3226794636

5. CIAŁO

Ciałem nazywamy zbiór w którym są wykonalne cztery podstawowe działanie: dodawanie, odejmowanie (jako dodawanie elementu przeciwnego), mnożenie i dzielenie (jako mnoóenie przez element odwrotny), których rozważanie można ograniczyć do dodawania i mnożenia, def. 1

Ciało (ano. field) to struktura algebraiczna (K.0, ©, 0,1) z dwoma działaniami, tzw...dodawaniem " i .mnożeniem”, spełniającymi 10 poniższych aksjomatów:

(1)	Określoność działania:	A (a 0 b)G K a,be K
(2)	Łączność działania:	A (fl$l>)$£^,=a®(/i® c) a.b.ce K
(3)	Istnienie elementu neutralnego 0:	V A O0fl = A0() = fl 0 e K a e K
(4)	Istnienie elementu przeciwnego:	A V a 0 (-a) = (-a) 0 a = 0 ae K deK
(5)	Przemienność działania: A a 0 b =b 0 a a,be K (postulaty od (1) do (5) określają grupę przemienną (K.0.0))
(6)	Określoność działania:	A a GbeK a,be K
(7)	Łączność działania:	A (a © b) © c = a © (b © c) a.b.ce K
(8)	Istnienie elementu neutralnego 1:	V A l © « = « © l = « \eK ae K
(9)	Istnienie elementu odwrotnego:	A V a G) a ~^l = a ~^l ® a = 1

as K deK

(postulaty od (6) do (9) określają grupę (k\{0}.©. 1))

(10) Obustronna rozdzielność mnożenia względem dodawania:

A fl©(/>@c) = (fl v b) 0 (a © c) a (b 0 c) © a = (b v a) 0 (c © a)

a.b.ce K

(postulaty od (1) do (10) określają ciało (K.0.®. 0. D) (11) Przemienność działania:    A a © b =b © a

a,be K

(postulaty od (\)do{\\) określają ciało przemienne (K.0.©. 0. 1))

def. 2

Ciało to struktura algebraiczna (K.0.©.0.1) z dwoma działaniami, tzw. .,dodawaniem" i .mnożeniem ”, spełniającymi (dla dowolnych a, b,c e K) następujące aksjomaty:

(1)    zbiór K z dodawaniem (K.0. 0) jest grupą abelową (przemienną) z elementem neutralnym 0

(2)    zbiór K z mnożeniem (K.©.1) jest półgrupą abelową z jedynką = z elementem neutralnym 1.

(3)    zbiór K \ {0} z mnożeniem (K \ {0}.©, 1) jest grupą abelową z elementem neutralnym 1.

(4 ) mnożenie jest obustronnie rozdzielne względem dodawania:

«©(/»©c) = (a © b) 0 (a © c) a (D0c)®fl = (A0 a) 0 (c © a)

def. 3

Ciało to pierścień K z jednością 1. w którym jest spełniony dodatkowy aksjomat: dla każdego elementu a e K, a *0. istnieje element odwrotny (symetryczny) względem mnożenia a '.

Jeżeli pierścień K jest przemienny, to mamy ciało przemienne.

A. Pod.ci.alp.

Podciąłem (L.0. © , 0.1) ciała (K.0. © , 0,1) nazywamy podzbiór L ciała K (gdzie: L cK), który sam jest ciałem ze względu na istniejące w ciele działania.

Przykłady:

Zbiór liczb wymiernych jest podciąłem ciała liczb rzeczywistych. Zbiór liczb rzeczywistych jest podciąłem ciała liczb zespolonych będącego rozszerzeniem ciał liczb rzeczywistych.

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

-227 -

w w w.małemu tyka.sosnowiec.pl