1109145103

Rozwiązanie jest wtedy następujące

q = _e-“‘ (Ae^iJt + Be"'"'*) ,    (59)

gdzie, w przeciwieństwie do poprzedniego przypadku, stale A,B są teraz liczbami zespolonymi.

Oczywiście, wykorzystując związki

giw t _ _cos    ^ _sj_n    e- ⁴ _ _cos </£ _ i _sj_n    (60)

możemy to rozwiązanie napisać w wygodniejszej postaci

q = e~^auit (q_c cos u>'t + q_s sin u/t) ,    (61)

gdzie oznaczyliśmy

q_c = A + B, q_a =i(A — B).    (62)

Ponieważ to rozwiązanie musi być rzeczywiste, a więc i nowe stałe q_c, q_s muszą być rzeczywiste, więc otrzymujemy następujące ograniczenia na stale w rozwiązaniu zespolonym (59)

ReA = ReB, lmA = -lmB.    (63)

W praktycznych zastosowaniach zapisuje się rozwiązanie (61) również w innej postaci. Wprowadźmy oznaczenia

q_c = (amq) cos ip, q_s = (amq) cos tp.    (64)

Odwracając te związki otrzymujemy

(amg) = y/q* + q²s,

ij) — ar etan —, Qs

(65)

Pierwsza stała jest nazywana amplitudą drgań, a druga przesunięciem fazowym. Podstawienie w (61) i proste przekształcenie prowadzi do następującej postaci rozwiązania

(66)

q = e ^auiŁ (amg) sin (ui't + xp).

Rozwiązanie to jest schematycznie przedstawione na Rys. 9.

Rys. 9: Drgania własne tłumione: wychylenie w funkcji czasu (schematycznie)

17