545749733

Metody numeryczne - 2. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych

Metody numeryczne - 2. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych

^xn	^— al,n+l
W	+ ę? ^K- II .
	= a^1"'^15 ^un,n+1

Etap n. Po n — 1 krokach uzyskujemy układ równań w postaci trójkątnej: (a_ltxi + a₁₂x₂ + ••

który rozwiązujemy od ostatniego równania do pierwszego.

Przykład 2.2.

Wykorzystując metodę eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań:

{^xi + ^x2 ~ ^x3 ~ 3*4 =    1

^xi + x₃ + x₄ = 0 -x_t    -x, = -l

2x₁+x₂—x₃ + x₄ = — 1

Etap 1. Skoro a_xl ^ 0, to możemy przystąpić do eliminacji zmiennej x_x z równań 2 do 4. W tym celu od drugiego równania odejmujemy równanie 1, do trzeciego dodajemy to samo równanie, a od czwartego odejmujemy pierwsze równanie przemnożone przez stałą —2. W wyniku tych operacji uzyskujemy układ:

{x_x + x₂ — x₃ — 3x₄ = 1 —x₂ + 2x₃ + 4x₄ — —1 x₂ —x₃— 4x₄ = 0 —x₂ + x₃ + lx₄ = —3

Etap 2. Teraz a₂₂ =£ 0, wobec tego wykorzystujemy równanie drugie, by wyeliminować zmienną x₂ z dwóch ostatnich równań: do równania trzeciego dodajemy to równanie, a od czwartego je odejmujemy:

{Xi+ x₂ — x₃ — 3x₄ = 1 —x₂ + 2x₃ + 4x₄ = —1

^x3    =-l

—x₃ + 3x₄ = —2

Etap 3. Kolejny element na przekątnej jest różny od 0 w związku z czym do ostatniego wiersza dodajemy wiersz trzeci.

{x_x + x₂ — x₃ — 3x₄ = 1 —x₂ + 2x₃ + 4x₄ = -1

*3    = “I

3x₄ = -3

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 22