91139

opr.icou.il: Radek Kotkowski

Funkcja Blocha

W sieci krystalicznej w każdej komórce elementarnej prawdopodobieństwo przebywania elektronu jest takie samo - co wynika z periodyczności sieci:

i//(r + R)i//*(r + R) = y/(r) y/*(r)

Jednak nic możemy na tej podstawie powiedzieć, że:    l//(r + R) = l//{r)

Jak porównać ze sobą ^(r) i + /?)?

Zadziałajmy na ^(/’) operatorem translacji T(R,), tz.n. przesuwamy się w sieci do innej komórki elementarnej, zmieniając położenie o wektor R^ ^{= n}\&\ + ⁿ2^a2’*‘ⁿi^ai- gdzie Cl_ra₂,a₃ to stałe sieciowe, a /l,,/I₂,/l₃ e C .

Jeśli dwie funkcje mają równe kwadraty, mogą się różnić co najwyżej o czynnik fazowy:

f(R_t )y/(r) = y/(r + R) = y/(r)e^i/(S,>

Wykonując ponownie translację o jakiś inny wektor R₂ otrzymujemy:

f(R₂)f(R_t )y/(r)=f(R₂ )y{r)e^,/<S|) = y/(r + R₂)e^if(R,) = tjf(r)e‘^nR‘⁾e^inRl)

Operacja ta jest równoważna przesunięciu o sumę wektorów R_] i R₂:

f(R_l+R₂) = f (R₂ )T(R_l)

f(R, + R₂ )y/(r) =l//(r + R_t+R₂) = t//(r)e

Wynika stąd, że a więc

y{r)e^,fCR'⁾e^ifCR'-⁾ =y/(r)e^,f[*'+*'-\

Jedyną funkcją spełniającą powyższy warunek jest funkcja liniowa:    f(R) = k R

Tym sposobem dochodzimy do funkcji Blocha, która ma następującą postać:

l//(r) = e^lk' • u_k(r)_y gdzie funkcja u_k(r) jest periodyczna: u_k(r + R) = u_k(r)

I I funkcja funkcja wolnozmienna szybkozmnienna

Funkcja Blocha spełnia narzucone warunki:

+ R) = e'^{1 Cr+R)} u_k{r + R) = e^il V** ■ u, (r) = p(r)-e‘*^R = \j/(r)• e^iffR>