3307665876

Naszym zadaniem jest estymacja parametru a, co realizujemy poprzez minimalizację wyrażenia

E ^wiS = E ^wK^z‘ - ^aXi)²-

W tym celu należy policzyć pierwszą pochodną i przyrównać ją do zera:

da

Y,‘Zw‘²i{Z_i-aXi){-X_i) = Q

E -2w?X,Zi + Y, 2w?aX? = 0

S,i w;XjZ,

EŁitifA?

Wracając do pierwotnych oznaczeń otrzymujemy

aj =

S.i «?g(£J M - A)² - y,]

(7)

EŁiW s²(M

Naszym celem jest zbadanie asymptotycznego rozkładu wyrażenia y/n(ai — a) przy założeniu prawdziwości Ho oraz lokalnych hipotez alternatywnych. Zadanie to jest ułatwione, ponieważ dodatkowy błąd r/i, który pojawia się przy skorzystaniu z estymatora 0, nie ma wpływu na ten rozkład, gdyż y/n{0 — 0) ma błąd rzędu O_p(l). Załóżmy lokalną hipotezę alternatywną

TT    T

Hi : a — -7=, \/n

którą formalnie można zapisać przekształcając równanie (2):

Hi : E{Yi) = Hi, Var(Yi) = im + ~j= • gdzie 7 = const.

\/n

Z dodatku A wynika, że jeżeli wagi w* są takie, że poniższe ciągi są zbieżne

lim -E»?9²W = Mi

lim — Ywjg^al = M₂

y/ń (dj - a) N ^0,

lub równoważnie

MjN

M₂y

y/na 1 —> Af y

pod warunkiem, że yfn(0 — 0) ma błąd rzędu O_p(l) przy założeniu Hi oraz, że <r². = Var_HQ(Si) = E„„(Y, - im)“ - 2E„₀(Y, - im)³ - /j² + IM,

6

(8)