4130649702

Przedmioty obowiązkowe 1. Algebra la [ALG 741]

Specjalność    N+T+Z Poziom    4    Status    O

L. godz. tyg.    2 W + 2    Ćw L. pkt.    5    Socr. Codę    11.1

Grupy: pojęcie grupy; przykłady grup; elementarne własności grup. Podgrupy; zbiory generatorów grup. Grupy cykliczne; rząd elementu grupy. Warstwy grupy względem podgrupy; twierdzenie Lagran-ge’a. Homomorfizmy grup; podgrupy normalne. Grupy ilorazowe; twierdzenie o homomorfiźmie. Grupy przekształceń; twierdzenie Cayley’a. Grupy permutacji; rozkład permutacji na cykle rozłączne; permuta-cje parzyste i nieparzyste. Automorfizmy grup. Centrum i komutant grupy.

Pierścienie: pojęcie pierścienia; przykłady pierścieni; własności działań w pierścieniach. Specjalne typy elementów pierścienia. Podpierścienie, podpierścień generowany przez zbiór. Pojęcie ideału; ideał generowany przez zbiór; ideały pierwsze i maksymalne. Homomorfizmy pierścieni. Pierścienie ilorazowe; twierdzenie o homomorfiźmie. Konstrukcja pierścienia wielomianów jednej zmiennej. Wartość wielomianu, pierwiastki wielomianu, funkcja wielomianowa. Wielomiany wielu zmiennych. Konstrukcja pierścienia ułamków względem podzbioru multypUkatywnego.

Ciała: pojęcie ciała; podciała, rozszerzenia ciał. Charakterystyka ciała; ciała proste, klasyfikacja ciał prostych.

Zaliczenie przedmiotu: zaliczenie ćwiczeń.

Literatura:

Podręczniki:

1.    A. Białynicki-Birula; Algebra. PWN, 1971.

2.    A. Białynicki-Birula; Zarys Algebry. PWN, 1987.

3.    J. Browkin; Teoria ciał. PWN, 1977.

4.    A. I. Kostrykin; Wstęp do algebry. PWN, 1984.

5.    S. Lang; Algebra. PWN, 1984.

6.    W. Więslaw; Grupy, pierścienie, ciała. Wyd. UW Wrocław 1979.

Zbiory zadań:

1 M. Bryński, L. Jurkiewicz; Zbiór zadań z algebry. PWN, 1981.

2.    A. I. Kostrykin (red. ); Zbiór zadań z algebry. PWN, 1995.

3.    J. Rutkowski; Zadania z algebry abstrakcyjnej. Wyd. UAM, Poznań 1996.

4.    K. Szymiczek; Zbiór zadań z teorii grup. PWN, 1989.

2. Algebra lb [ALG 741]

Specjalność    I    Poziom    4    Status    O

L. godz. tyg.    3    W + 3 ćw L. pkt.    6    Socr. Codę    11.1

Półgrupy i grupy: pojęcie półgrupy i grupy; przykłady półgrup i grup. Elementarne własności grup. Podgrupy; zbiory generatorów grup. Grupy cykliczne; rząd elementu grupy. Warstwy grupy względem podgrupy; twierdzenie Lagrange’a. Homomorfizmy grup; podgrupy normalne. Grupy ilorazowe; twierdzenie o homomorfiźmie. Grupy przekształceń; twierdzenie Cayley’a. Grupy permutacji; rozkład permutacji na cykle rozłączne; permutacje parzyste i nieparzyste. Automorfizmy grup. Centrum i komutant grupy. Homomorfizmy i izomorfizmy półgrup. Pólgrupa wolna i półgrupa abelowa wolna.

Działanie grupy na zbiorze, równanie klas, grupy permutacji przechodnie, regularne, wielokrotnie przechodnie, lemat Burnside’a. Informacje o grupy izometrii figur geometrycznych.

Teoria pierścieni: pojęcie pierścienia; przykłady pierścieni; własności działań w pierścieniach. Specjal-ne typy elementów pierścienia. Podpierścienie, podpierścień generowany przez zbiór. Pojęcie ideału; ideał generowany przez zbiór; ideały pierwsze i maksymalne. Homomorfizmy pierścieni. Pierścienie ilorazowe; twierdzenie o homomorfiźmie. Konstrukcja pierścienia wielomianów jednej zmiennej. Wartość wielomianu, pierwiastki wielomianu, funkcja wielomianowa. Pierścienie wielomianów wielu zmiennych, wielomiany symetryczne. Pierścienie półgrupowe. Konstrukcja pierścienia ułamków względem podzbioru multyplika-tywnego.

Teoria podzielności w pierścieniach: pierścienie z jednoznacznym rozkładem, pierścienie ideałów głównych, pierścienie euklidesowe, algorytm Euklidesa. Rozkład na czynniki w pierścieniach wielomianów, kryteria nierozkładalności.