plik


ÿþprocenty podstawowa maj 2003 Zadanie 8. (3 pkt ) SkBadka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa 7,5% podstawy wymiaru skBadek na ubezpieczenie spoBeczne. Podstawa wymiaru skBadek na ubezpieczenie spoBeczne jest równa 60% przecitnego wynagrodzenia. Oblicz wysoko[ skBadki na ubezpieczenie zdrowotne przyjmujc, |e przecitne wynagrodzenie jest równe 1869,76 zB. Wynik podaj w zaokrgleniu do 1 grosza. próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 3. (3 pkt) W pierwszym miesicu sprzeda|y nowego modelu telefonu komórkowego klienci kupili n sztuk takich telefonów w cenie c zBotych za ka|d sztuk. Uzyskano w ten sposób przychód ze sprzeda|y równy (n. c ) zBotych. Oblicz, o ile procent zwikszyBby si przychód w pierwszym miesicu sprzeda|y tego telefonu, gdyby jego cena c byBa ni|sza o 25%, 2 za[ liczba n klientów wiksza o 3 próbna listopad 2006 Zadanie 1. (3 pkt) Wzrost kursu euro w stosunku do zBotego spowodowaB podwy|k ceny wycieczki zagranicznej o 5%. Poniewa| nowa cena nie byBa zachcajca, postanowiono obni|y j o 8%, ustalajc cen promocyjn równ 1449 zB. Oblicz pierwotn cen wycieczki dla jednego uczestnika. propozycja gazeta kwiecieD 2007Zadanie 1 (3 pkt.) Zimowe kurtki w styczniu sprzedawano w cenie 160 zB. W lutym ich cen obni|ono o 40% i przychód z ich sprzeda|y wzrósB o 12% w stosunku do stycznia. Oblicz stosunek liczby kurtek sprzedanych w styczniu do liczby kurtek sprzedanych w lutym. Wynik podaj w uBamku nieskracalnym. procenty rozszerzona próbna Kraków przykBad 2004 Zadanie 1. (4 pki) W banku w pierwszym roku oszczdzania stopa procentowa byBa równa p%, a w drugim roku wynosiBa (p-2)%. Po dwóch latach, przy rocznej kapitalizacji odsetek, stan konta wzrósB z 1000 zB do 1232 zB. Oblicz p. Kujon Polski 2007Zadanie 1 (3 pkt) Za normalne i ulgowe bilety kolejowe zapBacono 3250 zB. Stosunek liczby biletów 1 normalnych do biletów ulgowych byB równy 3:2 i jeden bilet ulgowy byB o 33 % taDszy od 3 biletu normalnego. Oblicz, ile zapBacono za bilety ulgowe. ©Irek.edu.pl 1 Zbiory podstawowa próbna czerwiec Kraków 2004 Zadanie 10. (6 pkt) próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 2. (4 pkt) Rozwi| nierówno[ 5(x +1) e" 2x + 3 Zbiór rozwizaD tej nierówno[ci zapisz postaci x e" a 5 +b gdzie a i b s liczbami caBkowitymi. Podaj najmniejsz liczb caBkowit speBniajc t nierówno[. próbna grudzieD 2004 Zadanie 6. (5 pkt) Dane s liczby a) Wyznacz liczb, której 60% jest równe x. Wynik podaj z dokBadno[ci do 0,01. b) Przedstaw iloczyn liczby x i odwrotno[ci liczby y w postaci c + d 5 gdzie c i d s liczbami wymiernymi. próbna grudzieD 2004 Zadanie 9. (5 pkt) 4 Wyznacz A )" B, je|eli A = {x : x " R i |x + 2| > 1}, B { x: x " R i d" 2 }. x - 2 styczeD 2005 Zadanie 1. (5 pkt.) Wykonaj odpowiednie obliczenia i oceD, które z podanych zdaD jest prawdziwe, a które faBszywe: OceD warto[ logiczn zdania: (p '"q)Ò! r . Odpowiedz uzasadnij. styczeD 2005 Zadanie 2. (5 pkt.) Zbiór A jest zbiorem rozwizaD nierówno[ci: - x2 + 2x + 3 e" 0 , zbiór B jest dziedzin x2 - 9 funkcji wymiernej W(x )= . Wyznacz ró|nic zbiorów A\ B . 4x - x2 maj 2005 Zadanie 6. (6 pkt) Dane s zbiory liczb rzeczywistych: A= {x: |x+2| <3} B={x: (2x 1)3d" 8x3-13x2+6x+3} Zapisz w postaci przedziaBów liczbowych zbiory A, B, A )"B oraz B  A. ©Irek.edu.pl 2 próbna grudzieD 2005 Zadanie 7. (3 pkt) c - 3 Aby wyznaczy wszystkie liczby caBkowite c, dla których liczba postaci jest tak|e c - 5 liczb caBkowit mo|na postpi w nastpujcy sposób: styczeD 2006 Zadanie 1. (3 pkt) Dane s liczby: a) Przedstaw liczb a w postaci x + y 3 , gdzie x i y s liczbami wymiernymi. b) Zapisz liczb b w postaci potgi liczby 3 o wykBadniku uBamkowym. c) Suma liczb a i b stanowi 80% pewnej liczby c . Wyznacz liczb c . styczeD 2006 Zadanie 9. (8 pkt) Dane s zbiory liczb rzeczywistych: a) Zaznacz te zbiory na osi liczbowej. b) Przedstaw zbiory A *" B i A \ B w postaci sumy przedziaBów liczbowych. maj 2006 Zadanie 1. (3 pkt) Dane s zbiory : A={x"R: |x 4|e"7), B={x"R: x2 >o). Zaznacz na osi liczbowej a) zbiór A, b) zbiór B, c) zbiór C =B\A ©Irek.edu.pl 3 maj 2006 Zadanie 11. (3 pkt) próbna listopad 2006 Zadanie 10. (6 pkt) Dane s zbiory: a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory A, B i C. b) Wyznacz i zapisz za pomoc przedziaBu liczbowego zbiór C \ (A )" B). Zbiory rozszerzona próbna listopad 2004 Zadanie 16. (5pkt) W prostoktnym ukBadzie wspóBrzdnych naszkicuj figur F, gdzie: F= {(x,y): x" R i y" R i 3|x|+|y|d"2}. Oblicz pole figury F. próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 15. (3 pkt) Stosujc wzór dwumianowy Newtona rozwiD wyra|enie (1 + x)5 a nastpnie wykorzystujc to rozwinicie zapisz wyra|enie (1  3 )5 w postaci a +b 3 gdzie a i b s liczbami caBkowitymi. maj 2005 Zadanie 17. (7 pkt) 3 3 Wyka|, bez u|ycia kalkulatora i tablic, |e 5 2 + 7 - 5 2 - 7 jest liczb caBkowit. ©Irek.edu.pl 4 WBasno[ci funkcji podstawowa próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 1. (6 pkt) Poni|ej rozpoczto szkicowanie wykresu funkcji f okre[lonej wzorem ñø x2 + 4x dla x d" 0 ôø f (x) = òø 1 dla x > 0 ôø1+ óø x a. DokoDcz szkicowanie wykresu tej funkcji. b. Korzystajc z wykresu odczytaj i zapisz zbiór warto[ci funkcji f. c. Oblicz warto[ tej funkcji dla argumentu x = - 2 . d. Zapisz zbiór argumentów, dla których funkcja f przyjmuje warto[ci nieujemne. próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 5. (3 pkt) Napisz wzór dowolnej liczby caBkowitej c, która przy dzieleniu przez 4 daje reszt 1 Uzasadnij, |e dzielc przez 4 kwadrat liczby c , równie| otrzymamy reszt równ 1. próbna grudzieD 2005 Zadanie 3. (5 pkt) Funkcja f(x) jest okre[lona wzorem: a) Sprawdz, czy liczba a= (0,25)-0,5 nale|y do dziedziny funkcji f(x). b) Oblicz f(2) oraz f(3). c) Sporzdz wykres funkcji f(x). d) Podaj rozwizanie równania f(x) = 0. e) Zapisz zbiór warto[ci funkcji f(x). ©Irek.edu.pl 5 próbna listopad 2006 Zadanie 8. (5pkt) Dany jest wykres funkcji y = f(x) okre[lonej dla x " < 6, 6>. Korzystajc z wykresu funkcji zapisz: a) maksymalne przedziaBy, w których funkcja jest rosnca, b) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje warto[ci dodatnie, c) najwiksz warto[ funkcji f w przedziale < 5, 5>, d) miejsca zerowe funkcji g(x) = f(x  1) c) najmniejsz warto[ funkcji h(x) = f(x)+ 2. WBasno[ci funkcji rozszerzona próbna propozycja Kraków 2004 Zadanie 10. (6 pkt) 1- x Udowodnij, |e funkcja f okre[lona wzorem .f(x)= x log2 jest funkcj parzyst. 1+ x próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 14. (4 pkt) 1 Korzystajc tylko z definicji funkcji rosncej uzasadnij, |e funkcja f (x) = jest rosnca w x2 przedziale ( - ",0) ©Irek.edu.pl 6 funkcja liniowa podstawowa maj 2003 Zadanie 7. (5 pkt ) Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji liniowej f. Wykres funkcji g jest obrazem wykresu funkcji f otrzymanym za pomoc przesunicia o wektor u = [2,1]. Wyznacz miejsce zerowe funkcji g. próbna czerwiec Kraków 2004 Zadanie 1. (2 pkt) Miejscem zerowym funkcji f(x) = -3x + b jest 2 . Oblicz b. próbna grudzieD 2004 Zadanie 1. (4 pkt) Rysunek przedstawia prost w ukBadzie wspóBrzdnych. Wyznacz równanie tej prostej. a) Oblicz odlegBo[ punktu o wspóBrzdnych (2,1) od narysowanej prostej. b) Wyznacz równanie prostej przechodzcej przez pocztek ukBadu wspóBrzdnych i prostopadBej do narysowanej prostej. styczeD 2005 Zadanie 3. (5 pkt.) Dwie konkurencyjne firmy  Alfa i  Beta chc podj si organizacji wycieczki. OpBata za wycieczk w przypadku ka|dej z ofert skBada si z cz[ci staBej, niezale|nej od liczebno[ci grupy oraz stawki za ka|dego uczestnika. OpBata staBa i stawka wynosz odpowiednio 3000 zB i 245 zB w firmie  Alfa oraz 4400 zB i 206 zB w firmie  Beta . Oblicz: a) przy jakiej liczbie uczestników wycieczki korzystniejsza jest oferta firmy  Alfa , b) jakie koszty przypadn na ka|dego z 38 uczestników wycieczki zorganizowanej przez firm  Beta (koszty podaj z dokBadno[ci do 1 zB). styczeD 2005 Zadanie 6. (6 pkt.) Prosta l tworzy z osi x kt o mierze 45o i przechodzi przez punkt M =(- 2,2). Prosta k, prostopadBa do prostej l, przecina o[ x w punkcie o odcitej xo = -3. a) Wyznacz równania prostych l i k. b) Oblicz dBugo[ najdBu|szego boku trójkta, którego boki zawieraj si w prostych l i k oraz w osi y. ©Irek.edu.pl 7 styczeD 2006 Zadanie 3. (3 pkt) Dana jest funkcja f :R’!R okre[lona wzorem f(x) =ax+ 4 . a) Wyznacz warto[ a, dla której miejscem zerowym funkcji f jest liczba  1. b) Wyznacz warto[ a, dla której prosta bdca wykresem funkcji f jest nachylona do osi OX pod ktem 60° . c) Wyznacz warto[ a, dla której równanie ax + 4 = 2a + 4 ma nieskoDczenie wiele rozwizaD. rozszerzona funkcja kwadratowa podstawowa maj 2003 Zadanie 2. (4 pkt ) Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej f . a) Podaj miejsca zerowe funkcji f. b) Podaj rozwizania nierówno[ci f(x)d" 0 c) Podaj rozwizania równania f(x) =3 próbna czerwiec Kraków 2004 Zadanie 2. (3 pkt) Dana jest funkcja f okre[lona wzorem f(x)= (1  x)(x + 1)+ 2x Wyznacz zbiór warto[ci funkcji f. próbna czerwiec Kraków 2004 Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporzdkowuje ka|dej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczb o 3 od niej mniejsz. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbadaj, ile rozwizaD ma równanie f(x)+ 3 = O. próbna listopad 2004 Zadanie 3. (5 pkt) Funkcja f jest okre[lona wzorem: f(x)=ax2+bx+1 dla x e R a) Wyznacz wzór funkcji tak, aby f (1) =2 i f(2)=-1 b) Dla wyznaczonych warto[ci wspóBczynników a i b rozwi| nierówno[: f(x)> 1 próbna listopad 2004 Zadanie 7. (3 pkt) Dana jest funkcja okre[lona za pomoc zbioru par uporzdkowanych: { (x,x2+ 1):x "N+ i x d" 7} a) Sporzdz wykres tej funkcji i okre[l jej zbiór warto[ci. b) Wyznacz wszystkie argumenty dla których funkcja przyjmuje warto[ 37. ©Irek.edu.pl 8 próbna grudzieD 2004 Zadanie 7. (4 pkt) WspóBczynniki funkcji kwadratowej f(x) =  x2 + bx + c tworz w kolejno[ci  1, b, c cig geometryczny. Wyznacz warto[ wspóBczynników b i c, je|eli wiadomo, |e osi symetrii wykresu funkcji f jest prosta x =1. Zapisz funkcj w postaci kanonicznej. styczeD 2005 Zadanie 4. (5 pkt.) 1 Funkcja kwadratowa f (x) = - x2 + bx + c przyjmuje jednakowe warto[ci dla argumentów 2 1 i 5. Do wykresu tej funkcji nale|y pocztek ukBadu wspóBrzdnych. a) Wyznacz warto[ci wspóBczynników b i c. b) Dla wyznaczonych warto[ci wspóBczynników b i c naszkicuj wykres funkcji f. maj 2005 Zadanie 5. (4pkt) Sklep sprowadza z hurtowni kurtki pBacc po 100 zB za sztuk i sprzedaje [rednio 40 sztuk miesicznie po 160zB. Zaobserwowano, |e ka|da kolejna obni|ka ceny sprzeda|y kurtki o 1 zB zwiksza sprzeda| miesiczn o 1 sztuk. Jak cen kurtki powinien ustali sprzedawca aby jego miesiczny zysk byB najwikszy? próbna grudzieD 2005 Zadanie 2. (4 pkt) W roku 2005 na uroczysto[ci urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedziaB:  Je[li swój wiek sprzed 10 lat pomno| przez swój wiek za 11 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia . UBó| odpowiednie równanie, rozwi| je i zapisz, w którym roku urodziB si ten jubilat. styczeD 2006 Zadanie 6. (6 pkt) Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f. Na podstawie tego wykresu a) zapisz w postaci sumy przedziaBów liczbowych zbiór rozwizaD nierówno[ci f (x) d" 3, b) okre[l i zapisz najwiksz i najmniejsz warto[ funkcji f w przedziale <0, 3 >, c) zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej. maj 2006 Zadanie 8. (5 pkt) Dana jest funkcja f(x) =  x 2+6x 5. a) Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej zbiór warto[ci. b) Podaj rozwizanie nierówno[ci f(x) e" O próbna listopad 2006 Zadanie 11. (4 pkt) Funkcja f przyporzdkowuje ka|dej liczbie rzeczywistej x z przedziaBu < 4,- 2> poBow kwadratu tej liczby pomniejszon o 8. a) Podaj wzór tej funkcji. b) Wyznacz najmniejsz warto[ funkcji f w podanym przedziale. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 4 (6 pkt.) Dane s dwie funkcje f i g okre[lone dla x "< 4; 6> takie, |e: f(x) = x2  12, g(x) = 3x  8. a) W prostoktnym ukBadzie wspóBrzdnych narysuj wykresy tych funkcji. b) Wyznacz wszystkie argumenty x, dla których warto[ci funkcji f s równe warto[ciom funkcji g. c) Wyznacz i zapisz w postaci przedziaBu liczbowego zbiór wszystkich argumentów x, dla których obie funkcje jednocze[nie przyjmuj warto[ci dodatnie. funkcja kwadratowa rozszerzona próbny propozycja Kraków 2004 Zadanie 7. (5 pkt) Liczby x1, x2 s pierwiastkami równania 4x 2 8x + k2  21= 0. Naszkicuj wykres funkcji f(k)= (x1-1 +x2-1)-1 próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 12. (5 pkt) Pierwiastkami równania x2 + px + p = O s dwie ró|ne liczby x1, x2. Stosujc wzory Viete a zbadaj, czy istnieje taka warto[ parametru p, przy której wyra|enie (x1 + 2x2 )" (x2 + 2x1) osiga warto[ 1 styczeD 2005 Zadanie 16. (3 pkt.) Jednokierunkowa droga o szeroko[ci 8m prowadzi przez tunel. Przekrój poprzeczny tunelu, przedstawiony na poni|szym rysunku, ma ksztaBt zbli|ony do Buku paraboli o równaniu: 3 y = - x2 + 6. Sprawdz, wykonujc odpowiednie obliczenia, czy ci|arówka wiozca 8 prostopadBo[cienny kontener o szeroko[ci 4,8 metra mo|e przejecha tym tunelem, je|eli najwy|szy punkt kontenera znajduje si 4 metry nad drog. próbna grudzieD 2005 zadanie 11. (6 pkt). 5 Wyznacz wszystkie liczby caBkowite k, dla których funkcja f(x) = x2  2k . x + 2k+ 4 przyjmuje warto[ci dodatnie dla ka|dego x " R. styczeD 2006 Zadanie 11. (6 pkt) Wyznacz dziedzin i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f(m)=x1·x2, gdzie x1 , x2 , s ró|nymi pierwiastkami równania (m+ 2)x2-(m+2)2x+3m+2=0, w którym m" R \{- 2}. styczeD 2006 Zadanie 12. (4 pkt) Rozwi| ukBad równaD próbna listopad 2006 Zadanie 5. (3 pkt) Sporzdz wykres funkcji f danej wzorem f(x) = 2|x|  x2, a nastpnie, korzystajc z niego, podaj wszystkie warto[ci x, dla których funkcja f przyjmuje maksima lokalne i wszystkie warto[ci x, dla których przyjmuje minima lokalne. próbna listopad 2006 Zadanie 11. (3 pkt) Funkcja f przyporzdkowuje ka|dej liczbie naturalnej n > 1 najwiksz liczb caBkowit speBniajc nierówno[ x2  3nx + 2n2 <O o niewiadomej x. Wyznacz wzór funkcji f wielomiany podstawowy próbna czerwiec Kraków 2004 Zadanie 11. (5 pkt) Dane s wielomiany Q(x)=x3  x +2 i S(x)= 2x 2 2x+4. a. Sprawdz, czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x). b. Wielomian P(x) jest sum wielomianów Q(x) i S(x). RozBó| wielomian P(x) na czynniki liniowe. próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 1. (4 pkt) Sprawdz. |e wielomian W(x) = 2x3  7x2  24x + 45 dzieli si bez reszty przez dwumian (x + 3), a nastpnie zapisz dany wielomian w postaci iloczynu trzech czynników liniowych ze wspóBczynnikami caBkowitymi. styczeD 2005 Zadanie 8. (4 pkt.) Dane s wielomiany: Q( x ) = x4 - 8x3 + 22x2 - 24x + 9 , P( x ) = 2x3 - 9x2 + 7x + 6 . Oblicz warto[ci m i n, dla których wielomian W( x ) = x4 + (m - 4)x3 - (2n + 6)x2 - 38x - 3 równy jest wielomianowi Q(x) - 2P(x) . maj 2005 zadanie 3 . ( 4pkt) Dany jest wielomian W (x) = x3 + kx2 -4 a) Wyznacz wspóBczynnik k tego wielomianu wiedzc, |e wielomian ten jest podzielny przez dwumian x + 2. b) Dla wyznaczonej warto[ci k rozBó| wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego pierwiastki. próbna grudzieD 2005 Zadanie 1. (4 pkt) Wielomian P(x) = x3  2lx + 20 rozBó| na czynniki liniowe, to znaczy zapisz go w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego. maj 2006 Zadanie 10. (6 pkt) Liczby 3 i l s pierwiastkami wielomianu W(x)= 2x3 +ax2 +bx+ 30. a) Wyznacz warto[ci wspóBczynników ci i b. b) Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu. próbna listopad 2006 Zadanie 4. (3 pkt) Wielomian W(x) =  2x4 + 5x3 + 9x2  15x 9 jest podzielny przez dwumian (2x + 1). Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. wielomiany rozszerzony próbna listopad 2004 Zadanie 12. (4 pkt) Wyka|. |e dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i c funkcja: f(c) = (x -a) ( x-b) + (x  b)(x-c) + (x-c)(x-a) ma co najmniej jedno miejsce zerowe. próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 13. (4 pkt) Wielomian W(x) = x3 x2+ ax +b jest równy wielomianowi T(x)= (x  2)2(x - c) gdzie c `"2 Wyznacz warto[ wspóBczynników a, b,c . Rozwi| nierówno[ T( x)d" 0 styczeD 2005 Zadanie 11. (5 pkt.) Pierwiastkiem równania 2x3 - (3m -1)x2 + 7x - m = 0 jest liczba -1. Wyznacz warto[ parametru m oraz pozostaBe pierwiastki tego równania. próbna listopad 2006 Zadanie 2. (5 pkt) Wyznacz wszystkie warto[ci k " R, dla których pierwiastki wielomianu W(x) = (x2  8x + 12). (x  k) s trzema kolejnymi wyrazami rosncego cigu geometrycznego. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 9 (7 pkt.) Wyznacz liczb rozwizaD równania x3  3x2  9x= m w przedziale < 2; 4> w zale|no[ci od parametru m. funkcja wymierna rozszerzona próbna grudzieD 2005 Zadanie 13. (5 pkt) x - 4 Sporzdz wykres funkcji f(x) =  a nastpnie, korzystajc z tego wykresu, wyznacz x - 2 x - 4 wszystkie warto[ci parametru k, dla których równanie = k ma dwa rozwizania, x - 2 których iloczyn jest liczb ujemn. próbna listopad 2006 Zadanie 1. (5 pkt) px - 3 Funkcja homograficzna f jest okre[lona wzorem f(x) = gdzie p"R jest x - 3 parametrem i |p| `" 3 m a) Dla p=1 zapisz wzór funkcji w postaci f(x)=k+ , gdzie k oraz m s liczbami x -1 rzeczywistymi. b) Wyznacz wszystkie warto[ci parametru p, dla których w przedziale (p, +") funkcja f jest malejca. cigi podstawowa maj 2003 Zadanie 1. (4 pkt ) Lewa strona równania 1+x2+x4+x6+& +x2n+ & =3 jest sum nieskoDczonego cigu geometrycznego o ilorazie x2. Z warunku zbie|no[ci mamy x2 < 1. Zatem dziedzin równania jest przedziaB (-1,1). maj 2003 Zadanie 4. (3 pkt ) Liczby 102, 105, 108, 111,... s kolejnymi, pocztkowymi wyrazami pewnego cigu arytmetycznego (an). Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego cigu. Oblicz wyraz a81. maj 2003 Zadanie 5. (5 pkt ) Przed wej[ciem do przychodni lekarskiej znajduj si schody majce 8 stopni po 15 cm wysoko[ci ka|dy. Postanowiono zbudowa podjazd dla niepeBnosprawnych o nachyleniu 70. Oblicz dBugo[ podjazdu. Wynik podaj w zaokrgleniu do 10 cm. maj 2003 Zadanie 6. (3 pkt ) Cig okre[lony jest wzorem Wyznacz czwarty wyraz tego cigu. próbna czerwiec Kraków 2004 Zadanie 3. (4 pkt) Widownia wokóB boiska do koszykówki podzielona jest na cztery sektory. W pierwszym rzdzie ka|dego sektora jest 8 miejsc, a w ka|dym nastpnym rzdzie o 2 miejsca wicej ni| w rzdzie poprzednim. W ka|dym sektorze s 22 rzdy. Oblicz liczb wszystkich miejsc na widowni. próbna czerwiec 2004 Kraków Zadanie 8. (6 pkt) Cig (an) okre[lony jest wzorem an= n2  5. a. Wyznacz liczb ujemnych wyrazów tego cigu. b. Sprawdz, na podstawie definicji, czy cig (an) jest cigiem geometrycznym. próbna listopad 2004 Zadanie 2. (4 pkt) Po|yczk w wysoko[ci 8700 zB zacignit w banku nale|y spBaci w 12 ratach, z których ka|da nastpna jest mniejsza od poprzedniej o 50 zB. Oblicz wysoko[ pierwszej i ostatniej raty. próbna listopad 2004 Zadanie 6. (4 pkt) Cig (an ) okre[lony jest wzorem an=n3-10n2+31n-30.Wiedzac. |e a2=0 wyznacz wszystkie pozostaBe wyrazy tego cigu równe zero. próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 6. ( 7 pkt) Trzeci wyraz cigu arytmetycznego (an) równa si 1 5, a pitnasty wyraz tego cigu jest równy (- 9) a. Wyznacz pierwszy wyraz tego cigu.,jego ró|nic oraz wzór ogólny opisujcy n - ty wyrazu cigu (an). b. Zapisz wzór sumy n pocztkowych. kolejnych wyrazów cigu (an) w postaci iloczynowej. Oblicz najwiksz warto[ tej sumy. próbna grudzieD 2004 Zadanie 8. (6 pkt) 2n Dany jest cig (an) o wyrazie ogólnym an = n +1 a) Sprawdz, korzystajc z definicji, czy cig (an)jest cigiem arytmetycznym. b) Wyznacz wyraz ogólny cigu arytmetycznego (bn), wiedzc, |e pierwszy i trzeci wyraz cigu (bn) s odpowiednio równe pierwszemu i trzeciemu wyrazowi cigu (an). styczeD 2005 Zadanie 5. (4 pkt.) Inwestor chce uzyska w banku kredyt, który zamierza spBaci po czterech latach. Taki kredyt w banku A jest oprocentowany 12% w skali roku, a odsetki s dopisywane do dBugu co póB roku. Bank B oferuje oprocentowanie roczne 11% z roczn kapitalizacj odsetek, a przy zwrocie kredytu pobiera prowizj w wysoko[ci 4% kwoty udzielonego kredytu. OceD, która oferta jest korzystniejsza dla kredytobiorcy. styczeD 2005 Zadanie 9. (7 pkt.) Pitrowy tort przygotowany na bal maturalny skBadaB si z piciu warstw, z których ka|da miaBa ksztaBt walca. DBugo[ci promieni walców, wyra|one w cm byBy kolejnymi wyrazami cigu arytmetycznego o ró|nicy a = -5 . DBugo[ promienia podstawy [rodkowej warstwy tego tortu byBa równa 20 cm, a jej objto[ 3200À cm3 . Wszystkie warstwy wykonane byBy z tego samego rodzaju ciasta i miaBy jednakow wysoko[. Oblicz, ile mki nale|aBo przygotowa do wypieku caBego tortu, je|eli receptura przewiduje wykorzystanie 0,24 kg mki do wypieku warstwy [rodkowej. maj 2005 Zadanie 9. (6 pkt) RodzeDstwo w wieku 8 i 10 lat otrzymaBo razem w spadku 84100 zB. Kwot t zBo|ono w banku, który stosuje kapitalizacj roczn przy rocznej stopie procentowej 5%. Ka|de z dzieci otrzyma swoj cz[ spadku z chwil osignicia wieku 21 lat. {yczeniem spadkodawcy byBo takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszBo[ci obie wypBacone cz[ci spadku zaokrglone do 1 zB byBy równe. Jak nale|y podzieli kwot 84100 zB midzy rodzeDstwo? Zapisz wszystkie wykonywane obliczenia. maj 2005 Zadanie 2. (4 pkt) n + 2 Dany jest cig (an), gdzie an = dla n = 1,2,3... Wyznacz wszystkie wyrazy tego cigu 3n +1 1 wiksze od 2 maj 2005 Zadanie 4. (5 pkt) na trzech póBkach ustawiono 76 pByt kompaktowych. OkazaBo si ,|e liczby pByt na póBkach górnej, [rodkowej i dolnej tworz rosncy cig geometryczny. Na [rodkowej póBce stoj 24 pByty. Oblicz, i pByt stoi na póBce górnej, a ile pByt stoi na póBce dolnej. próbna grudzieD 2005 Zadanie 5. (5 pkt) NieskoDczony cig liczbowy (an) jest okre[lony wzorem an= 4n  31, n =1,2,3 Wyrazy ak, ak+l, ak+2 danego cigu (an), wzite w takim porzdku, powikszono: wyraz ak o 1, wyraz ak+l o 3 oraz wyraz ak+2 o 23. W ten sposób otrzymano trzy pierwsze wyrazy pewnego cigu geometrycznego. Wyznacz k oraz czwarty wyraz tego cigu geometrycznego. próbna grudzieD 2005 Zadanie 9. (7 pkt) Liczb naturaln tn nazywamy n -t liczb trójktn, je|eli jest ona sum n kolejnych, pocztkowych liczb naturalnych. Liczbami trójktnymi s zatem: t1 = 1, t2 =1 + 2= 3, t3 =1+2+3=6, t4 =1+2+3+4=10, t5 =1+2+3+4+5=15. Stosujc t definicj: a) wyznacz liczb t17. b) uBó| odpowiednie równanie i zbadaj, czy liczba 7626 jest liczb trójktn. c) wyznacz najwiksz czterocyfrow liczb trójktn. styczeD 2006 Zadanie 5. (3 pkt) Zauwa|, |e: 12= 1 2 2=1 +2 +1 32= 1 +2+ 3+ 2+ 1 42= 1+ 2+ 3+ 4+ 3+ 2+ 1 Stosujc wzór na sum kolejnych wyrazów cigu arytmetycznego uzasadnij, |e n2 =1+ 2+3+...+ (n-1)+ n+ (n-1)+...+3+ 2+1. styczeD 2006 Zadanie 7. (6 pkt) 5 - 3n Dany jest cig ( an) o wyrazie ogólnym an = , n =1,2,3,... . 7 a) Sprawdz na podstawie definicji, czy cig (an ) jest cigiem arytmetycznym. b) Oblicz, dla jakiej warto[ci x liczby a4 ,x 2+2,a11 s kolejnymi wyrazami tego samego cigu geometrycznego. maj 2006 Zadanie 4. (4 pkt) Dany jest rosncy cig geometryczny, w którym a1= 12, a3 = 27. a) Wyznacz iloraz tego cigu. b) Zapisz wzór, na podstawie którego mo|na obliczy wyraz an, dla ka|dej liczby naturalnej ne" l. c) Oblicz wyraz a6. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 2 (4 pkt.) Na wystawie owoców poBudniowych uBo|ono piramid z cytryn. Do uBo|enia piramidy wybrane zostaBy cytryny o jednakowej wadze 70 g. WierzchoBek piramidy to jedna cytryna, pod ni s 4 cytryny i w ka|dym kolejnym pitrze piramidy jest 4 razy wicej cytryn ni| w poprzednim. W piramidzie jest 6 piter. Oblicz, ile wa| cytryny w tej piramidzie. Wynik podaj w kilogramach i gramach. Kujon Polski 2007 Zadanie 4 (3 pkt) Liczby 2,8,17 s wyrazami pewnego cigu arytmetycznego (an). Pierwszym wyrazem tego cigu jest 2, a midzy wyrazami 8 i 17 stoi dokBadnie pi wyrazów. Oblicz, którym wyrazem tego cigu jest 8. Kujon Polski 2007 Zadanie 5 (5 pkt) Liczby x2 + 2x + 6, x + 2, x s kolejnymi wyrazami cigu geometrycznego. Oblicz iloraz tego cigu. cigi rozszerzony maj 2003 Zadanie 20. (6 pkt ) Udowodnij stosujc zasad indukcji matematycznej, |e dla ka|dego caBkowitego, dodatniego n zachodzi równo[: próbny propozycja Kraków 2004 Zadanie 4. (5 pkt) Wyraz pierwszy i iloraz cigu geometrycznego (an) s odpowiednio równe 1 i k2  4. Zbadaj, dla jakich warto[ci parametru k cig (bn) o wyrazie ogólnym bn= log2 an+1  log2 an, jest cigiem arytmetycznym. próbny propozycja Kraków 2004 Zadanie 5. (5 pkt) W nieskoDczonym cigu geometrycznym suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 36, za[ suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 12. Wyznacz ten cig. próbny propozycja Kraków 2004 Zadanie 13. (4 pkt) Przeczytaj twierdzenia. próbna listopad 2004 Zadanie 20. (7 pkt) Ró|nica cigu arytmetycznego (an) jest liczb mniejsz od 1. Wyznacz najmniejsz warto[ a1 Å" a49 wyra|enia wiedzc, ze a51 =1 a50 próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 16. (6 pkt) Iloczyn pitego i jedenastego wyrazu cigu geometrycznego (an) jest równy 4. Oblicz iloczyn pitnastu pocztkowych kolejnych wyrazów tego cigu. styczeD 2005 Zadanie 14. (7 pkt.) Dany jest cig liczbowy an = 3n2 - 3n + 2 okre[lony dla dowolnej liczby n " N+ . a) Wyka|, korzystajc z definicji monotoniczno[ci cigu, |e cig (an ) jest rosncy. b) Oblicz granic maj 2005 Zadanie 14.(5 pkt) próbna grudzieD 2005 Zadanie 15. (5 pkt) Dany jest nieskoDczony cig geometryczny postaci 2 2 2 2, , , ,L 2 3 p -1 -1) (p -1) (p Wyznacz wszystkie warto[ci p, dla których granic tego cigu jest liczba: a) 0. b) 2. próbna grudzieD 2005 Zadanie 19. (6 pkt) Korzystajc z zasady indukcji matematycznej udowodnij, |e ka|da liczba naturalna n e"5 speBnia nierówno[ 2n >n2 +n -1 . styczeD 2006 Zadanie 14. (4 pkt) Dany jest cig trójktów równobocznych takich, |e bok nastpnego trójkta jest wysoko[ci poprzedniego. Oblicz sum pól wszystkich tak utworzonych trójktów, przyjmujc, |e bok pierwszego trójkta ma dBugo[ a (a > 0) . styczeD 2006 Zadanie 20. (4 pkt) Cig (an ) okre[lony jest rekurencyjnie w nastpujcy sposób: Wyka|, korzystajc z zasady indukcji matematycznej, |e cig (an ) mo|na okre[li za pomoc wzoru ogólnego maj 2006 Zadanie 19. (7pkt) NieskoDczony cig geometryczny (an) jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: a1 = 2, an+1 = an log2(k  2), dla ka|dej liczby naturalnej n e"1 .Wszystkie wyrazy tego cigu s ró|ne od zera. Wyznacz wszystkie warto[ci parametru k, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskoDczonego cigu (an). maj 2006 Zadanie 12. (5 pkt) Korzystajc z zasady indukcji matematycznej wyka|, |e dla ka|dej liczby naturalnej n e" 1 2 2 2 2 prawdziwy jest wzór: 1Å" 3Å"(1!) + 2 Å" 4 Å"(2!) + L + n Å"(n + 2)Å"(n!) = [(n +1)!] -1 maj 2006 Zadanie 13. (5 pkt) 5n + 6 Dany jest cig (an), gdzie an = dla ka|dej liczby naturalnej n e" 1. 10(n +1) a) Zbadaj monotoniczno[ cigu (an) b) Oblicz n lima . n’!" c) Podaj najwiksz liczb a i najmniejsz liczb b takie, |e dla ka|dego n speBniony jest warunek a d" an d" b. próbna listopad 2006 Zadanie 10. (5 pkt) Cig liczbowy (an) jest okre[lony dla ka|dej liczby naturalnej ne"1 wzorem an=(n-3)(2-p2), gdzie p"R. a) Wyka|, |e dla ka|dej warto[ci p cig (an) jest arytmetyczny. b) Dla p=2 oblicz sum a20 +a21 +a22...+a40. c) Wyznacz wszystkie warto[ci p, dla których cig (bn) okre[lony wzorem bn =an  pn jest staBy. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 2 (3 pkt.) W ofercie sklepu wysyBkowego s buty o numerach od 36 do 46. Buty o numerze 36 kosztuj 54 zB. Cena ka|dej pary butów o numerze o 1 wikszym od poprzedniego jest o 1 zB 50 gr wiksza od ceny pary butów o numerze o 1 mniejszym. a) Oblicz, w zBotych i groszach, cen pary butów o numerze 44. b) Oblicz, o ile zBotych dro|sze s buty o numerze 46 od butów o numerze 36. Kujon Polski 2007 Zadanie 7 (8 pkt) Liczby(log2(x 1))2,log2(l x)2,1og28 s kolejnymi wyrazami rosncego cigu arytmetycznego. Oblicz x. funkcja wykBadnicza maj 2003 Zadanie 15. (5 pkt ) Dane s funkcje f, g i h okre[lone wzorami : f(x)= 2x, g(x)= -x, h(x)= x-2 , x"R. a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji . f°g c) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji h° f° g maj 2003 Zadanie 19. (4 pkt ) Funkcja f jest funkcj wykBadnicz. Okre[l liczb rozwizaD równania f(x-1)= m w zale|no[ci od warto[ci parametru m. Odpowiedz uzasadnij próbna listopad 2004 Zadanie 21. (5 pkt) x3 -4x2 + x+6 Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste speBniajce równanie (5 - x) = 1 próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 17. (5 pkt) x-2 ëø öø log3 ìø ÷ø x íø øø 1 Rozwi| nierówno[ ëø öø > 1 ìø ÷ø 5 íø øø maj 2006 Zadanie 20. (4 pkt) -2x2 -3x+2 2 1 ëø öø Dane s funkcje f(x) = 3x -5x i g(x) = ìø ÷ø 9 íø øø Oblicz, dla których argumentów x warto[ci funkcji f s wiksze od warto[ci funkcji g. funkcja logarytmiczna maj 2003 Zadanie 22. (10 pkt ) Rozwi| równanie log3(log9x)= log9(log3x) próbna przykBad Kraków 2004 Zadanie 2. (6 pkt) Zaznacz w ukBadzie wspóBrzdnych zbiór rozwizaD równania logx y =logy x próbna listopad 2004 Zadanie 13. (6 pkt) Wyznacz wszystkie warto[ci parametru m, dla których ka|da liczba speBniajca równanie: 1ogm2 (x- 1) + logm (x  1) 2 = O jest mniejsza od 3. maj 2005 Zadanie 11. (3 pkt) Wyznacz dziedzin funkcji f(x)= logx -3 (x3 +4x2  x 4) i zapisz j w postaci sumy 2 przedziaBów liczbowych. styczeD 2006 Zadanie 13. (5 pkt) Wyznacz dziedzin funkcji f(x )= logx (4x -12 .2x +32) próbna listopad 2006 Zadanie 3. (4 pkt) Na rysunku poni|ej przedstawiono wykres funkcji logarytmicznej .f. Rozwi| równanie (f(x)) 2  16 = O. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 7 (6 pkt.) Rozwi| równanie log6 + 2xlog 5 = log(1 + 4x)+ 2x funkcja trygonometryczna podstawowa próbna grudzieD 2004 Zadanie 5. (3 pkt) Sprawdz prawdziwo[ równo[ci: maj 2006 Zadanie 5. (3 pkt) Wiedzc, |e 00 d" ± d" 3600, sin± < O oraz 4tg± =3sin2 ± +3cos2 ± a) oblicz tg±, b) zaznacz w ukBadzie wspóBrzdnych kt ± i podaj wspóBrzdne dowolnego punktu, ró|nego od pocztku ukBadu wspóBrzdnych, który le|y na koDcowym ramieniu tego kta. Kujon Polski 2007 Zadanie 2 (3 pkt) 7cos2 ± - 3sin± cos± Dany jest tg± =-4. Oblicz 3sin± cos± - 4sin2 ± funkcja trygonometryczna rozszerzona maj 2003 Zadanie 17. (5 pkt ) Rozwi| równanie 2cos2x +5sinx-4 = 0. próbna listopad 2004 Zadanie 15. (4 pkt) Wyznacz najmniejsz i najwiksz warto[ funkcji okre[lonej wzorem: À f(x)=sin2x + cos(  2x). Odpowiedz uzasadnij. 6 styczeD 2005 Zadanie 13. (6 pkt.) 25 Oblicz sum wszystkich pierwiastków równania sin3x = ctg À , które speBniaj 2 nierówno[ |x - 5À| d" 5À . maj 2005 Zadanie 12. (4 pkt) Dana jest funkcja: f(x)=cosx 3 sinx, x" R. a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Rozwi| równanie: f(x) = 1. próbna grudzieD 2005 Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci (cosx .l)(cosx+ p+ l)=O gdzie p "R jest parametrem. a) Dla p= l wypisz wszystkie rozwizania tego równania nale|ce do przedziaBu <O ;5>. b) Wyznacz wszystkie warto[ci parametru p, dla których dane równanie ma w przedziale <-À,À> trzy ró|ne rozwizania. styczeD 2006 Zadanie 15. (4 pkt) Rozwi| równanie: maj 2006 Zadanie 14. (4 pkt) a) Naszkicuj wykres funkcji y = sin2x w przedziale <  2À,2À >. sin 2x b) Naszkicuj wykres funkcji y = w przedziale < 2À,2À> sin 2x sin 2x i zapisz, dla których liczb z tego przedziaBu speBniona jest nierówno[ <0 sin 2x próbna listopad 2006 Zadanie 7. (3 pkt) Wyznacz wszystkie rozwizania równania 2cos2 x = cosx nale|ce do przedziaBu <0,2À>. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 5 (6 pkt.) Wyka|, |e dla ka|dej liczby x" R prawdziwa jest nierówno[ |3 sin x +2 cos x | d" 13 Kujon Polski 2007Zadanie 3(7 pkt) Wyznacz wszystkie warto[ci parametru a " <0; 2 À>,dla których równanie (2x . sina  y  1)2 + (x  2y. sina  1 )4 = O nie ma rozwizaD. Kujon Polski 2007Zadanie 5 (4 pkt) x x Rozwi| równanie cos + cos = 2. 2 3 Geometria pBaska podstawowa maj 2003 Zadanie 9. (3 pkt ) Oblicz pole dziaBki rekreacyjnej, której plan przedstawiony jest na rysunku. ZakBadamy, |e kty ABC i ECD s ktami prostymi. próbna czerwiec Kraków 2004 Zadanie 4. (5 pkt) Na poni|szym rysunku przedstawiono równoramienny trójkt ABC (o podstawie AC) oraz 1 prostoktny równoramienny trójkt BDC (o podstawie BC). Uzasadnij, |e cos( "ACD)< 2 próbna czerwiec Kraków 2004 Zadanie 5. (4 pkt) W architekturze islamu czsto stosowanym elementem byB  Buk podkowiasty . Schemat okna w ksztaBcie takiego Buku (Buku okrgu) przedstawiono na rysunku poni|ej. Korzystajc z danych na rysunku oblicz wysoko[ okna h i najwikszy prze[wit d. próbna listopad 2004 Zadanie 5. (4 pkt) Wielko[ prostoktnego ekranu telewizora okre[la dBugo[ jego przektnej wyra|ona w calach. Oblicz , o ile procent zwikszymy powierzchni ekranu, je[li dBugo[ przektnej 21 cal powikszymy do 32 cali zachowujc stosunek dBugo[ci boków prostokta. Wynik podaj z dokBadno[ci do 0.1% próbny grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 9. (6 pkt) Szczyt S pewnej wie|y jest widoczny z powierzchni Ziemi pod ktem 150: (rysunek poni|ej) Po przej[ciu 60 metrów w kierunku tej wie|y (na rysunku odpowiada to drodze od punktu B do punktu A) szczyt S jest widoczny z powierzchni Ziemi pod ktem 450. UBó| odpowiednie równanie i oblicz wysoko[ tej wie|y. W obliczeniach przyjmij. |e tg150 =0.2679. Wynik koDcowy podaj z dokBadno[ci do 0.01 m. próbny grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 10. (4 pkt) W dowolnym trójkcie jest prawdziwe nastpujce twierdzenie (czasem nazywane twierdzeniem o podziale boku trójkta dwusieczn kta wewntrznego): Stosujc podane twierdzenie, oblicz dBugo[ci przyprostoktnych w trójkcie prostoktnym, w którym przeciwprostoktna ma dBugo[ 15 cm, za[ dwusieczna jednego z któw ostrych tego trójkta podzieliBa przyprostoktn w stosunku 1 : 3. Sporzdz odpowiedni rysunek. próbny grudzieD 2004 Zadanie 10. (7 pkt) W trapez prostoktny ABCD ( AD jest prostopadBy do AB ), którego podstawy maj dBugo[ci |AB| = 12 i |CD| = 6, wpisano koBo o [rodku S. a) Oblicz dBugo[ci ramion trapezu ABCD. b) Uzasadnij, |e trójkt BSC jest prostoktny. styczeD 2005 Zadanie 7. (5 pkt.) W okrg o [rodku O i promieniu R = 6 cm wpisano czworokt ABCD. Kty [rodkowe: "AOB, "BOC, "COD i "DOA maj odpowiednio miary : 45o , 150o ,135o i 30o . Oblicz pole czworokta ABCD. maj 2005 Zadanie 8. (6 pkt) Z kawaBka materiaBu o ksztaBcie i wymiarach czworokta ABCD (patrz na rysunek obok) wycito okrgB serwetk o promieniu 3 dni. Oblicz, ile procent caBego materiaBu stanowi jego niewykorzystana cz[. Wynik podaj z dokBadno[ci do 0,1procenta. próbna grudzieD 2005 Zadanie 8. (5 pkt) W kwadrat ABCD wpisano kwadrat EFGH  jak pokazano na poni|szym rysunku. Wiedzc, 2 |e AB = 1 oraz tangens kta AEH równa si oblicz pole kwadratu EFGH. 5 styczeD 2006 Zadanie 10. (8 pkt) W trapezie opisanym na okrgu kty przy dBu|szej podstawie maj miary 600 i 300 , a dBugo[ wysoko[ci tego trapezu jest równa 6. Sporzdz odpowiedni rysunek i oznacz jego elementy. Oblicz pole trapezu oraz dBugo[ci jego podstaw. maj 2006 Zadanie 6. (7pkt) PaDstwo Nowakowie przeznaczyli 26000 zB na zakup dziaBki. Do jednej z ofert doBczono rysunek dwóch przylegajcych do siebie dziaBek w skali 1:1000. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 35 zB. Oblicz, czy przeznaczona przez paDstwa Nowaków kwota wystarczy na zakup dziaBki P2. maj 2006 Zadanie 7. (5 pkt) Szkic przedstawia kanaB ciepBowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostoktem. Wewntrz kanaBu znajduje si rurocig skBadajcy si z trzech rur, ka|da o [rednicy zewntrznej 1 m. Oblicz wysoko[ i szeroko[ kanaBu ciepBowniczego. Wysoko[ zaokrglij do 0,0l m. próbna listopad 2006 Zadanie 2. (4 pkt) Dany jest kwadrat o boku dBugo[ci a. W prostokcie ABCD bok AB jest dwa razy dBu|szy ni| bok kwadratu, a bok AD jest o 2 cm krótszy od boku kwadratu. Pole tego prostokta jest o 12cm2 wiksze od pola kwadratu. Oblicz dBugo[ boku kwadratu. próbna listopad 2006 Zadanie 3. (5 pkt) Z prostokta o szeroko[ci 60 cm wycina si detale w ksztaBcie póBkola o promieniu 60 cm. Sposób wycinania detali ilustruje poni|szy rysunek. Oblicz najmniejsz dBugo[ prostokta potrzebnego do wycicia dwóch takich detali. Wynik zaokrglij do peBnego centymetra. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 3 (6 pkt.) Z kwadratowego kawaBka filcu wycina si jedn podkBadk okrgB o promieniu 2 cm i cztery podkBadki trójktne tak, jak na rysunku poni|ej. Oblicz z zaokrgleniem do 1 mm2 niewykorzystan powierzchni filcu. Kujon Polski 2007 Zadanie 1 (3 pkt) Dane s dwa prostokty ABCD i KLMN. W prostokcie KLMN bok KL jest o 50% krótszy ni| bok AB prostokta ABCD, a bok LM jest o 50% dBu|szy ni| bok BC prostokta ABCD. Oblicz, jakim procentem pola prostokta KLMN jest pole prostokta ABCD. Narysuj rysunek pomocniczy. Kujon Polski 2007 Zadanie 6 (5 pkt) Dany jest trójkt prostoktny ABC, w którym |AB|= 20, |AC|= l2, |BC|= 16, | "C|=900. Rozwa|amy zbiór wszystkich prostoktów CDEF wpisanych w ten trójkt tak, |e punkt D nale|y do boku AC, punkt E nale|y od boku AB i punkt F nale|y do boku BC. Oblicz wymiary prostokta o najwikszym polu. Kujon Polski 2007 Zadanie 7 (4 pkt) Dwa wielokty wypukle maj razem 12 boków i 19 przektnych. Oblicz liczb boków ka|dego z tych wieloktów. Kujon Polski 2007 Zadanie 7 Zadanie 8 (8 pkt) W trapezie o polu 24 cm 2i podstawach o dBugo[ci 8cm i 16cm suma któw przy dBu|szej podstawie jest ktem prostym. Oblicz obwód tego trapezu. geometria pBaska rozszerzona próbna propozycja Kraków 2004 Zadanie 14. ( 6 pkt) W trójkt prostoktny ABC o przyprostoktnych dBugo[ci |AC|= 3 i |AB|= 4 wpisany zostaB prostokt AFED w taki sposób, |e dwa boki prostokta zawarte s w przyprostoktnych trójkta, a wierzchoBek F le|y na przeciwprostoktnej trójkta (patrz rysunek). Udowodnij, |e najwiksze pole, jakie mo|e mie taki prostokt, jest równe 3. próbna listopad 2004 Zadanie 17. (5 pkt) Odcinki o dBugo[ciach: 2 3 , 3  3 , 3 2 s bokami trójkta. a) Wyznacz miar najwikszego kta tego trójkta i oblicz dBugo[ wysoko[ci poprowadzonej z wierzchoBka tego kta. b) Oblicz dBugo[ promienia okrgu opisanego na tym trójkcie. próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 18. (4 pkt) W trójkcie ABC, którego pole równa si 16., boki AC i BC maj dBugo[ci: |AC|= 5, |BC| = 8. Korzystajc z twierdzenia kosinusów oblicz dBugo[ boku AB. próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zdanie 21. (4 pkt) Udowodnij twierdzenie o podziale boku trójkta dwusieczn kta wewntrznego W dowodzie posBu| si twierdzeniem Ta1ea, wcze[niej jednak przedBu| odcinek AC do punktu przecicia si z prost równolegB do póBprostej CD i przechodzc przez punkt B. styczeD 2005 Zadanie 12. (4 pkt.) W trójkcie ABC, o kcie rozwartym przy wierzchoBku C dane s dBugo[ci boków |AC| = 5cm i |BC| = 12cm . Oblicz dBugo[ boku AB wiedzc, |e pole trójkta jest równe 24cm2 . próbna grudzieD 2005 Zadanie 17. (4 pkt) W trójkcie prostoktnym ABC ( " BCA = 90) dane s dBugo[ci przyprostoktnych: |BC| = a |CA| = b. Dwusieczna kta prostego tego trójkta przecina przeciwprostoktn AB w punkcie a Å" b D. Wyka|, |e dBugo[ odcinka CD jest równa Å" 2 a + b Sporzdz pomocniczy rysunek uwzgldniajc podane oznaczenia. próbna grudzieD 2005 Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary któw dowolnego czworokta wpisanego w okrg o promieniu R =5 2 wiedzc ponadto, |e jedna z przektnych tego czworokta ma dBugo[ 10, za[ iloczyn sinusów 3 wszystkich jego któw wewntrznych równa si . 8 styczeD 2006 Zadanie 18. (8 pkt) Punkty A = (7,8) i B = (-1,2) s wierzchoBkami trójkta ABC, w którym "BCA = 900 . a) Wyznacz wspóBrzdne wierzchoBka C, wiedzc, |e le|y on na osi OX. b) Napisz równanie obrazu okrgu opisanego na trójkcie ABC w jednokBadno[ci o [rodku w punkcie P = (1,0) i skali k = -2. maj 2006 Zadanie 16. (3 pkt) Obiekty A i B le| po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich któw i ich wyniki przedstawiono na rysunku. OdlegBo[ midzy obiektami B i C jest równa 400 m. Oblicz odlegBo[ w linii prostej midzy obiektami A i B i podaj wynik, zaokrglajc go do jednego metra. maj 2006 Zadanie 17. (6 pkt) Na okrgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dBu|szej podstawie AB CS 2 i krótszej CD. Punkt styczno[ci S` dzieli rami BC tak |e = SB 5 a) Wyznacz dBugo[ ramienia tego trapezu. b) Oblicz cosinus "CBD. próbna listopad 2006 Zadanie 4. (7 pkt) Trójkt prostoktny ABC, w którym |BCA| = 900 i |CAB| =300  jest opisany na okrgu o promieniu 3 Oblicz odlegBo[ wierzchoBka C trójkta od punktu styczno[ci tego okrgu z przeciwprostoktn. Wykonaj odpowiedni rysunek. próbna listopad 2006 Zadanie 12. (4 pkt) Dwa okrgi, ka|dy o promieniu 8, s styczne zewntrznie. Ze [rodka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego okrgu. Oblicz pole zacieniowanej figury (patrz rysunek). propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 1 (5 pkt.) Wyznacz i zaznacz na osi liczbowej zbiór tych wszystkich x, dla których liczby 4,7, |x + 2| mog by dBugo[ciami boków trójkta. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 6 (4 pkt.) DBugo[ci boków trójkta s kolejnymi wyrazami cigu arytmetycznego o ró|nicy 8. Jeden z któw tego trójkta ma miar 120°. Narysuj rysunek pomocniczy i oblicz pole tego trój kta. Kujon Polski 2007Zadanie 2 (4 pkt) Zrednica AB i ciciwa CD tego samego okrgu zawarte s w prostych równolegBych, których odlegBo[ jest równa 3 5 cm. Zrednica okrgu jest o 6cm dBu|sza od ciciwy. Oblicz pole trójkta równobocznego opisanego na tym okrgu. Kujon Polski 2007Zadanie 6 (3 pkt) W trójkcie równoramiennym, w którym |AC| = |BC| punkt D nale|y do boku AB i D `" A i D `" B. Wyka|, |e promieD koBa opisanego na trójkcie ADC jest równy promieniowi kola opisanego na trójkcie DBC. Geometria analityczna podstawowa próbna czerwiec Kraków 2004 Zadanie 9. (7 pkt) Punkty A ( 1,  2), B (2,  1), C (i, 2) s wierzchoBkami trójkta ABC. a. Oblicz dBugo[ odcinka AB. b. Napisz równanie prostej m, do której nale| punkty B i C. c. Napisz równanie prostej k prostopadBej do prostej m takiej, |e A " k. d. Uzasadnij, |e [rodek okrgu opisanego na trójkcie ABC nie nale|y do prostej k. próbna listopad 2004 Zadanie 9. (5 pkt) Opisz za pomoc ukBadu nierówno[ci zbiór wszystkich punktów nale|cych do trójkta ABC przedstawionego na rysunku. Oblicz pole tego trójkta. próbna listopad 2004 Zadanie 4. (4 pkt) Aby wyznaczy równanie symetralnej odcinka o koDcach A(- 1 ;4). B(3:-2) postpujemy w nastpujcy sposób: Postpujc w analogiczny sposób wyznacz równanie symetralnej odcinka o koDcach: C(4:6). D(6:-2). próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 7. (3 pkt) Aby wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB,. gdzie A( 1, 2) i B( 5, 6) mo|na skorzysta z nastpujcej wBasno[ci symetralnej: punkt S le|y na symetralnej odcinka AB wtedy i tylko wtedy , gdy |SA|=|SB|. próbna grudzieD 2004 Zadanie 3. (3 pkt) Równanie symetralnej odcinka AB, gdzie A = (2, 1), B = (4,3) mo|na otrzyma wykorzystujc wBasno[ symetralnej. Punkt M = (x, y) nale|y do symetralnej odcinka AB, je[li |MA| = |MB|, czyli W analogiczny sposób wyznacz równanie symetralnej odcinka CD. gdzie C = ( 4, 3), D=(0,  1). próbna grudzieD 2005 Zadanie 4. (6 pkt) W ukBadzie wspóBrzdnych s dane dwa punkty: A = ( 2,2) i B (4 4). a) Wyznacz równanie prostej AB. b) Prosta AB oraz prosta o równaniu 9x  6y  26 =O przecinaj si w punkcie C. Oblicz wspóBrzdne punktu C. c) Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB. próbna listopad 2006 Zadanie 5. (5 pkt) Dane s proste o równaniach 2x y 3=O i 2x 3y 7=O. a) Zaznacz w prostoktnym ukBadzie wspóBrzdnych na pBaszczyznie kt opisany ukBadem nierówno[ci b) Oblicz odlegBo[ punktu przecicia si tych prostych od punktu S = (3, 8). propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 5 (4 pkt.) Punkty A = ( 3,1) i C = (1,3) s przeciwlegBymi wierzchoBkami kwadratu ABCD. Oblicz pole tego kwadratu i napisz równanie prostej zawierajcej przektn BD. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 6 (5 pkt.) Dana jest parabola o równaniu y =  3x2 + 8x +3. Punkt A jest wierzchoBkiem tej paraboli, a punkty Bi C s jej punktami wspólnymi z osi x. Oblicz tangens kta ACB. Kujon Polski 2007 Zadanie 3 (7 pkt) Boki trójkta ABC zawarte s w prostych o równaniach: y=5, x + y 2=0,  x+2y+2=0. a) Narysuj trójkt ABC w prostoktnym ukBadzie wspóBrzdnych i oblicz jego pole. b) Opisz trójkt ABC za pomoc ukBadu trzech nierówno[ci liniowych. c) Napisz równanie symetralnej najkrótszego boku trójkta ABC. Geometria analityczna rozszerzona maj 2003 Zadanie 14. (4 pkt ) Odcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednokBadno[ci o skali k<0. Wiedzc, |e , A(-2,0), B(0,-2), C(3,4), D(7,0) . Wyznacz: a) równanie prostej przechodzcej przez punkt A i jego obraz w tej jednokBadno[ci, b) równanie prostej przechodzcej przez punkt B i jego obraz w tej jednokBadno[ci, c) wspóBrzdne [rodka tej jednokBadno[ci. próbna przykBad Kraków 2004 Zadanie 3. ( 4 pkt) Zrodek masy ukBadu dwóch punktów materialnych A, B o masach równych odpowiednio m1, m2 to taki punkt S, |e m1 SA + m2 SB = 0 . Korzystajc z powy|szej definicji wyznacz wspóBrzdne [rodka masy ukBadu dwóch punktów materialnych A( 3,4), B(7,- 1) o masach odpowiednio równych 3 i 2. próbna przykBad Kraków 2004 Zadanie 6. (7 pkt) Boki trójkta zawarte s w prostych o równaniach: y 2=O, x y 2=0, x 2y+4=0. Wyznacz równanie okrgu opisanego na tym trójkcie. próbna listopad 2004 Zadanie 14. (3 pkt) ab Wyka|, |e je[li a`" b to równanie x2+y2+ax+by + = 0 jest równaniem okrgu. Wyznacz 2 wspóBrzdne [rodka i dBugo[ promienia tego okrgu. styczeD 2005 Zadanie 17. (5 pkt.) Okrg o1 okre[lony jest równaniem: x2 + y2 - 4x + 6y + 9 = 0 . a) Napisz równanie okrgu o2 wspóB[rodkowego z okrgiem o1, przechodzcego przez punkt A = (6;0). b) Oblicz pole pier[cienia koBowego ograniczonego okrgami o1 i o2 . maj 2005 Zadanie 18. (8 pkt) Pary liczb (x, y) speBniajce ukBad równaD: s wspóBrzdnymi wierzchoBków czworokta wypukBego ABCD. a) Wyznacz wspóBrzdne punktów: A, B, C, D. b) Wyka|, |e czworokt ABCD jest trapezem równoramiennym. c) Wyznacz równanie okrgu opisanego na czworokcie ABCD. maj 2005 Zadanie 15. (4 pkt) W dowolnym trójkcie ABC punkty Mi N s odpowiednio [rodkami boków AC i BC (Rys. 1). próbna listopad 2006 Zadanie 6. (4 pkt) Podstawa AB trapezu ABCD jest zawarta w osi Ox, wierzchoBek D jest punktem przecicia 1 paraboli o równaniu y = - x2 + x + 6 z osi Oy. PozostaBe wierzchoBki trapezu równie| le| 3 na tej paraboli (patrz rysunek). Oblicz pole tego trapezu. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 4 (7 pkt.) Punkty A = ( 5,1), B (0,1), C = (0,13) s wierzchoBkami trójkta. Wyznacz równanie okrgu wpisanego w ten trójkt. Sporzdz rysunek. Kujon Polski 2007 Zadanie 4 (6 pkt) Napisz równania stycznych do okrgu o równaniu x2+y2=9, prostopadBych do prostej l opisanej równaniem 3x-4y+5=0. Analiza maj 2003 Zadanie 12. (5 pkt ) Sprawdz, czy funkcja f okre[lona wzorem jest cigBa w punktach x =1 i x =2 . SformuBuj odpowiedz. maj 2003 Zadanie 18. (5 pkt ) W tabeli podane s warto[ci funkcji f: (-3,4)’!R dla trzech argumentów. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f. a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odcitej .x= 0 b) Wyznacz ekstremum funkcji f. Podaj argument, dla którego funkcja f osiga ekstremum. c) Podaj najmniejsz warto[ funkcji f. próbna propozycja Kraków 2004 Zadanie 8. ( 6 pkt) Dana jest funkcja f okre[lona wzorem f(x)= x4 + x3 7x + 7. Uzasadnij, |e funkcja f przyjmuje tylko warto[ci dodatnie, postpujc wedBug podanej instrukcji: " oblicz pochodn funkcji f; " wyznacz miejsce zerowe pochodnej funkcji f; " zbadaj znak pochodnej funkcji f; " wyznacz ekstremum funkcji f i okre[l jego rodzaj; " wyznacz najmniejsz warto[ funkcji f; " sformuBuj odpowiedz. próbna propozycja Kraków 2004 Zadanie 12. (5 pkt) Znajdz równanie stycznej do krzywej o równaniu y= x3 w punkcie o wspóBrzdnych (1, 1). Wyznacz wspóBrzdne punktów wspólnych tej stycznej z dan krzyw. próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 20. (9 pkt) x2 Dana jest funkcja f (x) = oraz prosta l nachylona do osi Ox pod ktem , którego sinus x -1 jest równy 0,6. a. oblicz wspóBczynnik kierunkowy prostej l. b. Zbadaj, ile jest stycznych do wykresu funkcji f równolegBych do prostej l. styczeD 2005 Zadanie 15. (7 pkt.) Funkcja f dana jest wzorem f (x)= x3 - 6x2 + c dla x " R i c"R. a) Wyznacz najwiksz i najmniejsz warto[ funkcji f w przedziale <-1,3> , wiedzc, |e f(0) = 8. b) Wyznacz przedziaBy monotoniczno[ci funkcji f. maj 2005 Zadanie 19. (10 pkt) 1 Dane jest równanie: x2 +(m -5)x +m2 +m+ = O. 4 Zbadaj, dla jakich warto[ci parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje warto[ najmniejsz. Wyznacz t warto[. próbna grudzieD 2005 zadanie 12. ( 5 ) Powy|szy rysunek przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej W(x) stopnia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu s liczby ( 2) oraz 1, a pochodna W`( 2)=18. a) Wyznacz wzór wielomianu W(x). b) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie o odcitej x=3. styczeD 2006 Zadanie 17. (5 pkt) Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f. a) Podaj maksymalne przedziaBy, w których funkcja f jest malejca. b) Wyznacz warto[ x, dla której funkcja f osiga maksimum lokalne. Odpowiedz uzasadnij. c) Wiedzc, |e punkt A = (1,2) nale|y do wykresu funkcji f , napisz równanie stycznej do krzywej f w punkcie A. maj 2006 Zadanie 21. (5 pkt) W trakcie badania przebiegu zmienno[ci funkcji ustalono, |e funkcja f ma nastpujce wBasno[ci: jej dziedzin jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, f jest funkcj nieparzyst, f jest funkcj cigB oraz: f `(x)<O dla x"( 8, 3), f `(x) >O dla x "( 3, 1), f `(x)<O dla x"( l,0), f `( 3) = f `( l) = 0, f( 8) =0, f( 3)=  2, f( 2) =0, f( l)=1. W prostoktnym ukBadzie wspóBrzdnych na pBaszczyznie naszkicuj wykres funkcji f w przedziale < 8, 8>, wykorzystujc podane powy|ej informacje o jej wBasno[ciach. próbna listopad 2006 Zadanie 8. (4 pkt) UczeD analizowaB wBasno[ci funkcji f której dziedzin jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i która ma pochodn f `(x) dla ka|dego x " R. Wyniki tej analizy zapisaB w tabeli. Niestety, wpisujc znaki pochodnej, popeBniB jeden bBd. a) Przekre[l bBdnie wpisany znak pochodnej i wstaw obok prawidBowy. b) Napisz, czy po poprawieniu bBdu w tabeli, zawarte w niej dane pozwol okre[li dokBadn liczb miejsc zerowych funkcji f. Uzasadniajc swoj odpowiedz mo|esz naszkicowa przykBadowe wykresy funkcji. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 3 (4 pkt.) Wyka|, |e je|eli x> 1 to x2006 - 1 > 2006(x  1). Kujon Polski 2007 Zadanie 9 (5 pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f okre[lonej na R, parzystej i okresowej o okresie podstawowym równym 4. a)Narysuj wykres funkcji f dla x "< 6;2>, b)Oblicz f(3À), c) Rozwi| równanie f(x) = 1. d) Oblicz f (2007). stereometria podstawowa maj 2003 Zadanie 11. (4 pkt ) Podstaw prostopadBo[cianu ABCDA1B1C1D1 jest prostokt o bokach dBugo[ci : |AD|=3 i |AB| =6. Wysoko[ prostopadBo[cianu ma dBugo[ równ 6. Uzasadnij, za pomoc rachunków, |e trójkt ABD1 jest prostoktny. próbna listopad 2004 Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz, miar kta midzy [cian boczn i pBaszczyzn podstawy ostrosBupa prawidBowego sze[cioktnego wiedzc. |e pole jego podstawy jest równe 6 3 a pole powierzchni bocznej ostrosBupa jest równe 12. Sporzdz rysunek i zaznacz na nim szukany kt. Próbna listopad 2004 Zadanie 8. (4 pkt) Metalow ku1 o promieniu dBugo[ci 10 cm oraz. so|ck, w którym [rednica i wysoko[ maj odpowiednio 16 cm i 12cm, przetopiono. Nastpnie z otrzymanego metalu wykonano walec o 8 3 [rednicy cm Oblicz wysoko[ tego walca. 3 próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 11. ( 6 pkt) Dany jest ostrosBup prawidBowy czworoktny, którego wszystkie krawdzie maj dBugo[ a. a. Sporzdz rysunek tego ostrosBupa i zaznacz na nim kt nachylenia [ciany bocznej do pBaszczyzny podstawy. Oznacz ten kt jako ±. Oblicz kosinus kta ±, a nastpnie. korzystajc z odpowiednich wBasno[ci funkcji kosinus, uzasadnij, |e ±< 6O0 b. Wyznacz dBugo[ wysoko[ci tego ostrosBupa oraz jego objto[. próbna grudzieD 2004 Zadanie 11. (6 pkt) DBugo[ wysoko[ci ostrosBupa prawidBowego czworoktnego jest równa dBugo[ci promienia okrgu opisanego na podstawie. Pole [ciany bocznej tego ostrosBupa jest równe 18 3 a) Oblicz objto[ tego ostrosBupa. b) Zaznacz na rysunku kt nachylenia [ciany bocznej do pBaszczyzny podstawy danego ostrosBupa i oblicz cosinus tego kta. próbna grudzieD 2005 Zadanie 10. (7 pkt) Pole powierzchni caBkowitej prawidBowego ostrosBupa trójktnego równa si 144 3 , a pole jego powierzchni bocznej 96 3 . Oblicz objto[ tego ostrosBupa. maj 2005 Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosBupie czworoktnym prawidBowym wysoko[ci przeciwlegBych [cian bocznych poprowadzone z wierzchoBka ostrosBupa maj dBugo[ci h i tworz kt o mierze 2± .Oblicz objto[ tego ostrosBupa. styczeD 2006 Zadanie 8. (6 pkt) Wysoko[ walca jest o 6 wiksza od [rednicy jego podstawy, a pole jego powierzchni caBkowitej jest równe 378À . Oblicz objto[ walca. maj 2006 Zadanie 9. (6 pkt) Dach wie|y ma ksztaBt powierzchni bocznej ostrosBupa prawidBowego czworoktnego, którego krawdz podstawy ma dBugo[ 4 m. Sciana boczna tego ostrosBupa jest nachylona do pBaszczyzny podstawy pod ktem 60° a) Sporzdz pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielko[ci. b) Oblicz, ile sztuk dachówek nale|y kupi, aby pokry ten dach, wiedzc, |e do pokrycia 1 m potrzebne s 24 dachówki. Przy zakupie nale|y doliczy 8% dachówek na zapas. próbna listopad 2006 Zadanie 7. (6 pkt) W graniastosBupie prawidBowym czworoktnym przektna podstawy ma dBugo[ 8 cm i tworzy z przektn [ciany bocznej, z któr ma wspólny wierzchoBek kt, którego cosinus 2 jest równy . Oblicz objto[ i pole powierzchni caBkowitej tego graniastosBupa. 3 propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 10 (5 pkt.) Na pomalowanie kuli potrzeba o 20% wicej farby ni| na pomalowanie tak sam farb sze[ciennej kostki o dBugo[ci przektnej 5 3 cm. Oblicz z zaokrgleniem do 1 cm3 objto[ kuli. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 11 (5 pkt.) Dany jest zbiór wszystkich graniastosBupów prawidBowych sze[cioktnych, których suma dBugo[ci wszystkich krawdzi jest równa 480 cm. Oblicz wymiary graniastosBupa nale|cego do tego zbioru, który ma najwiksze pole powierzchni bocznej. stereometria rozszerzona maj 2003 Zadanie 21. (8 pkt ) W trójkcie ABC dane s : |AC|=8, |BC|=3, | "ACB|=60°. Oblicz objto[ i pole powierzchni caBkowitej bryBy powstaBej po obrocie trójkta ABC dookoBa boku BC. próbna propozycja Kraków 2004 Zadanie 9. (4 pkt) ProstopadBo[cian ABCDEFGH ma wysoko[ równ 10, a jego podstawa jest kwadratem o boku dBugo[ci 4. Oblicz pole przekroju tego prostopadBo[cianu pBaszczyzn KLM wiedzc, |e |AK|=1, |BL| = |DM|= 3 próbna listopad 2004 Zadanie 18. (6 pkt) . Podstawa ostrosBupa jest prostokt o polu 9dm2 . Dwie [ciany boczne ostrosBupa s prostopadBe do pBaszczyzny podstawy, a dwie pozostaBe [ciany boczne s nachylone do À À pBaszczyzny podstawy pod ktami i 3 6 a) Sporzdz rysunek ostrosBupa i zaznacz na nim dane kty. b) Oblicz objto[ ostrosBupa próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 19, ( 3pkt) pole powierzchni caBkowitej sto|ka jest trzy razy wiksze od pola jego podstawy. Oblicz miar kta rozwarcia sto|ka . styczeD 2005 Zadanie 18. (7 pkt.) Do salaterki wlano rozpuszczon galaretk, która po zastygniciu przybraBa ksztaBt sto|ka [citego. Przekrój osiowy tej bryBy byB trapezem równoramiennym o wysoko[ci 6 cm i podstawach dBugo[ci 14 cm i 26 cm. Oblicz objto[ wlanego pBynu. W obliczeniach przyjmij, |e À H" 3,14 , a wynik podaj z dokBadno[ci do 1cm3 maj 2005 Zadanie 16. (5 pkt) Sze[cian o krawdzi dBugo[ci a przecito pBaszczyzn przechodzc przez przektn À podstawy i nachylon do pBaszczyzny podstawy pod ktem . Sporzdz odpowiedni 3 rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju. styczeD 2006 Zadanie 19. (6 pkt) Dany jest ostrosBup prawidBowy trójktny, w którym dBugo[ krawdzi podstawy jest równa a. Kt midzy krawdzi boczn i krawdzi podstawy ma miar 45°. OstrosBup przecito pBaszczyzn przechodzc przez krawdz podstawy i [rodek przeciwlegBej jej krawdzi bocznej. Sporzdz rysunek ostrosBupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju. maj 2006 Zadanie 18. (7 pkt) W[ród wszystkich graniastosBupów prawidBowych trójktnych o objto[ci równej 2 m3 istnieje taki, którego pole powierzchni caBkowitej jest najmniejsze. Wyznacz dBugo[ci krawdzi tego grani graniastosBupa. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 10 (5 pkt.) Podstaw graniastosBupa prostego jest prostokt, którego jeden z boków ma dBugo[ 10. Przektna tego graniastosBupa o dBugo[ci 20 tworzy z pBaszczyzn podstawy graniastosBupa kt o mierze 50°. Oblicz objto[ tego graniastosBupa. Sporzdz rysunek pomocniczy. Kujon Polski 2007 Zadanie 10 (6 pkt) W ostrosBupie prawidBowym czworoktnym krawdz boczna tworzy z krawdzi podstawy 1 kt, którego kosinus jest równy . Oblicz tangens kta miedzy [cian boczn i pBaszczyzn 3 podstawy. Sporzdz rysunek pomocniczy. Rachunek prawdopodobieDstwa podstawowy maj 2003 Zadanie 10. (2 pkt ) Kupujc los loterii mo|na wygra nagrod gBówn, któr jest zestaw pByt kompaktowych lub jedn z 10 nagród ksi|kowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieDstwo wygrania 1 nagrody ksi|kowej jest równe . Oblicz, ile jest losów pustych. 7 próbny listopad 2004 zadanie 10. (6 pkt) W pudeBku znajduj si |etony . W [ród nich jest 6 |etonów o nominale 5 zB oraz n |etonów o nominale 10 zB. Losujemy z pudeBka dwa |etony. PrawdopodobieDstwo zdarzenia 1 polegajcego na wylosowaniu obu |etonów o nominale 10 zB jest równe . Oblicz n 2 próbny grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 8. (4 pkt) Dane s dwie ró|ne proste równolegBe k.,l. Zbiór A skBada si z 7 punktów, spo[ród których 4 le| na prostej k i 3 le|a na prostej l. Oblicz. ile jest: a. odcinków niezerowych. których oba koDce nale| do zbioru A. b. trójktów. których wszystkie wierzchotki nale| do zbioru A. próbny grudzieD 2004 Zadanie 4. (3 pkt) O[miu uczniów, w[ród których s Ola i Janek, ustawiBo si losowo w kolejce do sklepu. Oblicz prawdopodobieDstwo zdarzenia, polegajcego na tym, |e Ola i Janek nie stoj obok siebie. Wyniki przedstaw w postaci nieskracalnego uBamka zwykBego. próbny grudzieD 2005 Zadanie 6. (4 pkt) Do szkolnych zawodów szachowych zgBosiBo si 16 uczniów, w[ród których byBo dwóch faworytów. Organizatorzy zawodów zamierzaj losowo podzieli szachistów na dwie jednakowo liczne grupy eliminacyjne, Niebiesk i {óBt. Oblicz prawdopodobieDstwo zdarzenia polegajcego na tym, |e faworyci tych zawodów nie znajd si w tej samej grupie eliminacyjnej. KoDcowy wynik obliczeD zapisz w postaci uBamka nieskracalnego. maj 2005 Zadanie 1. (3pkt) W pudelku s trzy kule biaBe i pi kul czarnych. Do pudelka mo|na albo doBo|y jedn kul biaB albo usun z niego jedn kul czarn, a nastpnie wylosowa z tego pudeBka jedn kul. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli biaBej jest bardziej prawdopodobne? Wykonaj odpowiednie obliczenia. styczeD 2006 Zadanie 2. (3 pkt) Po Wiadomo[ciach z kraju i ze [wiata telewizja TVG ma nada pi reklam: trzy reklamy ró|nych proszków do prania oraz dwie reklamy ró|nych past do zbów. Kolejno[ nadawania reklam jest ustalona losowo. Oblicz prawdopodobieDstwo, |e dwie reklamy produktów tego samego rodzaju nie bd nadane bezpo[rednio jedna po drugiej. Wynik podaj w postaci nieskracalnego uBamka zwykBego. maj 2006 Zadanie 2. (3 pkt) W wycieczce szkolnej bierze udziaB 16 uczniów, w[ród których tylko czworo ma okolic. Wychowawca chce wybra w sposób losowy 3 osoby, które maj pój[ do sklepu. Oblicz prawdopodobieDstwo tego, |e w[ród wybranych trzech osób bd dokBadnie dwie majce okolic. próbna listopad 2006 Zadanie 6. (5 pkt) W urnie znajduj si kule z kolejnymi liczbami 10, 11, 12, 13, ... 50, przy czym kul z liczb 10 jest 10, kul z liczb 11 jest 11 itd., a kul z liczb 50 jest 50. Z urny tej losujemy jedn kul. Oblicz prawdopodobieDstwo, |e wylosujemy kul z liczb parzyst. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 7 (4 pkt.) Losy na loteri oznaczone s jedn z liter ze zbioru {A,B,C,D} i liczb trzycyfrow o cyfrach ze zbioru {O,1,2,3,4,5,6,7}.Wygrywaj wszystkie losy na których jest litera A i dowolna liczba lub litera C i liczba podzielna przez 25. a) Oblicz ile jest wszystkich losów na tej loterii. b) Oblicz, ile jest wszystkich wygrywajcych losów na tej loterii. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 9 (5 pkt.) W pewnej szkole s dwie klasy trzecie, których skBad osobowy przedstawiony jest w tabeli. Z ka|dej klasy wybieramy losowo jedn osob. Opisz zbiór wszystkich zdarzeD elementarnych tak, by otrzyma model klasyczny. Oblicz prawdopodobieDstwo, |e zostanie wybrany chBopiec i dziewczynka. Wynik przedstaw w postaci uBamka nieskracalnego. Kujon Polski 2007 Zadanie 10 (5 pkt) Z klasy, w której jest 18 dziewczynek i 10 chBopców, wychowawca postanowiB wybra w sposób losowy trzyosobow delegacj. Okre[l zbiór wszystkich zdarzeD elementarnych tak, by otrzyma model klasyczny. Oblicz prawdopodobieDstwo, |e w skBad delegacji wejdzie co najmniej jeden chBopiec i co najmniej jedna dziewczynka. Wynik podaj w postaci nieskracalnego uBamka zwykBego. Rachunek prawdopodobieDstwa rozszerzony maj 2003 Zadanie 13. (3 pkt ) Niech &! bdzie zbiorem wszystkich zdarzeD elementarnych i A‚" &!, B‚" &! . Oblicz P(A)"B) 5 1 3 wiedzc, |e P ( A *"B)= , P(A)= , P(B2 )= . Sprawdz, czy zdarzenia A i B s 8 2 4 zdarzeniami niezale|nymi ? maj 2003 Zadanie 16. (5 pkt ) Zawierajc w kolekturze Toto-Lotka jeden zakBad w grze  Expres-Lotek zakre[lamy 5 spo[ród 42 liczb. Oblicz prawdopodobieDstwo trafienia co najmniej 4 spo[ród 5 wylosowanych liczb. Wynik podaj w zaokrgleniu do 0,00001. próbna propozycja Kraków 2004 Zadanie 11. (4 pkt) W pewnej miejscowo[ci we wrze[niu byBo 80% dni pogodnych i 20% dni deszczowych. a) Oblicz prawdopodobieDstwo, |e spo[ród trzech losowo wybranych dni wrze[nia wszystkie dni byBy deszczowe. b) Oblicz prawdopodobieDstwo, |e spo[ród trzech losowo wybranych dni wrze[nia przynajmniej jeden byB dniem pogodnym. próbna listopad 2004 Zadanie 19. (5 pkt) W pierwszej loterii jest n (n> 2) losów, w tym jeden los wygrywajcy. W drugiej loterii 2n losów, w tym dwa wygrywajce. W której z loterii nale|y kupi dwa losy, aby mie wiksz szans wygranej ? Odpowiedz uzasadnij. próbna grudzieD WrocBaw 2004 Zadanie 22. (3 pkt,) PrawdopodobieDstwa zdarzeD losowych A i B s równe: P(A) = 0.8 oraz P(B) = 0.5. Uzasadnij, |e prawdopodobieDstwo warunkowe P( A |B) jest nie mniejsze ni| 0.6. styczeD 2005 Zadanie 19. (6 pkt.) Krótki BaDcuch choinkowy skBada si z dwudziestu |arówek. Dla ka|dej z |arówek prawdopodobieDstwo, |e bdzie dziaBa przez co najmniej 300 godzin jest równe 0,9. a) Oblicz prawdopodobieDstwo tego, |e w krótkim BaDcuchu w cigu 300 godzin przepali si co najwy|ej jedna |arówka. W obliczeniach mo|esz przyj, |e (0,9)19 H" 0,14 . b) W skrzyni jest 6 BaDcuchów krótkich i 4 BaDcuchy dBugie. Do dekoracji choinki u|yto cztery losowo wybrane BaDcuchy. Oblicz prawdopodobieDstwo tego, |e do dekoracji u|yto dwóch BaDcuchów krótkich i dwóch BaDcuchów dBugich. próbna grudzieD 2005 Zadanie 14. (4 pkt) 5 7 Niech A, B C bd zdarzeniami losowymi, takimi |e P(A)= oraz P(B)= 12 11 Zbadaj, czy zdarzenia A i B s rozBczne. maj 2005 Zadanie 13. (4 pkt) Rzucamy n razy dwiema symetrycznymi sze[ciennymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich n prawdopodobieDstwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest 671 mniejsze od . 1296 styczeD 2006 Zadanie 16. (4 pkt) Para (&!, P) jest przestrzeni probabilistyczn, a A ‚" &! i B ‚" &! s zdarzeniami niezale|nymi. Wyka|, |e je|eli P(A *" B) = 1, to jedno z tych zdarzeD jest zdarzeniem pewnym tj. P(A) = 1 lub P(B) = 1. maj 2006 Zadanie 15. (4 pkt) Uczniowie doje|d|ajcy do szkoBy zaobserwowali, |e spóznienie autobusu zale|y od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli, |e w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóznienie zdarza si w 5% jego kursów, gdy prowadzi kierowca B w 20% jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w 50% jego kursów. W cigu 5-dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa razy kierowca B i jeden raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieDstwo spóznienia si szkolnego autobusu w losowo wybrany dzieD nauki. próbna listopad 2006 Zadanie 9. (3 pkt) Niech A ‚" &! i B ‚" &! bd zdarzeniami losowymi. Majc dane prawdopodobieDstwa zdarzeD: P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 i P(A\ B) = 0,3, zbadaj, czy A i B s zdarzeniami niezale|nymi. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 8 (3 pkt.) Do[wiadczenie losowe polega na 10 rzutach symetryczn sze[cienn kostk do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarzeD elementarnych tak, aby otrzyma model klasyczny. Oblicz prawdopodobieDstwo otrzymania dokBadnie dwa razy dwa oczka i dokBadnie trzy razy trzy oczka. Wynik przedstaw w postaci uBamka nieskracalnego. Kujon Polski 2007 Zadanie 8(4 pkt) Osiem osób, w[ród których s osoby X, Y, Z, ustawiamy losowo w szeregu. Opisz zbiór wszystkich zdarzeD elementarnych tak, aby otrzyma model klasyczny. Oblicz prawdopodobieDstwo, |e X nie bdzie stal obok Y i X nie bdzie stal obok Z, i Y nie bdzie stal obok Z. Wynik przedstaw w postaci uBamka nieskracalnego. Statystyka podstawowy maj 2003 Zadanie 3. (4 pkt ) Dane dotyczce wzrostu chBopców z klasy II B przedstawione s na diagramie. a) Oblicz [redni wzrost chBopców z klasy II B (podaj wynik dokBadny). b) Ilu chBopców z klasy II B ma wzrost wy|szy od [redniego? próbny listopad 2004 Zadanie 1. (4 pkt) Janek ma w tym semestrze nastpujce oceny i jzyka polskiego: 5, 5,3,4, 3, 3, 4. a) Oblicz [redni ocen Janka z jzyka polskiego. b) Oblicz wariancj odchylenie standardowe. Wynik podaj z. dokBadno[ci do 0.0 1 próbna grudzieD 2004 Zadanie 2. (4 pkt) W klasie III b pewnego liceum przeprowadzono ankiet na temat wysoko[ci tygodniowego kieszonkowego otrzymywanego od rodziców przez uczniów tej klasy. Wyniki ankiety przedstawia tabela: a) Oblicz [rednie tygodniowe kieszonkowe w klasie III b. b) Wyznacz median tygodniowego kieszonkowego. c) Oblicz wariancj tygodniowego kieszonkowego. styczeD 2005 Zadanie 10. (4 pkt.) WBa[ciciel sklepu spo|ywczego w przypadku ka|dego nowego produktu przeprowadza test polegajcy na tym, |e 50 losowo wybranych osób ocenia ten produkt w skali od 0 do 5 punktów, w trzech kategoriach: C  ceny, S  smaku, i W  wygldu opakowania. Nastpnie wBa[ciciel oblicza [redni wa|on z nastpujcych liczb: s1 -[redniej liczby punktów w kategorii C (z wag 5), s2 -[redniej liczby punktów w kategorii S (z wag 3) i s3 -[redniej liczby punktów w kategorii W (z wag 2). W przypadku gdy tak obliczona [rednia jest wiksza od 3 wBa[ciciel decyduje, |e towar bdzie sprzedawany w jego sklepie. Badania dotyczce nowego rodzaju kawy daBy nastpujce rezultaty: w kategorii W : W kategorii C obliczona [rednia byBa równa s1 = 2,42 , a w kategorii S s2 =4,32 . Oblicz s3 , oraz oceD czy w rezultacie przeprowadzonego testu wBa[ciciel sklepu zdecyduje si na sprzeda| nowego gatunku kawy. maj 2005 Zadanie 7. (5 pkt) W poni|szej tabeli przedstawiono wyniki sonda|u przeprowadzonego w grupie uczniów, dotyczcego czasu przeznaczanego dziennie na przygotowanie zadaD domowych. a) Naszkicuj diagram sBupkowy ilustrujcy wyniki tego sonda|u. b) Oblicz [redni liczb godzin, jak uczniowie przeznaczaj dziennie na przygotowanie zadaD domowych. c) Oblicz wariancj i odchylenie standardowe czasu przeznaczonego dziennie na przygotowanie zadaD domowych. Wynik podaj z dokBadno[ci do 0,0 1. styczeD 2006 Zadanie 4. (4 pkt) W pewnej firmie pracownicy zostali zaszeregowani do trzech grup uposa|eD. Liczb pracowników i pBace (w euro) w poszczególnych grupach przedstawia diagram sBupkowy: a) Wyznacz [redni pBac miesiczn w tej firmie. b) Oblicz wariancj i odchylenie standardowe miesicznej pBacy w tej firmie. Odchylenie standardowe podaj z dokBadno[ci do 0,1. maj 2006 Zadanie 3. (5 pkt) Kostka masBa produkowanego przez pewien zakBad mleczarski ma nominaln mas 20 dag. W czasie kontroli zakBadu zwa|ono 150 losowo wybranych kostek masBa. Wyniki badaD przedstawiono w tabeli. a) Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz [redni arytmetyczn oraz odchylenie standardowe masy kostki masBa. b) Kontrola wypada pozytywnie, je[li [rednia masa kostki masBa jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza 1 dag. Czy kontrola zakBadu wypadBa pozytywnie? Odpowiedz uzasadnij. próbna listopad 2006 Zadanie 9. (4 pkt) Nauczyciele informatyki, chcc wyBoni reprezentacj szkoBy na wojewódzki konkurs informatyczny, przeprowadzili w klasach I A I B test z zakresu poznanych wiadomo[ci. Ka|dy z nich przygotowaB zestawienie wyników swoich uczniów w innej formie. Na podstawie analizy przedstawionych poni|ej wyników obu klas: a) oblicz [redni wynik z testu ka|dej klasy, b) oblicz, ile procent uczniów klasy I B uzyskaBo wynik wy|szy ni| [redni w swojej klasie, c) podaj median wyników uzyskanych w klasie I A. propozycja gazety kwiecieD 2007 Zadanie 8 (3 pkt.) W jednej kolejce rozgrywek pierwszej ligi piBki no|nej odbywa si osiem spotkaD. W tabeli przedstawiono liczb strzelonych bramek w kolejnych meczach. Oblicz: median, [redni arytmetyczn i odchylenie standardowe tych danych. Kujon Polski 2007 Zadanie 9 (3 pkt) W czterorozdaniowym meczu bryd|a sportowego rozgrywanym systemem Pattona team, czyli dru|yna zBo|ona z czterech zawodników mo|e uzyska od 0 do 12 punktów. W tabeli przedstawiono wyniki teamu Marka w kolejnych 10 meczach. a) Oblicz median tych wyników, b) Oblicz [redni wynik tych meczów, c) Oblicz odchylenie standardowe tych wyników.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zadania do matury ustnej z języka angielskiego
Odpowiedzi do matury z fizyki maj 06?
2 3 1 Zadania do samodzielnego rozwiÄ…zania
5 3 1 Zadania do samodzielnego rozwiÄ…zania
Zadania do rozdzialu 10
zadania do wykonania
1 2 3 Pytania powtórzeniowe do matury z historii
mitologia do matury2
Zadanie do PIT 37
zadania do cwiczenia 4
zadania do samodzielnego rozwiÄ…zania
Powtórka do matury

więcej podobnych podstron