2749771997

Kody wykrywające i korygujące błędy - konspekt wykładu 2006/07    15

Twierdzenie 2.15. (F.J.MacWilliams)

Jeśli Wc(x,y) jest numeratorem (n,k)-kodu linowego C, to wielomian W_c±(x, y) = ^W_c(x + (q - l)y, x-y)

jest numeratorem kodu dualnego C^x.

W przypadku binarnym,

W_cj.(x,y) = ^W_c(x + y,x -y).

Definicja 2.16. KodC nazywamy słabo samo-dualnym, jeśli C C C¹.

W kodach słabo samo-dualnych, dla każdej pary słów kodowych u,v G C (niekoniecznie różnych), uv — 0.

Przykład 2.17. Dowolny binarny (n, l)-kod powtórzeniowy jest słabo samo-dualny, gdy n jest liczbą parzystą.    □

Definicja 2.18. Kod C nazywamy samo-dualnym, jeśli C — C¹.

Długość n kodów samodualnych musi być parzysta oraz kod C musi być (n, n/2)-kodem.

Przykład 2.19. Binarny (2,l)-kod powtórzeniowy C = {00,11} jest kodem samodualnym.    □

Proces dekodowania

Metoda lidera warstwy. W procesie dekodowania, dekoder musi zdecydować na podstawie otrzymanego po transmisji wektora y jakie słowo kodowe v zostało wysłane. Wystarczy, gdy dekoder znajdzie wektor błędu e, gdyż wówczas v = y—e. Ponieważ dla (n, /c)-kodów liniowych C zbiór słów kodowych tworzy Ar-wymiarową podprzestrzeń n-wymiarowej przestrzeni wektorowej GF(q)ⁿ, wektor y G GF(q)ⁿ musi należeć do jednej z warstw względem C. Niech y G a+C dla pewnego a G GF(q)ⁿ, czyli y = a+u dla mgC. Wówczas

e = y — v = a + u — v = a + v'(ża + C.