1109145627

Metody numeryczne - 2. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych

Na układzie tym wykonywać będziemy trzy rodzaje operacji:

-    przestawienie dowolnych równań,

-    pomnożenie równania przez liczbę różną od zera,

-    dodanie do danego równania dowolnego innego równania przemnożonego przez stałą różną od zera.

Etap 1. Bez straty ogólności możemy założyć, że a_n 0 (ewentualnie przestawiamy wiersze, by tak było). Element ten nazywamy elementem głównym. Wykorzystując pierwsze równanie eliminujemy z kolejnych równań niewiadomą x₁ przemnażając je odpowiednio przez stałe:

«2l    «3i    ^ani

i dodając do kolejnych równań.

W wyniku tych operacji uzyskujemy układ równań:

(^all^xl + ^al2*2 +    1" ^aln^xn ~ ^al,n+l

„W. . .... _nW_r - „(i)

^an2 ^x2 '    ⁺ ann^xn ~ ^an,n+1

gdzie:

ajp = a.ij--— a_xj (i = 2,3,..., n; j = 2,3,..., n + 1)

Etap k (l<k<n—l). Niech teraz a^_k ^ =£ 0. Podobnie jak w kroku pierwszym eliminujemy teraz niewiadomą x_k z kolejnych n — k równań uzyskanych w poprzednim etapie (k — 1). Otrzymujemy układ równań:

gdzie:

^11^1 ”1” ®-12^x2 ”1” "" ”1” “lk^xk	+ ^al.k+l^xk+l + "	■ + «iA	^— al.n+l
n^(k_1)r ^akk ^xk	^+ak.k+l^xk+l + ^- (fc) ^ak+l,k+l^xk+l ^+ '	•• + 4+1,	= a^(fc_1) ^uk,n+l — a^(k) ^— wfc+l.n+l
	(fc) ^an,k+l^xk+l + ■	. (fc) •• + CLnnXn	(fc) = <n+l
„W - „“-D _ “i* g(^k-» ^uij ^uij (fc-l) ^ukj ^akk	(i = k + 1, ...,n;	i = k + 1,...	,n + 1)

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 21