3582320321

Wykład 8 20 listopada 2012

1 Twierdzenia Sylowa

1.1    Pierwsze twierdzenie Sylowa

Twierdzenie 1.1 Niech G będzie grupą skończoną a P liczbą pierwszą, l € N. Jeśli p¹ dzieli rząd grupy G wówczas istnieje w G podgrupa rzędu p¹.

1.1.1    Wnioski z pierwszego twierdzenia Sylowa

Niech p będzie liczbą pierwszą. Grupę (lub podgrupę) nazywamy p-grupą (p-podgrupą jeżeli jej rząd jest potęgą liczby p. Jeżeli pft dzieli rząd grupy G, powiedzmy, że |G| = p^kw, przy czym w nie jest podzielne przez p (inaczej mówiąc k jest maksymalną potęgą p, która dzieli |G|), wówczas każdą podgrupę H rzędu p^k nazywamy p-podgrupą Sylowa grupy G.

Wniosek 1.2 (I Twierdzenie Sylowa) Jeśli p jest liczbą pierwszą dzielącą rząd skończonej grupy G, wówczas istnieje p-podgrupa Sylowa grupy G.

Wniosek 1.3 (Twierdzenie Cauchy’ego) Jeśli grupa skończona G jest rzędu podzielnego przez liczbę pierwszą p, wówczas w G istnieje element rzędu pM

Ćwiczenie 1.1 Udowodnij, że istnieją jedynie dwie grupy rzędu 6, mianowicie Zg oraz grupa symetryczna Są (czyli grupa permutacji zbioru {1,2,3} ¹

Przykład 1.1 Korzystając z ćwiczenia 1.1 wykażemy, że 12-to elementowa grupa permutacji parzystych Aą nie zawiera podgrupy rzędu 6, choć 6 dzieli jej rząd 12. Rzeczywiście, gdyby podgrupa o 6 elementach istniała, to zgodnie z ćwiczeniem 1.1 byłaby izomorficzna z Z₆ albo z S3. Tymczasem w Zg istnieje element rzędu 6, podczas gdy żadna permutacja 4 elementów nie jest rzędu 6. Nie może to być także grupa S3, bo w S3 istnieją nieprzemienne elemnty rzędu 2, natomiast w Aą są 3 elementy rzędu 2: (1,2)(3,4), (1,3)(2,4) i (1,4)(2,3), które są parami przemienne.

1

1

Jedyaość oznacza tu oczywiście jedyność z dokładnością do izomorfizmu. Dokładniej należałoby powiedzieć, że każde grupa rzędu 6 jest izomorficzna, z Zg albo z grupą symetryczną

Sa.