustalonej w chwili t=0+:
iLu 0+ = sin � -�
()
( )Em
e
z
5. t>0, składowa przejściowa (swobodna) iLp t
( )
diLp t
( )
Równanie jednorodne
L + RiLp t = 0
( )
dt
V  = L + R
Wielomian charakterystyczny ( )
R
Pierwiastki wielomianu
L + R = 0 �!  = - stwierdzamy jeden pierwiastek
L
charakterystycznego
rzeczywisty
R
Przewidywana postać składowej - t
L
iLp t = Aet = Ae ,dla t > 0
( )
przejściowej
W szczególności wartość składowej
iLp 0+ = A
( )
ustalonej dla to=0+
�
26
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
iL t = iLu t + iLp t ,dla t > 0 a zatem również dla t=0+
( ) ( )( )
iL 0+ = iLu 0+ + iLp 0+
( ) ( ) ( )
Em Em
0 = sin � -� + A �! A = - sin � -�
Wyznaczenie stałej A i pełnej () ()
ee
zz
postaci składowej przejściowej
Ostatecznie składowa przejściowa:
R
- t
Em
L
iLp t = - sin � -� e ,dla t > 0
( ) ()
e
z
6. odpowiedz
: prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym jako suma składowej ustalonej
(wymuszonej) i przejściowej (swobodnej):
RORN = RSRN + RORJ �! iL t = iLu t + iLp t =
( ) ( ) ( )
R
- t
Em Em
L
= sin �t +� -�
()- sin � -� e =
()
ee
zz
R
- t
�#ś#
Em
L
= sin �t +� -� sin � -� e ,dla t > 0
()- ( )
ś#ź#
ee
z
�# #
�
27
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Chcąc wyznaczyć pełen rozkład napięć w obwodzie w stanie nieustalonym, na podstawie wyrażenia na
iL t możemy wyznaczyć napięcie na cewce w stanie nieustalonym:
( )
R
- t
diL t
Em Em
( )= �L sin �t +�e -� + ()
L
Ą
uL t = L + R �" sin � -� e ,dla t > 0
( )
()
e
2
dt z z
Prąd iL t jest prądem w całej gałęzi szeregowej RL. Stąd napięcie na rezystorze uR t
( ) ( )
R
- t
Em Em
L
uR t = R �"i t = R sin �t +�e -� R sin �e -� e ,dla t > 0
( ) ( ) ()-
()
zz
Sprawdzenie II Prawa Kirchhoffa:
R
- t
Em Em
L
e t = uR t + uL t = R sin �t +� -� -R sin � -� e +
( ) ( ) ( ) ()()
e e
zz
R
- t
Em Em
L
Ą
+�L sin �t +� -� + +R �" sin � -� e ,dla t > 0
()
()
ee
2
zz
�
28
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
e t = 2 sin 2Ą �"1�"t + 0 ,R = 1� ,L = 1H ,� = L / R = 1s
( ) ( )
iL - RL: tau=1[s], ki=1.6191, tm=0.4591[s], psie=0[deg]
iLu
iLp
1
iL=iLu+iLp
e
0.5
0
-0.5
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
t [s]
�
29
iL [A], e [V]
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
e t = 2 sin 2Ą �"1�"t + 0 ,R = 1� ,L = 1H ,� = L / R = 1s
( ) ( )
uL - RL; tau=1[s] ur - RL; tau=1[s]
uLu uru
uLp urp
1
1
uL=uLu+uLp ur=uru+urp
e e
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
t [s] t [s]
�
30
ur,e [V]
uL,e [V]
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Ważnym czynnikiem w analizowanym obwodzie jest (z praktycznego punktu widzenia) tzw. współczynnik
udaru prądowego (współczynnik przetężenia), określony jako stosunek maksymalnej wartość prądu w
stanie przejściowym do wartości maksymalnej (amplitudy) przebiegu ustalonego.
Dla zadanych parametrów obwodu RL oraz amplitudy napięcia zasilającego Em, przebieg prądu w stanie
nieustalonym, a co za tym idzie, możliwe wartości maksymalne, jakie może osiągnąć, zależeć będzie od
momentu komutacji t=t0 oraz fazy początkowej napięcia zasilającego � . Przy przyjęciu chwili
e
załączenia t=0, będziemy poszukiwać takiej fazy początkowej napięcia zasilającego � =� , przy
e m
której prąd w stanie nieustalonym osiągnie wartość największą z możliwych. Z matematycznego
punktu widzenia musimy zatem zbadać ekstrema funkcji iL t ,�e , ze względu na � , czyli miejsca
( )
e
zerowe pochodnej cząstkowej:
" iL t ,�
( )
e
= 0
" �e
Dla odnalezionej z powyższego równania fazy początkowej napięcia zasilającego, w następnym kroku
poszukiwać będziemy chwili czasowej t=tm dla której iL t ,�e =� osiągnie wartość maksymalną. To
( )
m
zaś wymaga zbadania ekstremum funkcji ze względu na zmienną czasową:
" iL t ,�
( )
e
= 0
" t
�
31
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
" iL t ,�
ż# ( )
e
= 0
�#
" t
�#
�! � =� , t = tm
�#
e m
()
e
�#" iL t ,�
= 0
�#
" �e
�#
Podstawiając za iL t :
( )
R
- t
�#ś#
Em
L
iL t = sin �t +� -� - sin � -� e =ź# ,dla t > 0
( ) () )
(
ś# e e
z
�# #
Otrzymamy:
" iL t ,� R
ż# () Em Ą#� R
e
L
= cos �tm +� -� + sin � -� e- tm ń# = 0
() )
(
mm
�#
ó# Ą#
t=tm
" tZ L
Ł# Ś#
�#
�e =�
�# m
�#
R
() Em Ą#cos
�#" iL t ,�e =
L
�tm +� -� cos � -� e- tm ń# = 0
()- ( )
mm
Ł#Ś#
�#
" �e t=tm Z
�# �e =�
�# m
�
32
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przekształcając:
R
R
ż# tm
L
() ()
mm
�#� cos �tm +� -� = - L sin � -� e-
�#
R
tm
�#cos �tm +� -� = cos � -� e- L
() )
(
mm
�#
Po podzieleniu stronami oraz wykorzystaniu własności trygonometrycznych funkcji tangens:
R �L
� = - tg � -� �! - = tg � -� �! -tg � = tg � -� �! tg
() () ( ) () ) ()
(-� = tg � -�
m mmm
LR
� -� =-� + kĄ , k = 0, ą 1,. . .
m
� = kĄ, k = 0, ą 1,. . .
m
WNIOSEK: Największe wartości przetężenia w obwodzie możliwe są, kiedy komutacja nastąpi
dokładnie w chwili przejścia napięcia zasilającego przez zero.
Na przykład dla � =� = 0 �"Ą = 0 prąd w obwodzie:
e m
R
Em Ą#sin
- t
L
iL t� =0Ł# � t
=
( ) ( -� + e sin �
) ( )ń#
e
Ś#
Z
Przy czym tm spełnia równanie:
R
-� tm) cos � tm -�
( )
tg �
(
L
e- tm = e =
cos �
( )
Ostatecznie:
�
33
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Ą#ń#
�
Em (
m
imax = =
() ( )coscost �-�)Ą#
ó#sin �tm -� + sin �
Z
( )
Ł#Ś#
Em
=
Ą# () ( ) () ( )Ś# Em ( )
Ł#sin �tm -� cos � + cos �tm -� sin � ń# = R sin �tm
Z cos �
( )
Stąd można określić współczynnik udaru prądowego (przetężenia):
2
iLmax Z �L
�# ś#
ki = = sin �tm = 1+ sin �tm = 1+ tg2 � �" sin �tm
( ) ( ) ( ) ( )
ś# ź#
ILm R R
�# #
�
34
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Ą
e t = 2 sin 2Ą �"1�"t + 0
( ) ( )
e t = 2 sin �"1�"t +
( )
(2Ą )
2
R =1� ,L = 1H ,� = L / R = 1s , t0=0
R =1� ,L = 1H ,� = L / R = 1s , t0=0
ki = 16191,tm = 0.4591s
.
ki = 10762,tm = 0723s
. .
iL - RL: tau=1[s], ki=1.6191, tm=0.4591[s], psie=0[deg] iL - RL: tau=1[s], ki=1.0762, tm=0.723[s], psie=90[deg]
iLu iLu
iLp iLp
1 1
iL=iLu+iLp iL=iLu+iLp
e e
0.5 0.5
0 0
-0.5 -0.5
-1 -1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
t [s] t [s]
�
35
iL [A], e [V]
iL [A], e [V]