3582316260

opracował: Radek Kotkowski

Funkcja Blocha

W sieci krystalicznej w każdej komórce elementarnej prawdopodobieństwo przebywania elektronu jest takie samo - co wynika z periodyczności sieci:

y/(r + R) -^*(r + R) = y/(r) y/*(r)

Jednak nie możemy na tej podstawie powiedzieć, że:    y/(r + R) = \ff(r)

Jak porównać ze sobą i ^(r + i?)?

Zadziałajmy na ^(^r) operatorem translacji T(R_x), tzn. przesuwamy się w sieci do innej komórki elementarnej, zmieniając położenie o wektor R_x = n_xa_x + n₂a₂ + n₃a₃, gdzie ,ci₂,a₃ to stałe sieciowe, a n_x,n₂,n₃e C.

Jeśli dwie funkcje mają równe kwadraty, mogą się różnić co najwyżej o czynnik fazowy:

f(R_{ )ys(r) = ys(r + R) = ys(r)e¹ /(J?l)

Wykonując ponownie translację o jakiś inny wektor R₂ otrzymujemy:

f(R₂)f(R_l)y/{r)=f(R₂)y/(r)e    =y/(r + R₂)e ^iflJ‘> =y/(r)e

Operacja ta jest równoważna przesunięciu o sumę wektorów R_x i R₂:

f(R_x+R₂) = f(R₂)f(R_x)

f(Ą + R₂)yr(r) = y/(r + Ę + R₂) = y/{r)e

Wynika stąd, że W(r)e ¹ fWe ¹ /(i?a) = \ff(r)e ^f/(/?1+*^a) _t awięc    f (R_x) + f (R₂) = f (R₂ + R_x)

Jedyną funkcją spełniającą powyższy warunek jest funkcja liniowa:    f(R) = k ■ R

Tym sposobem dochodzimy do funkcji Blocha, która ma następującą postać:

y/(r) = e^lkr 'U_k(r)_t gdzie funkcja u_k(r) jest periodyczna: u_k(r + R) = u_k(r)

I I

funkcja funkcja wolnozmienna szybkozmnienna

Funkcja Blocha spełnia narzucone warunki:

y(r + R) = e^,i™ u_t(r + R) = e^rtTe^,is-u_k(r) = ir(r)-e^rtS =y(r) e^,f™