3582334061

2

2 PODGR UP Y NORMALNE

Sposób 1. Sumujemy wyrazy w każdym wierszu macierzy S otrzymując dla wiersza

0    indeksie g

^m9'^{x =} l^FłX

x€.V

a następnie liczymy simię wszystkich wierszy i mamy w wyniku

|S| = £ \Fix g\ gęc

Sposób 2. Sumujemy wyrazy w każdej z kolumn otrzymując dla kolumny o ideksie x

^mg.r — \G_Z\

1    następnie sumujemy po wszystkich x € X co daje w wyniku

|S| = £ \G,\

x€.Y

Powiedzmy, że mamy jY orbit (rozlączuych i dających w sumie cały zbiór X) 0\,02- ....Oy. Możemy teraz napisać

Egęf,' l^F*^x ^1 ⁼ Ex€X 1^*1

= e£i(E^oJg,d

Dla każdej z orbit 0< wybierzmy (dokładnie jeden) element X( € Oj. Skoro, na mocy wniosku 1.2, dla każdego x € X prawdziwy jest wzór |G_r| • |0r6 x| = |G|, mamy także |G,| = \G_r, | dla każdego igO,. Stąd (i korzystając ponownie z wniosku 1.2) otrzymujemy

= EjL.dOil-IG.J)

= A^r-|G|

Co kończy dowód naszego twier<lzenia.    ■

2 Podgrupy normalne

.Już wiemy (dowiedzieliśmy sie tego przy okazji dowodu twierdzenia Lagrange*a), że dla dowolnej podgrupy H grupy multyplikatywncj G relacja:

alib <=> ab~^l € H    (2)

jest równoważnościowa. Klasą równoważności dowolnego elementu a € G dla tej relacji jest zbiór

Ha = {ha\h € H)