1109145626

Metody numeryczne - 2. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych

Przykład 2.1.

Rozwiązać układ równań:

{x_x + 4x₂ — x₃ + 6x₄ =    5

5x₂ + x₃ + 2x₄ = 9 3x₃ - x₄= 4 2x₄ = -2

Z ostatniego równania x₄ = — 1, wstawiając do równania trzeciego x₃ = —^ ⁼ !•

y a . .    9-1+2    „    5—8+1+6    .

I kolejno x₂ = —-— = 2, x_x = —-— = 4.

Analogicznie postępujemy w przypadku, gdy macierz współczynników układu jest macierzą trójkątną dolną.

2.2. Metoda eliminacji Gaussa

Rozważmy układ równań liniowych:

("“11*1 + “12*2 + - + “ln*n = *1

I a₂₁x_± + a₂₂x₂ +    + a_2nx_n = b₂

Unl*l + ^an2^x2 + - + a-nn*n = K W postaci macierzowej układ ten zapisać można jako:

AX = B

gdzie A jest macierzą współczynników, X - wektorem niewiadomych, zaś B - wektorem wyrazów wolnych:

	<*n	<*12 •	‘ <*ln		*i		bi
A =	<*21	<*22 •	• <*2n	X =	*2	B =	bz
	<*nl	<*n2 ‘	• ann		*n		bn.

Aby układ ten miał rozwiązanie potrzeba i wystarcza, aby wyznacznik macierzy A był różny od zera.

Metoda eliminacji Gaussa jest uogólnieniem metody przeciwnych współczynników na przypadek dowolnej liczby równań. Dla ułatwienia zapisu oznaczmy elementy wektora wyrazów wolnych przez ai _n+1 (gdzie i = 1,2, ...,n ). Wówczas nasz układ przyjmie postać:

(2.3)

'<*11*1 + <*12*2 + - + <*m*n = <*l,n+l <*21*1 + <*22*2 +    I" <*2n*n ⁼ <*2,n+l

,<*nl*l + d_n2*2 +    I" <*nn*n ⁼ <*n,n+l

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 20