NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW.ZADANIA.INFO
POZIOM ROZSZERZONY
2 KWIETNIA 2011
CZAS PRACY: 180 MINUT
ZADANIE 1 (4 PKT.)
Określ liczbę pierwiastków równania 2x2 - 5|x| - m = 0 w zależności od wartości parame-
tru m.
ROZWI
ZANIE
Jeżeli zapiszemy dane równanie w postaci
2x2 - 5|x| = m
to widać, że mamy wyznaczyć liczbę punktów wspólnych wykresu funkcji f (x) = 2x2 -
5|x| z poziomą prostą y = m. Zauważmy, że
5
2x2 - 5x = 2x x - dla x 0
2
f (x) = 2x2 - 5|x| =
5
2x2 + 5x = 2x x + dla x < 0
2
Aby w miarę dokładnie naszkicować wykres funkcji f zauważmy, że wierzchołek paraboli
z pierwszego wzoru ma współrzędne
5
0 +
5 5 5 5 25
2
(xw, yw) = , f (xw) = , 2 · · - = , - ,
2 4 4 4 4 8
a współrzędne wierzchołka z drugiego wzoru to
5
0 -
5 5 5 5 25
2
(xw, yw) = , f (xw) = - , 2 · - · = - , - .
2 4 4 4 4 8
Teraz pora na wykonanie wykresu.
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
y
+5
+1
-5 -1 +5 x
-1
-5
Z obrazka odczytujemy liczbę rozwiązań równania f (x) = m.
Å„Å‚
< -25
ôÅ‚
ôÅ‚0 dla m 8
ôÅ‚
òÅ‚2 dla m
" -25 *" (0, +")
8
ôÅ‚3 dla m 0
=
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
4 dla m " -25, 0 .
8
Å„Å‚
< -25
ôÅ‚
ôÅ‚0 dla m 8
ôÅ‚
òÅ‚2 dla m
" -25 *" (0, +")
8
Odpowiedz
:
ôÅ‚3 dla m 0
=
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
4 dla m " -25, 0 .
8
ZADANIE 2 (4 PKT.)
Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD, w którym boki AB i BC są
prostopadłe. Dwusieczne kątów A i D przecinają się w punkcie S leżącym na boku BC.
Wykaż, że |BS| = |SC|.
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
A
B
²
²
²
T
S
Ä…
Ä…
Ä…
C D
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Oznaczmy ADS = SDC = Ä… i BAS = SAD = ². Zauważmy, że
180ć% = A + D = 2² + 2Ä… Ò! Ä… + ² = 90ć%.
To oznacza, że trójkąt ASD jest prostokątny, bo
ASD = 180ć% - Ä… - ² = 90ć%.
Niech T będzie środkiem odcinka AD. Ponieważ w trójkącie prostokątnym środek przeciw-
prostokątnej jest środkiem okręgu opisanego mamy wtedy TA = TS = TD, czyli trójkąty
AST i TSD są równoramienne. To oznacza, że
TSA = SAT = BAS,
czyli proste AB i TS są równoległe (przecinają prostą AS pod tym samym kątem). Na mocy
twierdzenia Talesa
BS AT
= = 1.
SC TD
ZADANIE 3 (5 PKT.)
Wielomian W(x) = x4 + 3x3 + ax2 + bx + c jest podzielny przez trójmian x2 + 3x - 10, a
przy dzieleniu przez dwumian (x + 1) daje resztę -36. Wyznacz współczynniki a, b i c wie-
lomianu.
ROZWI
ZANIE
Rozłóżmy najpierw podany trójmian na czynniki.
x2 + 3x - 10 = 0
" = 9 + 40 = 49
-3 - 7 -3 + 7
x = = -5 (" x = = 2.
2 2
Zatem wiemy, że wielomian W(x) jest podzielny przez (x + 5)(x - 2), czyli liczby x = -5 i
x = 2 są jego pierwiastkami. Wiemy ponadto, że W(-1) = -36 (bo reszta z dzielenia W(x)
przez (x - a) jest równa W(a)). Otrzymujemy zatem układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚ - 375 + 25a - 5b + c = 0
òÅ‚625
16 + 24 + 4a + 2b + c = 0
ôÅ‚
ół1 3 a b c
- + - + = -36
Å„Å‚
ôÅ‚ - 5b + c = -250
òÅ‚25a
4a + 2b + c = -40
ôÅ‚
óła b c
- + = -34.
Odejmujemy od pierwszego i od drugiego równania trzecie (żeby pozbyć się w tych równa-
niach c).
24a - 4b = -216 / : 4
3a + 3b = -6 / : 3
6a - b = -54
a + b = -2
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Teraz dodajemy równania stronami (żeby zredukować b).
7a = -56 Ð!Ò! a = -8.
Zatem b = -2 - a = 6 i c = -34 - a + b = -20.
Odpowiedz
: (a, b, c) = (-8, 6, -20)
PodobajÄ… Ci siÄ™ nasze rozwiÄ…zania?
Zadania.info
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
ZADANIE 4 (5 PKT.)
Podstawy czterech logarytmów liczby x tworzą ciąg geometryczny o ilorazie x. Wyznacz
pierwszy z tych logarytmów jeśli jest on mniejszy od -1 oraz suma dwóch pierwszych loga-
rytmów jest równa sumie dwóch pozostałych
ROZWI
ZANIE
Oznaczmy przez a, ax, ax2, ax3 podstawy kolejnych logarytmów oraz niech
p = loga x
q = logax x
r = logax2 x
s = logax x.
3
Ze wzoru na zmianÄ™ podstawy logarytmu mamy
loga x loga x p
q = logax x = = =
loga ax 1 + loga x 1 + p
loga x loga x p
r = logax x = = =
2
loga(ax2) 1 + 2 loga x 1 + 2p
loga x loga x p
s = logax3 x = = = .
loga(ax3) 1 + 3 loga x 1 + 3p
Teraz korzystamy z informacji o tym, że suma dwóch pierwszych logarytmów jest równa
sumie dwóch pozostałych.
p p p
p + = +
1 + p 1 + 2p 1 + 3p
(1+p)(1+2p)(1+3p)
Wiemy, że p < -1, więc możemy pomnożyć powyższą równość stronami przez .
p
(1 + p)(1 + 2p)(1 + 3p) + (1 + 2p)(1 + 3p) = (1 + p)(1 + 3p) + (1 + p)(1 + 2p)
1 + 6p + 11p2 + 6p3 + 1 + 5p + 6p2 = 1 + 4p + 3p2 + 1 + 3p + 2p2
6p3 + 17p2 + 11p + 2 = 5p2 + 7p + 2
6p3 + 12p2 + 4p = 0 / : 2p
3p2 + 6p + 2 = 0.
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
3p2 + 6p + 2 = 0
" = 36 - 24 = 12
" " " "
-6 - 2 3 -3 - 3 -6 + 2 3 -3 + 3
p = = (" p = = .
6 3 6 3
"
-3- 3
Tylko pierwszy z tych pierwiastków jest mniejszy od -1, zatem p =
3
"
-3- 3
Odpowiedz
:
3
ZADANIE 5 (5 PKT.)
Wyznacz zbiór wartości funkcji: f (x) = 2 sin x + cos 2x, gdzie x " R.
ROZWI
ZANIE
Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kÄ…ta:
cos 2Ä… = 1 - 2 sin2 Ä….
Mamy więc
f (x) = 2 sin x + cos 2x = 2 sin x + 1 - 2 sin2 x = -2 sin2 x + 2 sin x + 1.
Jeżeli podstawimy teraz t = sin x to mamy zwykłą funkcję kwadratową
g(t) = -2t2 + 2t + 1.
Musimy teraz zbadać jakie ona przyjmuje wartości na przedziale -1, 1 (bo takie wartości
przyjmuje t = sin x). Sprawdz
my najpierw gdzie jest wierzchołek paraboli będącej wykre-
sem funkcji g(t).
-b 1
tw = = .
2a 2
Ponieważ ramiona paraboli są skierowane w dół, oraz punkt ten jest w interesującym nas
przedziale, dokładnie w tym punkcie otrzymamy największą wartość funkcji i jest ona rów-
na
1 1 3
g = - + 1 + 1 = .
2 2 2
Wartość najmniejszą otrzymamy w jednym z końców przedziału, w którym? - liczymy i
sprawdzamy.
g(-1) = -2 - 2 + 1 = -3
g(1) = -2 + 2 + 1 = 1.
3
Odpowiedz
: -3,
2
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 6 (5 PKT.)
Punkt P jest punktem wspólnym przekątnych trapezu ABCD, w którym AB CD oraz
- - -
D = (10, -9), AB = [12, 21], CB = [0, 13], CP = [-3, -2]. Oblicz współrzędne pozostałych
wierzchołków trapezu ABCD.
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.
D
C
P
A
B
Zauważmy, że trójkąty ABP i CDP są podobne (mają równe kąty)  oznaczmy skalę ich
podobieństwa przez k. Zauważmy, że z podanych wektorów możemy wyliczyć k. Rzeczy-
wiście, wiemy, że
- - -
CA = CB + BA = [0, 13] + [-12, -21] = [-12, -8].
Zatem
-
AP AC - PC AC |CA|
k = = = - 1 = - 1 =
-
PC PC PC
|CP|
" "
122 + 82 4 32 + 22
= " - 1 = " - 1 = 3.
32 + 22 32 + 22
W takim razie
- -
1 1
DC = AB = [12, 21] = [4, 7].
3 3
To z kolei pozwala wyliczyć współrzędne punktu C.
-
[4, 7] = DC = [xc - 10, yc + 9] Ò! C = (14, -2).
Teraz wyliczamy współrzędne punktów B i A.
-
[0, 13] = CB = [xb - 14, yb + 2] Ò! B = (14, 11)
-
[12, 21] = AB = [14 - xa, 11 - ya] Ò! A = (2, -10).
Odpowiedz
: A = (2, -10), B = (14, 11), C = (14, -2)
ZADANIE 7 (4 PKT.)
"
(a+b) (a-b)2
Udowodnij, że jeżeli a b > 0 to - ab .
2 8a
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ROZWI
ZANIE
Zauważmy, że lewa strona nierówności jest pełnym kwadratem, dokładniej
"
" 2
"
(a + b) a b
"
- ab = - " .
2
2 2
Daną nierówność możemy więc przekształcić następująco (korzystamy z założenia a b):
"
(a + b) (a - b)2
- ab
2 8a
"
" 2
a b (a - b)2
"
" - " /
8a
2 2
"
"
"
"
a b a - b
" - " " / · 2 2 a
"
2 2 2 2 a
"
2a - 2 ab a - b
"
a + b - 2 ab 0
"
"
( a - b)2 0.
Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy przy pomocy równo-
ważności, więc wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.
ZADANIE 8 (4 PKT.)
W trójkącie prostokątnym ABC cosinus i tangens kąta przy wierzchołku A są równe. Oblicz
sinus tego kÄ…ta.
ROZWI
ZANIE
Naszkicujmy trójkąt prostokątny.
B
c
a
Ä…
C A
b
Wiemy, że
cos Ä… = tg Ä…
b a
=
c b
b2 = ac.
Materiał pobrany z serwisu
7
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Podstawmy to wyrażenie do twierdzenia Pitagorasa.
a2 + b2 = c2
a2 + ac = c2 / : c2
2
a a
+ = 1
c c
sin2 Ä… + sin Ä… - 1 = 0.
Podstawmy t = sin Ä….
t2 + t - 1 = 0
" = 1 + 4 = 5
" "
-1 - 5 -1 + 5
t = (" t = .
2 2
"
5-1
Ujemne rozwiÄ…zanie odrzucamy i mamy sin Ä… = .
2
"
5-1
Odpowiedz
:
2
ZADANIE 9 (5 PKT.)
Wyznacz współrzędne punktu P leżącego na wykresie funkcji y = 7x - x2 - 15, dla którego
suma odległości od osi układu współrzędnych jest najmniejsza.
ROZWI
ZANIE
Możemy rozpocząć od szkicowego rysunku  parabola y = -x2 + 7x - 15 ma wierzchołek
w punkcie
b " 7 11
(xw, yw) = - , - = , -
2a 4a 2 4
i ma ramiona skierowane w dół.
y
+1
-5 -1 +1 +5 x
-1
P
-5
-10
Materiał pobrany z serwisu
8
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Ponieważ " = -11 < 0 parabola znajduje się w całości pod osią Ox i suma odległości
punktu P = (x, y) tej paraboli od osi układu jest równa
f (x) = |x| + |y| = |x| - y =
= |x| - (-x2 + 7x - 15) =
= x2 - 7x + |x| + 15 =
x2 - 7x + x + 15 dla x 0
=
x2 - 7x - x + 15 dla x < 0
x2 - 6x + 15 dla x 0
=
x2 - 8x + 15 dla x < 0.
Pozostało wyznaczyć wartość najmniejszą tej funkcji. Pierwszy wzór osiąga najmniejszą
wartość dla x = 3 i jest ona równa 9 - 18 + 15 = 6. Drugi wzór osiąga najmniejszą wartość
dla x = 4, ale punkt ten jest na prawo od x = 0, więc funkcja ta jest malejąca na przedziale
(-", 0 . Zatem najmniejsza możliwa wartość drugiego wzoru to wartość w x = 0, czyli 15.
Podsumowując, najmniejsza wartość funkcji y = f (x) to 6 = f (3) i odpowiada ona
punktowi
P = (3, 21 - 9 - 15) = (3, -3).
Odpowiedz
: P = (3, -3)
ZADANIE 10 (4 PKT.)
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 7 obraca się wokół przeciwprostokąt-
nej. Oblicz promień kuli wpisanej w otrzymaną bryłę.
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy od rysunku  od razu rysujemy przekrój osiowy.
D D
12 12 12
F
r r r
O
O
A C A C
r
r r
7 7 7
E
B B
Sposób I
Materiał pobrany z serwisu
9
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Zauważmy, że pole czworokąta ABCD jest równe sumie pól trójkątów AOB, BOC, COD, DOA.
Zatem
1 1 1 1
PABCD = AB · r + BC · r + CD · r + AD · r =
2 2 2 2
= (AB + AD)r = 19r.
Z drugiej strony możemy to pole obliczyć jako sumę pól dwóch trójkątów prostokątnych
ABD i BCD.
PABCD = PABD + PBCD = 2PABD = AB · AD = 84.
Zatem
84
19r = PABCD = 84 Ò! r = .
19
Sposób II
Niech E i F będą punktami styczności okręgu wpisanego w czworokąt ABCD z bokami AB
i AD. Zauważmy teraz, że każdy z trójkątów FOD i EBO jest prostokątny i każdy z nich ma
kąt wspólny z trójkątem ABD. Zatem każdy z nich jest podobny do trójkąta ABD. Z tego
podobieństwa mamy
EO BO
=
AD BD
FO OD
= .
AB BD
Dodajemy te równości stronami.
EO FO BO + OD
+ = = 1
AD AB BD
r r
+ = 1
12 7
12 + 7 84
r · = 1 Ò! r = .
12 · 7 19
84
Odpowiedz
: r =
19
ZADANIE 11 (5 PKT.)
Ze zbioru wszystkich liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez 7 wybieramy losowo 5
różnych liczb. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że jedną z tych liczb jest 546, a wśród po-
zostałych 4 liczb jest dokładnie jedna liczba mniejsza od 546. Wynik podaj w postaci ułamka
nieskracalnego.
ROZWI
ZANIE
Zacznijmy od ustalenia ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez 7. Liczby te to
105 = 7 · 15, 112 = 7 · 16, . . . , 994 = 7 · 142.
Liczb tych jest więc tyle, ile liczb od 15 do 142, a tych liczb z kolei jest tyle samo, co liczb od
15 - 14 = 1 do 142 - 14 = 128, czyli 128.
Materiał pobrany z serwisu
10
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Liczbę liczb trzycyfrowych podzielnych przez 7 mogliśmy też wyliczyć ze wzoru na n-
ty wyraz ciągu arytmetycznego. Dla urozmaicenia policzymy w ten sposób ile jest liczb
trzycyfrowych podzielnych przez 7 i mniejszych od 546. Liczby te sÄ… kolejnymi wyrazami
ciągu arytmetycznego o różnicy 7:
a1 = 105, a2 = 112, . . . , an = 539.
Ze wzoru na n-ty wyraz ciÄ…gu arytmetycznego mamy
an = a1 + (n - 1)r
539 = 105 + (n - 1) · 7
7(n - 1) = 434
n - 1 = 62
n = 63.
Wiemy zatem, że jest 128 liczb trzycyfrowych podzielnych przez 7, z czego 63 są mniejsze
od 546, a 128 - 63 - 1 = 64 z nich jest większa od 546.
Za zdarzenia elementarne przyjmijmy 5-elementowe zbiory wylosowanych liczb. Zatem
128 128 · 127 · 126 · 125 · 124
|&!| = = =
5 5 · 4 · 3 · 2
128 · 127 · 21 · 125 · 124 128 · 127 · 21 · 25 · 124
= = =
5 · 4 4
= 128 · 127 · 21 · 25 · 31.
Liczymy teraz liczbę zdarzeń sprzyjających. Wiemy, że jedną z wylosowanych liczb ma być
546 - tu nie mamy żadnego wyboru. Wiemy też, że jedna z liczb musi być mniejsza od 546 
możemy ją wybrać na 63 sposoby. Pozostałe 3 liczby musimy wybrać ze zbioru liczb więk-
szych od 546  możemy to zrobić na
64 64 · 63 · 62
= = 64 · 21 · 31.
3 3 · 2
sposoby.
Prawdopodobieństwo jest więc równe
63 · (64)
63 · 64 · 21 · 31
3
= =
128 · 127 · 21 · 25 · 31
(128)
5
63 · 64 63 63
= = = .
128 · 127 · 25 2 · 127 · 25 6350
Otrzymany uÅ‚amek jest nieskracalny, bo 63 = 9 · 7, a 6350 nie dzieli siÄ™ ani przez 3, ani przez
7.
63·(64)
63
3
Odpowiedz
: =
6350
(128)
5
Materiał pobrany z serwisu
11