ÿþ1 . J a k a j e s t r ó |n i c a m i d z y c e c h s k o k o w i c i g B? p o d a p r z y k Ba d y k a |d e j z n i c h .
C e c h a i l o [c i o w a : s k o k o w a p r z y j m u j c a p e w n e w a r t o [c i l i c z b o w e i n i e p r z y j m u j c a w a r t o [c i p o [r e d n i c h c e c h a t a t e |
j e s t n a z y w a n a d y s k r e t n , p r z y k Ba d : i l o [ b a k t e r i i , p r a c o w n i k ó w , p a s a |e r ó w . c i g Ba p r z y j m u j c a w a r t o [c i z p e w n e g o
p r z e d z i a Bu l i c z b o w e g o p r z y k Ba d : w z r o s t , w a g a , p l o n .
2 . W y m i e n i t y p y c e c h i p o d a p o j e d n y m p r z y k Ba d z i e .
C e c h y j a k o [c i o w e ( o p i s o w e , n i e m i e r z a l n e ) p r z y j m u j c e w a r t o [c i n i e b d c e l i c z b a m i , n p . : k o l o r w Bo s ó w , p Be ,
s m a k o w i t o [, p o c h o d z e n i e s p o Be c z n e .
C e c h y i l o [c i o w e ( m i e r z a l n e ) : n p . : w z r o s t ( w c e n t y m e t r a c h ) , w i e k ( w l a t a c h ) , z a r o b e k ( w z Bo t ó w k a c h )
C e c h y s k o k o w e : n p . : l i c z b a s t u d e n t ó w w g r u p i e
C e c h y c i g Be : n p . : w a g a
3 . P o d a p r z y n a j m n i e j t r z y n a z w y r o z k Ba d ó w c e c h i j a k i e g o t y p u s t o c e c h y .
R o z k Ba d y c e c h s k o k o w y c h :
1 . R o z k Ba d z e r o j e d y n k o w y
2 . R o z k Ba d d w u m i a n o w y ( B e r n o u l l i e g o )
3 . R o z k Ba d P o i s s o n a
R o z k Ba d y c e c h c i g By c h :
4 . R o z k Ba d n o r m a l n y j e d n o i d w u w y m i a r o w y
5 . R o z k Ba d j e d n o s t a j n y
4 . P o d a z n a n e n a z w y r o z k Ba d u c e c h i j a k i e g o t y p u s t o c e c h y .
R o z k Ba d z e r o - j e d y n k o w y : P o d s t a w d o o k r e [l a n i a r o z k Ba d u z e r o - j e d y n k o w e g o j e s t d o [w i a d c z e n i e , k t ó r e g o r e z u l t a t e m
m o g b y d w a w z a j e m n i e w y k l u c z a j c e s i z d a r z e n i a l o s o w e . O z n a c z y j e m o |e m y j a k o A i z d a r z e n i e p r z e c i w n e A
n p . s t r z e l a j c d o c e l u t r a f i a m y ( A = 1 ) l u b n i e ( A = 0 ) . Z m i e n n a l o s o w a X m a t a k i r o z k Ba d , j e [l i p r z y j m u j e w a r t o [ A z
p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m 0 < p < 1 o r a z w a r t o [ A z p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m q = 1 - p . F u n k c j a p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
z m i e n n e j l o s o w e j m a p o s t a : P ( X = 1 ) = p , P ( X = 0 ) = p - 1 ; p "( 0 , 1 ) . D y s t r y b u a n t a z m i e n n e j l o s o w e j F ( X ) = { 0 , d l a
X < 0 ; 1 - p , d l a 0 = < X < 1 ; 1 , d l a X > = 1 } . W a r t o [ o c z e k i w a n a E ( X ) = 0 ( 1 - p ) + ( 1 p ) = p .
W a r i a n c j a D 2 ( X ) = ( 0 - p ) 2 ( 1 - p ) + ( 1 - p ) 2 p = p ( 1 - p ) .
R o z k Ba d d w u m i a n o w y : W y k o n u j e m y d o [w i a d c z e n i e , k t ó r e g o r e z u l t a t e m m o |e b y z d a r z e n i e A z P ( A ) = p l u b A z
P ( A ) = 1 - p . J e d n o z n i c h p r z u j m u j e s i z a s u k c e s d r u g i e j a k o p o r a |k . L i c z b s u k c e s ó w z a o b s e r w o w a n y c h w n
p r ó b a c h m o |e b y r ó w n a k = 1 , 2 , 3 , . . . , n . Z d a r z e n i e X = k z a c h o d z i , g d y w w y n i k u n - k r o t n e g o p o w t a r z a n i a d o [w i a d c z e n i a
z a o b s e r w u j e m y k - r a z y z d a r z e n i e A ( w i c n - k r a z y z d a r z e n i e A ) . P r a w d o p o d o b i e Ds t w o o t r z y m a n i a k s u k c e s ó w w
d o [w i a d c z e n i u p o w t a r z a n y m n r a z y ( s u m a p r a w d o p o d o b i e Ds t w t a k i c h k o m b i n a c j i , |e w y s t p u j e k r a z y A ) :
n
ëø öø
P ( X = k ) = ìø ÷ø p k ( 1 - p ) n - k .
k
íø øø
Z m i e n n a l o s o w a X m a t a k i r o z k Ba d , j e [l i p r z y j m u j e w a r t o [c i k = 0 , 1 , 2 , . . . , n z p r a w d o p o d o b i e Ds t w a m i o k r e [l o n y m i
w z o r e m :
n
ëø öø
F ( x ) = P ( X d" x ) = p k ( 1 - p ) n - k . W a r t o [ o c z e k i w a n a E ( X ) = n p - s u m a w a r t o [c i o c z e k i w a n y c h
ìø ÷ø
"
k
íø øø
k d"x
n i e z a l e |n y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h o r o z k Ba d a c h z e r o j e d y n k o w y c h ( p o j e d y n c z e d o [w i a d c z e n i a ) , D 2 ( X ) = n p ( 1 - p )
R o z k Ba d P o i s s o n a : z m i e n n a l o s o w a X p r z y j m u j c a w a r t o [c i k = 0 , 1 , 2 , . . . m a t a k i r o z k Ba d o p a r a m e t r z e », j e [l i j e j
»k
f u n k c j a p r a w d o p o d o b i e Ds t w a o p i s a n a j e s t w z o r e m : P ( X = k ) = e - » k = 0 , 1 , 2 , . . . , g d z i e » j e s t d o d a t n i s t a B ( »
k !
»k
> 0 ) . D y s t r y b u a n t r o z k Ba d u P o i s s o n a o k r e [l a w z ó r : F ( x ) = e - » . O p i e r a j c s i n a d e f i n i c j i w a r t o [c i
"
k !
k d"x
o c z e k i w a n e j i w a r i a n c j i z m i e n n e j l o s o w e j s k o k o w e j , d l a r o z k Ba d u P o i s s o n a o t r z y m u j e m y : E ( X ) = », D 2 ( X ) = ».
R o z k Ba d n o r m a l n y : Z m i e n n a l o s o w a m a r o z k Ba d n o r m a l n y N - ( µ , Ã2 ) o w a r t o [c i [r e d n i a j µ i w a r i a n c j i Ã2 , j e |e l i j e j
f u n k c j a g s t o [c i w y r a |a s i w z o r e m ( w p y t a n i u 1 4 ) .
5 . P o d a d w a p r z y k Ba d y c e c h w r o z k Ba d z i e d w u m i a n o w y m .
" 5 p r ó b t r a f i e n i a w t a r c z
" 1 0 p r ó b w y c i g n i c i a c z a r n e j k u l i z u r n y z a w i e r a j c e j k u l e c z a r n e i b i a Be ( z e z w r a c a n i e m )
6 . P o d a d w a p r z y k Ba d y c e c h w r o z k Ba d z i e n o r m a l n y m .
" W a g a o r a z w z r o s t o s o b n i k ó w j e d n o r o d n y c h p o p u l a c j i l u d z k i c h l u b z w i e r z c y c h .
" P l o n n a j e d n a k o w y c h p o l e t k a c h d o [w i a d c z a l n y c h .
" W y n i k o s i g a n y w b i e g u n a 1 0 0 m
7 . P o d a d w a p r z y k Ba d y c e c h w r o z k Ba d z i e P o i s s o n a .
" L i c z b a u s t e r e k w p r o d u k o w a n y c h u r z d z e n i a c h
" L i c z b a s k a z n a o k r e [l o n e j p o w i e r z c h n i m a t e r i a Bu
" L i c z b a b Bd ó w d r u k a r s k i c h n a j e d n e j s t r o n i e .
8 . Z m i e n n a l o s o w a X m a r o z k Ba d N ( 1 0 , 2 5 ) . O b l i c z y P { | X - 1 0 | = < 1 0 }
C e c h a X - ( µ , Ã2 ) m a r o z k k Ba d n o r m a l n y N - ( µ , Ã2 ) . Z p r a w a t r z e c h s i g m :
1
P { | X - µ | < Ã} = 0 , 6 8
P { | X - µ | < 2 Ã} = 0 , 9 5
P { | X - µ | < 3 Ã} = 0 , 9 9 7
X - N ( 1 0 , 2 5 ) ; µ = 1 0 , Ã= 5 z p r a w a t r z e c h s i g m :
P { | X - 1 0 | = < 1 0 } = P { | X - µ | < 2 Ã} = 0 , 9 5
9 . Z m i e n n a l o s o w a X m a r o z k Ba d N ( 1 0 , 2 5 ) . O b l i c z y P { | X - 1 0 | = < 5 }
N ( 1 0 , 2 5 ) , µ = 1 0 , Ã= 5
P { | X - 1 0 | = < 5 } = P { | X - µ | < Ã} = 0 , 6 8
1 0 . X ~ N ( 1 0 0 , 1 0 0 ) . I l e w y n o s i P { X T( 9 0 , 1 1 0 ) } ?
D y s t r y b u a n t a F ( X ) d l a s t a n d a r d o w e g o r o z k Ba d u j e s t s t a b l i c o w a n a . D l a x = < 0 z a c h o d z i F ( x ) = 1 - F ( - x ) . S t a n d a r y z a c j a .
J e |e l i X -
N ( µ , Ã2 ) , t o Z = ( X - µ ) / Ã- N ( 0 , 1 )
a
ëø - µ b - µ b
öø ëø - µ a - µ
öø ëø öø
P { X " ìø ' ÷ø} = F ìø ÷ø - F ìø ÷ø . P o d s t a w i a j c µ = 1 0 0 , Ã= 1 0 , a = 9 0 , b = 1 1 0 o t r z y m u j e m y
íø øø íø øø íø øø
´ ´ ´ ´
P { X "( - 1 , 1 ) } = F ( 1 ) - F ( - 1 ) = F ( 1 ) - 1 + F ( 1 ) = 2 F ( 1 ) - 1 = 2 ( 0 , 8 4 1 3 4 ) - 1 = 0 , 6 8 = 6 8 %
1 1 . X ~ N ( 1 2 0 , 6 4 ) . I l e w y n o s i P { X T( 1 0 4 , 1 3 6 ) } ?
N ( 1 2 0 , 6 4 ) ; P o d s t a w i a j c µ = 1 2 0 , Ã= 8 , a = 1 0 4 , b = 1 3 6 d o w z o r u z p y t . 1 0 o t r z y m u j e m y :
P { X "( 1 0 4 , 1 3 6 ) } = P { X "( - 2 , 2 ) } = F ( + 2 ) - F ( - 2 ) = F ( 2 ) - 1 + F ( 2 ) = 2 F ( 2 ) - 1 = 2 x 0 , 9 7 7 2 5 - 1 = 0 , 9 5 4 5 = 9 5 %
1 2 . C e c h a X m a r o z k Ba d N ( 1 2 , 1 6 ) . B e z u |y c i a t a b l i c o b l i c z y P { X T ( 8 , 1 6 ) } ?
µ = 1 2 , Ã= 4 , P { X "( 8 , 1 6 ) } = P { | X - 1 2 | = < 4 } = P { | X - µ | = < Ã} = 6 8 %
1 3 . C e c h a X m a r o z k Ba d N ( 1 2 , 1 6 ) . B e z u |y c i a t a b l i c o b l i c z y P { X T ( 4 , 2 0 ) } ?
µ = 1 2 , Ã= 4 , P { X "( 8 , 1 6 ) } = P { | X - 1 2 | = < 8 } = P { | X - µ | = < Ã} = 9 6 %
1 4 . W j a k i s p o s ó b m o |n a s p r a w d z i z a Bo |e n i e o n o r m a l n o [c i .
Z m i e n n a l o s o w a X m a r o z k Ba d n o r m a l n y , j e |l e i j e j f u n k c j a g s t o [c i w y r a |a s i w z o r e m :
1 x - µ
1 - ( ) 2
2 Ã
f µ Ã ( x ) = , - " < x < "
e
2
,
à 2
1 5 . W j a k i m c e l u s t o s u j e s i w p r a k t y c e u [r e d n i a n i e w a r t o [c i p e w n e j c e c h y .
D z i k i [r e d n i e j m o |e m y s p r a w d z i , c z y d a n a w a r t o [ c e c h y j e s t w z g l d n i e w i k s z a c z y m n i e j s z a n i | w r e s z c i e
p o p u l a c j i t z n . J e |e l i j a k a [ w a r t o [ j e s t p o w y |e j [r e d n i e j t o j e s t m n i e j w a r t o [c i w i k s z y c h w p o p u l a c j i , a w i c e j
m n i e j s z y c h . Zr e d n i a p o z w a l a t a k |e p r z e w i d z i e n a j b a r d z i e j p r a w d o p o d a b n y w y n i k n p . j e [l i [r e d n i a i l o [ t r a f i e D n a 1 0
w y n o s i 3 , t o g d y s z a c u j e m y i l e b d z i e t r a f i e D, n a j b a r d z i e j p r a w d o p o d o b n l i c z b t r a f i e D j e s t 3 .
1 6 . W y m i e n i r o z k Ba d y p o j a w i a j c e s i w e w n i o s k o w a n i u s t a t y s t y c z n y m , a z w i z a n e z r o z k Ba d e m n o r m a l n y m .
" R o z k Ba d P i s c o n a
" R o z k Ba d C h i k w a d r a t
" R o z k Ba d T - S t u d e n t a
1 7 . C o t o j e s t p o p u l a c j a ?
P o p u l a c j a z b i ó r o b i e k t ó w ( f i z y c z n y c h i n i e t y l k o ) z w y r ó |n i o n c e c h ( - a m i ) . J e [l i z b i ó r e l e m e n t ó w p o p u l a c j i j e s t
s k o Dc z o n y t o o k r e [l a m y j j a k o s k o Dc z o n n p . z b i o r o w o [ m i e s z k a Dc ó w P o l s k i , z b i o r o w o [ g o s p o d a r s t w r o l n y c h w
d a n y m w o j e w ó d z t w i e . J e [l i z b i ó r e l e m e n t ó w p o p u l a c j i j e s t n i e s k o Dc z o n y t o o k r e [l a m y j j a k o n i e s k o Dc z o n d o t y c z y
r a c z e j z j a w i s k n i | o b i e k t ó w m a t e r i a l n y c h n p . z b i o r o w o [ r z u t ó w m o n e t , z b i o r o w o [ m o |l i w y c h w y n i k ó w p o m i a r u
w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bu .
1 8 . C o t o j e s t p r ó b a r e p r e z e n t a t y w n a ?
P r ó b a w y b r a n a c z [ p o p u l a c j i p o d l e g a j c a b a d a n i u ( p r ó b a ) , j e s t r e p r e z e n t a t y w n a , g d y j e j s t r u k t u r a z e w z g l d u n a
i n t e r e s u j c e n a s c e c h y s t a t y s t y c z n e j e s t z b l i |o n a d o s t r u k t u r y p o p u l a c j i z k t ó r e j o n a p o c h o d z i , c z y l i w n i o s k i
w y c i g n i t e z p r ó b y m o |n a u o g ó l n i n a c a B p o p u l c j e . P r ó b a j e s t r e p r e z e n t a t y w n a g d y s p e Bn i o n e s w a r u n k i :
" E l e m e n t y p o p u l a c j i s p o b i e r a n e d o p r ó b y w s p o s ó b l o s o w y .
" P r ó b a j e s t d o s t a t e c z n i e l i c z n a .
1 9 . C o t o j e s t w n i o s k o w a n i e s t a t y s t y c z n e ?
W n i o s k o w a n i e s t a t y s t y c z n e t o m o |l i w o [ u o g ó l n i e n i a u z y s k a n y c h w y n i k ó w n a c a B p o p u l a c j e l e m e n t ó w o r a z
o s z a c o w a n i e w i e l k o [c i p o p e Bn i o n y c h p r z y t y m b Bd ó w . W y n i k w n i o s k o w a n i a m u s i b y u |y t e c z n y .
2 0 . J a k i e s p o d s t a w o w e r ó |n i c e m i d z y p o p u l a c j i p r ó b ?
P r ó b a j e s t w y b r a n c z [c i p o p u l a c j i , n a p o d s t a w i e j e j d a n y c h w n i o s k u j e m y o p o p u l a c j i , c z y l i p r ó b a p o z w a l a
s c h a r a k t e r y z o w a p o p u l a c j , n p . : S p o [r ó d w s z y s t k i c h k o b i e t w W a r s z a w i e ( P o p u l a c j a ) l o s u j e m y j a k [ c z [ ( P r ó b a ) i
n a t e j p o d s t a w i e c h a r a k t e r y z u j e m y [r e d n i w z r o s t k o b i e t w W a r s z a w i e .
2 1 . P o d a p r z y k Ba d p r ó b k i n i e r e p r e z e n t a t y w n e j d l a o s z a c o w a n i a z r ó |n i c o w a n i a z a r o b k ó w w P o l s c e ?
P r ó b p r z e p r o w a d z a m y w [r ó d r o l n i k ó w .
2 2 . P o d a p r z y k Ba d p r ó b k i n i e r e p r e z e n t a t y w n e j d l a o s z a c o w a n i a [r e d n i c h z a r o b k ó w l u d z i w P o l s c e ?
P r ó b p r z e p r o w a d z a m y w [r ó d l u d n o [c i W - w y i u s t a l a m y
2
2 3 . P o d a p r z y k Ba d p r ó b k i n i e r e p r e z e n t a t y w n e j d l a w z r o s t u w s z y s t k i c h k o b i e t w P o l s c e .
P r ó b p r z e p r o w a d z a m y w [r ó d z a w o d n i c z e k d r u |y n y k o s z y k a r s k i e j .
2 4 . C o w p By w a n a j a k o [ w n i o s k o w a n i a s t a t y s t y c z n e g o .
N a j a k o [ w n i o s k o w a n i a s t a t y s t y c z n e g o w p By w a :
" e s t y m a c j a ( s z a c o w a n i e ) n i e z n a n y c h w a r t o [c i p a r a m e t r ó w r o z k Ba d u c e c h y w p o p u l a c j i .
" s Bu s z n o [ h i p o t e z d o t y c z c y c h a l b o w a r t o [c i p a r a m e t r ó w r o z k Ba d u c e c h y w p o p u l a c j i a l b o p o s t a c i t e g o r o z k Ba d u .
" j a k o [ p r ó b y : l i c z n o [, l o s o w y w y b ó r .
2 5 i 2 6 . J a k i e s zr ó d Ba b Bd ó w w e w n i o s k o w a n i u s t a t y s t y c z n y m ? P o d a p r z y n a j m n i e j d w a zr ó d Ba b Bd ó w w e
w n i o s k o w a n i u s t a t y s t y c z n y m .
yr ó d Ba b Bd ó w : n i e l i c z n e l u b n i e l o s o w o w y b r a n e e l e m e n t y p r ó b y w y b ó r z Be g o r o z k Ba d u c e c h y w p o p u l a c j i ,
E s t y m a c j a : Z u w a g i n a t o |e e s t y m a c j i p e w n e g o p a r a m e t r u z a p o m o c o k r e [l o n e g o j e g o e s t y m a t o r a Z n d o k o n u j e m y n a
p o d s t a w i e w y n i k ó w p r ó b y l o s o w e j , i s t n i e j e m o |l i w o [ p o p e Bn i e n i a b Bd u . W c e l u u z y s k a n i a m a Be g o b Bd u e s t y m a c j i
n a l e |y d b a o p r a w i d Bo w e l o s o w a n i e p r ó b y , j a k i d o b ó r m o |l i w i e n a j l e p s z e g o e s t y m a t o r a Z n .
W t y m c e l u w p r o w a d z a s i p e w n e w Ba s n o [c i , k t ó r e p o w i n i e n p o s i a d a d o b r y e s t y m a t o r : z g o d n o [, e f e k t y w n o [,
d o s t a t e c z n o [ i n i e o b c i |o n o [
T e s t o w a n i e h i p o t e z s t a t y s t y c z n y c h : Z u w a g i n a t o , |e t e s t o w a n i e h i p o t e z s t a t y s t y c z n y c h o p i e r a s i n a w y n i k a c h p r ó b y
l o s o w e j , p o d j t a w w y n i k u z a s t o s o w a n i a d a n e g o t e s t u d e c y z j a o p r z y j c i u l u b o d r z u c e n i u h i p o t e z y n i e z a w s z e j e s t
b e z b Bd n a ( w y s t p u j b Bd y I i I I s t o p n i a ) .
2 7 . C o t o j e s t e s t y m a t o r ?
E s t y m a t o r j e s t n a r z d z i e m w n i o s k o w a n i a s t a t y s t y c z n e g o . E s t y m a t o r j e s t t o f u n k c j a w y n i k ó w z p r ó b y , c z y l i s t a t y s t y k a
s Bu |c a d o o s z a c o w a n i a n i e z n a n e j w a r t o [c i p a r a m e t r u p o p u l a c j i . W a r t o [ e s t y m a t o r a z k o n k r e t n e j p r ó b y j e s t l i c z b
z w a n o c e n p a r a m e t r u . E s t y m a t o r e m m o |e b y z a t e m k a |d a w i e l k o [ o t r z y m a n a d l a w y n i k ó w p r ó b y , c z y l i : [r e d n i a
a r y t m e t y c z n a , d o m i n a n t a , k o l e j n e k w a r t y l e , r o z s t p , o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e i w i e l e i n n y c h . E s t y m a t o r j a k o f u n k c j a
w y n i k ó w p r ó b y l o s o w e j , b d c y c h z m i e n n y m i l o s o w y m i , j e s t z m i e n n l o s o w . R o z k Ba d p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
e s t y m a t o r a z a l e |y o d r o z k Ba d u p o p u l a c j i i o d s p o s o b u l o s o w a n i a p r ó b y ( s c h e m a t l o s o w a n i a ) . S z c z e g ó l n i e w a |n e s d w a
p a r a m e t r y r o z k Ba d u : a ) w a r t o [ o c z e k i w a n a ( m o m e n t y ) , b ) w a r i a n c j a . J e s t w i e l e m e t o d z n a j d o w a n i a e s t y m a t o r a .
N a j c z [c i e j s t o s o w a n e t o : a ) m e t o d a m o m e n t ó w , b ) m e t o d a n a j w i k s z e j w i a r y g o d n o [c i , c ) m e t o d a k w a d r a t ó w . M ó w i m y ,
|e e s t y m a t o r T n p a r a m e t r u O j e s t n i e o b c i |o n y g d y s p e Bn i o n a j e s t r e l a c j a : E ( T n ) = O . I n a c z e j e s t y m a t o r T n j e s t
o b c i |o n y , a p a r a m e t r E ( T n ) - O = b ( T n ) n a z y w a m y o b c i |e n i e m e s t y m a t o r a . A s y m p t o t y c z n y n i e o b c i |o n y t z n . L i m ( n - > 8 )
b ( T n ) = 0 . Z g o d n y s p e Bn i a r e l a c j e L i m ( n - > 8 ) P { | T n - O | < µ} = 1 , d l a d o w o l n e g o µ> 0 .
2 8 . C o z n a c z y , |e e s t y m a t o r j e s t p r e c y z y j n y ?
P r z y w z r a s t a j c e j d o n i e s k o Dc z o n o [c i l i c z e b n o [c i p r ó b y w a r i a n c j i D 2 ( Z n ) e s t y m a t o r a Z n p r z y j m u j e w a r t o [c i c o r a z
b l i |s z e w a r i a n c j i n a j e f e k t y w n i e j s z e g o e s t y m a t o r a . O d w r o t n o [ w a r i a n c j i e s t y m a t o r a n o s i n a z w p r e c y z j i . E s t y m a t o r
n a j e f e k t y w n i e j s z y t o t a k i , k t ó r y m a n a j w i k s z p r e c y z j .
2 9 . P o d a p r z y n a j m n i e j d w a r ó |n e o s z a c o w a n i a [r e d n i e j w a r t o [c i c e c h y .
N a p o d s t a w i e p r ó b y 1 . 1 , 1 . 2 , 0 . 8 , 0 . 9 , 1 . 2 , 1 . 3 , 1 . 0 , 0 . 7 , 0 . 8 , 1 . 0 o s z a c o w a w a r t o [ [r e d n i r o z k Ba d u o b s e r w o w a n e j
c e c h y .
X s r = ( 1 . 1 + . . . + 1 . 0 ) / 1 0 = 1
v a r x = ( 1 . 1 1 . 0 ) 2 + . . . . . . . . . . . ( 1 . 0 1 . 0 ) 2 = 0 . 3 6
( s u m a k w a d r a t ó w o d c h y l e D)
s 2 = 0 . 3 6 / 1 0 - 1 = 0 . 0 4
s = 0 . 2
p o z i o m u f n o [c i 1 - ± = 0 , 9 5 , c z y l i ± = 0 . 0 5 = 5 %
t ( 0 , 0 5 , 9 ) = 2 , 2 6 2 2
t ( 0 . 0 5 , 9 ) * s / "n = 2 , 6 2 2 * 0 , 2 / "1 0 = 0 , 1 4
1 0 , 1 4 = 0 , 8 6
1 + 0 , 1 4 = 1 , 1 4
O D P O W I E D y Zr e d n i a w a r t o [ c e c h y j e s t j a k [ l i c z b z p r z e d z i a Bu ( 0 , 8 6 ; 1 , 1 4 )
3 0 . C o t o j e s t p r z e d z i a B u f n o [c i .
P R Z E D Z I A A U F N O ZC I j e s t p r z e d z i a Be m o k o Dc a c h z a l e |n y c h o d p r ó b y , k t ó r y z p e w n y m z g ó r y z a d a n y m
p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m p o k r y w a n i e z n a n w a r t o [ p a r a m e t r u Õ
P { ( Õ " ( O ( x 1 , . . . . . . . . . . x n ) , L ( x 1 , . . . . . . . . . . x n ) } = 1 - ± ( P o z i o m u f n o [c i )
W w y n i k u p o b r a n i a p r ó b y l o s o w e j z p o p u l a c j i i o b l i c z e n i a n a t e j p o d s t a w i e w a r t o [c i e s t y m a t o r a s z a c o w a n e g o
p a r a m e t r u u z y s k u j e s i t z w . p u n k t o w o c e n p a r a m e t r u . P r a w d o p o d o b i e Ds t w o |e e s t y m a t o r p r z y j m u j e w a r t o [ r ó w n
w a r t o [c i s z a c o w a n e g o p a r a m e t r u j e s t r ó w n a 0 . O z n a c z a t o |e p r z y e s t y m a c j i p u n k t o w e j z p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m
r ó w n y m j e d e n p o p e Bn i a m y b Bd . J e s t t o j e d e n z e s p o s o b ó w d l a k t ó r y c h s t o s u j e s i e s t y m a c j p r z e d z i a Bo w , p o l e g a j c
n a t y m , |e z a m i a s t j e d n e j o c e n y w a r t o [c i p a r a m e t r u p o d a j e s i p e w i e n p r z e d z i a B, k t ó r y z o k r e [l o n y m z g ó r y
p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m ( > 0 ) p o k r y w a n i e z n a n w a r t o [ s z a c o w a n e g o p a r a m e t r u .
3 1 . C o t o j e s t p o z i o m u f n o [c i .
J e s t t o p r a w d o p o d o b i e Ds t w o m a j c e o p i s a n a s z e p r z e k o n a n i e c o d o t r a f n o [c i o c e n y , o z n a c z o n e p r z e z 1 - ±
3 2 . J a k a j e s t i n t e r p r e t a c j a p o z i o m u u f n o [c i .
P o z i o m u f n o [c i 1 - ± j e s t z a u f a n i e m d o w y s t a w i o n y c h w n i o s k ó w .
3
3 3 i 3 4 . O d j a k i c h c z y n n i k ó w z a l e |y d Bu g o [ p r z e d z i a Bu u f n o [i ?
N a d Bu g o [ p r z e d z i a Bu w p By w a :
1 . l i c z e b n o [ p r ó b y g d y z w i k s z y m y i l o [ o b s e r w a c j i ( r o [n i e n ) , t o z w i k s z a s i p r e c y z j a o c e n y , c o w y r a |a s i
s k r ó c e n i e m p r z e d z i a Bu . P r o w a d z c y m o |e m i e w p By w n a d Bu g o [ p r z e d z i a Bu u f n o [c i , p o n i e w a | t o o n d e c y d u j e o
i l o [c i o b s e r w a c j i .
2 . p o z i o m u f n o [c i a b y z w i k s z y p r e c y z j o s z a c o w a n i a n a l e |y z m n i e j s z y p o z i o m u f n o [c i b o w i e m n a s t p i
s k r ó c e n i e d Bu g o [c i p r z e d z i a Bu . A b y z w i k s z y d o k Ba d n o [ n a l e |y z w i k s z y w s p ó Bc z y n n i k u f n o [c i c o s p o w o d u j e
r o z s z e r z e n i e p r z e d z i a Bu .
3 . w a r i a n c j a c e c h y - i m w i k s z a t y m w i k s z y p r z e d z i a B
3 5 . N a p o d s t a w i e b a d a D u z y s k a n o d l a [r e d n i e j n a s t p u j c y p r z e d z i a B u f n o [c i ( 2 , 1 3 ) . C z y m o |n a u z n a , |e
[r e d n i a w p o p u l a c j i j e s t r ó w n a 7 i d l a c z e g o ?
P o n i e w a | 7 n a l e |y d o p r z e d z i a Bu u f n o [c i m o |e b y [r e d n i p o p u l a c j i ( t a k j a k w s z y s t k i e l i c z b y z t e g o p r z e d z i a Bu ) , p r z y
c z y m z a u f a n i e d o t e g o w n i o s k u w y n o s i 1 - ±.
3 6 . U z y s k a n o 9 5 % p r z e d z i a B u f n o [c i d l a r ó |n i c y [r e d n i c h : ( 1 . 2 3 ; 7 . 9 ) . C z y n a t e j p o d s t a w i e m o |n a u z n a , |e
b a d a n e [r e d n i e n i e r ó |n i s i ?
4 2 . C o t o j e s t h i p o t e z a s t a t y s t y c z n a .
H i p o t e z s t a t y s t y c z n n a z y w a m y d o w o l n e p r z y p u s z c z e n i e d o t y c z c e r o z k Ba d u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a c e c h y . H i p o t e z y
s t a t y s t y c z n e s f o r m a l n y m z a p i s e m p r z y p u s z c z e D m e r y t o r y c z n y c h s f o r m u Bo w a n y c h w t r a k c i e r o z w i z y w a n i a
p r o b l e m ó w n a u k o w y c h i p r a k t y c z n y c h . T e s t o w a n h i p o t e z s t a t y s t y c z n o z n a c z a s i s y m b o l e m H 0 i n a z y w a s i
h i p o t e z z e r o w . O b s e r w u j e m y c e c h X w p e w n e j p o p u l a c j i . H i p o t e z a t o p r z y p u s z c z e n i e d o t y c z c e r o z k Ba d u
p r a w d o p o d o b i e Ds t w a t e j c e c h y . P r a w d z i w o [ t e g o p r z y p u s z c z e n i a j e s t o c e n i a n a n a p o d s t a w i e w y n i k ó w p r ó b y l o s o w e j .
J e s t t o k a |d y s d ( p r z y p u s z c z e n i e ) d o t y c z c e p o p u l a c j i w y d a n y b e z p r z e p r o w a d z e n i a b a d a n i a w y c z e r p u j c e g o .
4 3 . P r z y k Ba d y h i p o t e z y s t a t y s t y c z n e j i p o d a j p r z y k Ba d h i p o t e z y n i e s t a t y s t y c z n e j .
1 . H i p o t e z a H 0 : µ = 2 5 0 , H i p o t e z a t a o r z e k a , |e [r e d n i a w a r t o [ c e c h y w p o p u l a c j i w y n o s i 2 5 0 .
2 . H i p o t e z a n i e s t a t y s t y c z n a w r o k u 2 0 1 0 b d z i e k l s k a |y w i o Bo w a n i e m a m o w y o p o s t a c i r o z k Ba d u i j e g o
p a r a m e t r a c h .
4 4 . C o t o j e s t b Bd p i e r w s z e g o r o d z a j u .
B Bd e m I r o d z a j u - b Bd w e w n i o s k o w a n i u p o l e g a j c y n a o d r z u c e n i u h i p o t e z y , g d y w r z e c z y w i s t o [c i j e s t o n a
p r a w d z i w a .
4 5 . C o t o j e s t p o z i o m i s t o t n o [c i .
P o z i o m e m i s t o t n o [c i J e s t t o p r a w d o p o d o b i e Ds t w o p o p e Bn i e n i a b Bd u I r o d z a j u ( 2 ) . N a j c z [c i e j p r z y j m o w a n y m i
p o z i o m a m i i s t o t n o [c i s : 0 , 1 ; 0 , 0 5 ; 0 , 0 1 ; 0 , 0 0 1 .
4 6 . I n t e r p r e t a c j a p o z i o m u i s t o t n o [c i . ( o d p . W 4 5 )
4 7 . C o t o j e s t b Bd d r u g i e g o r o d z a j u .
B Bd e m I I r o d z a j u - b Bd w e w n i o s k o w a n i u p o l e g a j c y n a n i e o d r z u c e n i u h i p o t e z y , g d y w r z e c z y w i s t o [c i j e s t o n a
f a Bs z y w a .
4 8 . C o t o j e s t m o c t e s t u .
M o c t e s t u n a z y w a m y p r a w d o p o d o b i e Ds t w o n i e o d r z u c e n i a h i p o t e z y n i e p r a w d z i w e j
M o c t e s t u = p r a w d o p o d o b i e Ds t w o p o p e Bn i e n i a b Bd u I I r o d z a j u
4 9 . Z i n t e r p r e t o w a w n i o s e k : o d r z u c o n o w e r y f i k o w a n h i p o t e z n a p o z i o m i e i s t o t n o [c i 0 , 0 5 .
N a 9 5 % b y Ba f a Bs z y w a i n a 5 % b y Ba p r a w d z i w a .
5 0 . C o m i e r z y w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i .
W s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i j e s t m i e r n i k i e m s i By z a l e |n o [c i m i d z y b a d a n y m i z m i e n n y m i . P r z y j m u j e w a r t o [c i < - 1 ; 1 > .
5 1 . I n t e r p r e t a c j a w s p ó Bc z y n n i k a k o r e l a c j i .
W s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i j e s t l i c z b n i e m i a n o w a n , n a l e |y d o p r z e d z i a Bu < - 1 ; 1 > .
I n t e r p r e t u j e m y d w a e l e m e n t y w s p ó Bc z y n n i k a k o r e l a c j i :
1 . z n a k w s p ó Bc z y n n i k a k o r e l a c j i ;
2 . w a r t o [ w s p ó Bc z y n n i k a k o r e l a c j i ;
J e |e l i c h o d z i o z n a k t o :
" j e |e l i w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i > 0 , t o w i k s z y m w a r t o [c i o m j e d n e j c e c h y o d p o w i a d a j w i k s z e w a r t o [c i d r u g i e j
c e c h y ; j e s t t o z a l e |n o [ d o d a t n i a ( r o s n c a , s t y m u l u j c a ) ;
" j e |e l i w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i < 0 , t o w i k s z y m w a r t o [c i o m j e d n e j c e c h y o d p o w i a d a j m n i e j s z e w a r t o [c i d r u g i e j
c e c h y ; j e s t t o z a l e |n o [ u j e m n a ( m a l e j c a , l i m i t u j c a ) ;
" j e |e l i w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i = 0 , t o b e z w z g l d u n a w a r t o [ p r z y j m o w a n e p r z e z j e d n a z c e c h , [r e d n i a w a r t o [
d r u g i e j c e c h y j e s t t a k a s a m a ; s t o c e c h y n i e s k o l e r o w a n e
J e |e l i g = + 1 , t o i s t n i e j t a k i e l i c z b y a i b , |e Y = a X + b z a l e |n o [ m i d z y c e c h a m i j e s t [c i [l e l i n i o w a .
J e |e l i g = 1 , t o a > 0 , o r a z j e |e l i g = - 1 t o a < 0 .
W z w i z k u z t y m w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i t r a k t o w a n y j e s t j a k o m i e r n i k l i n i o w e j z a l e |n o [c i m i d z y c e c h a m i X o r a z Y .
W a r t o [ w s p ó Bc z y n n i k a k o r e l a c j i i n t e r p r e t o w a n a j e s t ; |e i m | g | j e s t b l i |s z e 1 , t y m b a r d z i e j l i n i o w a j e s t z a l e |n o [
C O V ( X , Y )
m i d z y c e c h a m i . K o r e l a c j m i d z y X i Y o b l i c z a m y z e w z o r u r = , g d z i e C O V ( X , Y ) t o
v a r X v a r Y
k a w a r i a n c j a - s u m a i l o c z y n ó w o d c h y l e D o d [r e d n i e j .
4
5 2 . J a k i e w a r t o [c i m o |e p r z y j m o w a w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i .
W s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i p r z y j m u j e w a r t o [c i z p r z e d z i a Bu < - 1 ; 1 >
I m k o r e l a c j a j e s t s i l n i e j s z a ( b l i |s z e j e d y n k i ) , t y m l i n i e r e g r e s j i s p o Bo |o n e b l i |e j s i e b i e .
r = 1 r = - 1
r = 0
5 3 . C o t o z n a c z y , z e w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i m i d z y z m i e n n y m i X i Y w y n o s i 0 .
J e |e l i w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i m i d z y d w i e m a z m i e n n y m i w y n o s i z e r o , t o z n a c z y , |e s t o z m i e n n e n i e s k o r e l o w a n e .
W a r t o [ j e d n e j z m i e n n e j n i e z a l e |y o d d r u g i e j .
5 4 . J a k p o s t a m a l i n i o w a f u n k c j a r e g r e s j i , g d y w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i m i d z y z m i e n n y m i X i Y w y n o s i 0 .
J e |e l i w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i w y n o s i 0 t o n i e m a z a l e |n o [c i p o m i d z y d w o m a z m i e n n y m i , a w y k r e s e m f u n k c j i r e g r e s j i
s w s z y s t k i e p u n k t y u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h .
5 5 . N a p o d s t a w i e o b l i c z e D u z y s k a n o w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i r ó w n y 0 . 9 7 . J a k m o |n a z i n t e r p r e t o w a t w a r t o [?
W s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i r ó w n y 0 , 9 7 , o z n a c z a , |e w i k s z y m w a r t o [c i o m j e d n e j c e c h o d p o w i a d a j [r e d n i o m n i e j s z e
w a r t o [c i d r u g i e j c e c h y . T a k z a l e |n o [ n a z y w a m y u j e m n l u b m a l e j c .
5 6 . N a p o d s t a w i e o b l i c z e D u z y s k a n o w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i r ó w n y 1 . 0 9 . J a k m o |n a z i n t e r p r e t o w a t w a r t o [?
W s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i n i e m o |e p r z y j w a r t o [c i p o w y |e j 1 .
5 7 . W b a d a n i u w p By w u d Bu g o [c i c z a s u ( w l a t a c h ) p r a c y ( X ) p e w n e g o u r z d z e n i a n a p r z c i t n y c z a s ( w m i e s i a c a c h )
b e z a w a r y j n e j p r a c y ( Y ) t e g o u r z d z e n i a n a p o d s t a w i e o b s e r w a c j i d z i e s i c i u m a s z y n u z y s k a n o w s p ó Bc z y n n i k
k o r l e a c j i r = - 0 , 9 9 8 3 . C z y m o |n a n a t e j p o d s t a w i e p r z y j , |e i s t n i e j e z a l e |n o [ m i d z y d Bu g o [c i c z a s u p r a c y i
p r z e c i t n e g o c z a s u p r a c y b e z a w a r y j n e j .
J e [l i p r ó b a z a o s t a Ba d o b r a n a p o p r a w n i e ( z a p e w n i o n o r e p r e z e n t a t y w n o [) t o m o |n a u z n a , |e i s t n i e j e t a k a z a l e |n o [, |e
i m d Bu |s z y c z a s p r a c y w l a t a c h t y m k r ó t s z y o k r e s ( w m - c a c h ) b e z a w a r y j n e j p r a c y . W y n i k a t o z t e g o , |e k o r e l a c j a j e s t
r ó w n a p r a w i e - 1 .
5 8 . W d w u d z i e s t u g o s p o d a r s t w a c h w i e j s k i c h b a d a n o z a l e |n o [ m i d z y s p o |y c i e m z i e m n i a k ó w ( c e c h a X ) i
a r t y k u Bó w z b o |o w y c h ( c e c h a Y ) . U z y s k a n o w s p ó Bc z y n n i k k o r e l a c j i r = - 0 , 9 9 8 3 . C z y m o |n a n a t e j p o d s t a w i e
p r z y j , |e i s t n i e j e z a l e z n o [ m i d z y s p o |y c i e m z i e m n i a k ó w i a r t y k u Bó w z b o |o w y c h ?
T a k j a k w 5 7 .
5 9 . C o t o j e s t i n d e k s F i s h e r a z m i a n c e n ?
I n d e k s F i s h e r a z m i a n c e n j e s t [r e d n i g e o m e t r y c z n z i n d e k s ó w w y z n a c z o n y c h p r z e z L a s p e y e r s a i P a a s c h e g o .
M o |n a g o u w a |a z a d o b r e p r z y b l i |e n i e i n d e k s u p o p r a w n i e m i e r z c e g o z m i a n y c e n ( z d w ó c h r ó |n y c h o k r e s ó w ) ,
j e [l i p r z y j , |e i n d e k s y L a s p e y e r s a i P a a s c h e g o o k r e [l a j g r a n i c e p r z e d z i a Bu , w k t ó r y m z a w a r t a j e s t p r a w d z i w a
w a r t o [ i n d e k s u .
6 0 . C o t o j e s t i n d e k s F i s h e r a z m i a n i l o [c i ?
J e [l i p r z y j , |e i n d e k s y L a s p e y e r s a i P a a s c h e g o p o p r a w n i e o k r e [l a j g r a n i c e p r z e d z i a Bu , w k t ó r y m z a w a r t a j e s t
p r a w d z i w a w a r t o [ i n d e k s u , t o : I n d e k s F i s h e r a z m i a n i l o [c i u w a |a s i z a d o b r e p r z y b l i |e n i e i n d e k s u w Ba [c i w i e
m i e r z c e g o z m i a n y i l o [c i ( r o z m i a r ó w f i z y c z n y c h )
6 1 . C o t o j e s t i n d e k s L a s p a y r e s a z m i a n c e n ?
D y n a m i k a z j a w i s k
N u m e r I l o [ C e n a
a r t y k u B j e d n o s t k o w a
u
R o k 0 R o k 1 R o k 0 R o k 1
1 q 1 0 q 1 1 p 1 0 p 1 1
. . . . . . . . . . . . . . .
k q k 0 q 1 k p k 0 p 1 k
N u m e r W a r t o [ W a r t o [
1 w 1 , 0 0 = p 1 0 q 1 0 w 1 , 1 1 = p 1 1 q 1 1
. . . . . . . . .
k w k , 0 0 = p k 0 q k 0 w k , 1 1 = p k 1 q k 1
R a z e m w 0 0 w 1 1
I n d e k s L a s p a y e r s a z m i a n c e n t o i n d e k s o k r e [l a j c y w p By w z m i a n c e n n a d y n a m i k w a r t o [c i ; i n f o r m u j e o t y m , j a k
z m i e n i a Ba b y s i Bc z n a w a r t o [ w s z y s t k i c h t o w a r ó w w m o m e n c i e b a d a n y m w s t o s u n k u d o m o m e n t u p o d s t a w o w e g o ,
g d y b y i l o [c i p o s z c z e g ó l n y c h t o w a r ó w b y By w o b u p o r ó w n y w a l n y c h m o m e n t a c h j e d n a k o w e o r a z t a k i e j a k w m o m e n c i e
p o d s t a w o w y m , a z m i a n a w a r t o [c i n a s t p i Ba b y t y l k o n a s k u t e k z m i a n c e n . L I p q = ( w 1 0 / w 0 0 ) , g d z i e W i j = p i q j .
6 2 . C o t o j e s t i n d e k s L a s p a y r e s a z a m i a n i l o [c i ?
I n d e k s L a s p a y e r s a z m i a n i l o [c i m ó w i j a k z m i e n i a Ba b y s i c a Bo [c i o w o w a r t o [ w s z y s t k i c h t o w a r ó w w m o m e n c i e
b a d a n y m w s t o s u n k u d o m o m e n t u p o d s t a w o w e g o , g d y b y w o b u p o r ó w n y w a l n y c h m o m e n t a c h c e n y b y By n i e z m i e n n e i
5
t a k i e j a k w m o m e n c i e p o d s t a w o w y m , a z m i a n a w a r t o [c i n a s t p i Ba b y t y l k o i w y Bc z n i e n a s k u t e k z m i a n i l o [c i
p o s z c z e g ó l n y c h t o w a r ó w ; c o w i c e j i n f o r m u j e o p r z e c i t n y c h z m i a n a c h i l o [c i p o s z c z e g ó l n y c h t o w a r ó w w o b u
p o r ó w n y w a l n y c h m o m e n t a c h . L I q p = ( w 0 1 / w 0 0 )
6 3 . C o t o j e s t i n d e k s P a a s c h e g o z m i a n c e n ?
I n d e k s P a a s c h e g o z m i a n c e n t o [r e d n i a h a r m o n i c z n a z i n d y w i d u a l n y c h i n d e k s ó w c e n , a k t ó r e j w a g a m i s w a r t o [c i
t o w a r ó w w m o m e n c i e b a d a n y m ; I n f o r m u j e o t y m , j a k z m i e n i a Ba b y s i Bc z n a w a r t o [ w s z y s t k i c h t o w a r ó w w
m o m e n c i e b a d a n y m w s t o s u n k u d o m o m e n t u p o d s t a w o w e g o , g d y b y i l o [c i p o s z c z e g ó l n y c h t o w a r ó w b y By w o b u
p o r ó w n y w a l n y c h m o m e n t a c h j e d n a k o w e o r a z t a k i e , j a k w m o m e n c i e b a d a n y m , a z m i a n a w a r t o [c i n a s t p i Ba b y
w y Bc z n i e n a s k u t e k z m i a n c e n . P I p q = ( w 1 1 / w 0 1 )
6 4 . C o t o j e s t i n d e k s P a a s c h e g o z m i a n i l o [c i ?
I n d e k s P a a s c h e g o z m i a n i l o [c i t o [r e d n i a h a r m o n i c z n a i n d y w i d u a l n y c h i n d e k s ó w i l o [c i ; i n f o r m u j e , j a k z m i e n i a Ba b y
s i g l o b a l n a w a r t o [ w s z y s t k i c h t o w a r ó w w m o m e n c i e b a d a n y m w s t o s u n k u d o m o m e n t u p o d s t a w o w e g o , g d y b y w o b u
p o r ó w n y w a l n y c h m o m e n t a c h c e n y b y By n i e z m i e n n e i t a k i e j a k w m o m e n c i e b a d a n y m , a z m i a n a w a r t o [c i n a s t p i Ba b y
t y l k o i w y Bc z n i e n a s k u t e k z m i a n i l o [c i p o s z c z e g ó l n y c h t o w a r ó w . P I q p = ( w 1 1 / w 1 0 )
6 5 . C o t o j e s t i n d e k s z m i a n w a r t o [c i .
I n d e k s z m i a n w a r t o [c i t o i n d e k s , k t ó r y i n f o r m u j e o Bc z n y c h z m i a n a c h w a r t o [c i d a n y c h p r o d u k t ó w ( r ó w n o c z e [n i e ) w
m o m e n c i e b a d a n y m w s t o s u n k u d o m o m e n t u p o d s t a w o w e g o . Z m i a n y t e w y n i k a j z a r ó w n o z e z m i a n i l o [c i , j a k i c e n
t y c h p r o d u k t ó w . I w = ( w 1 1 / w 0 0 )
6 6 . J a k a j e s t z a l e |n o [ m i d z y i n d e k s a m i z m i a n w a r t o [c i , i l o [c i o r a z c e n .
W a r t o [c i , c e n y i i l o [c i s w i e l k o [c i a m i , k t ó r e m a j s z c z e g ó l n e z n a c z e n i e w b a d a n i u z j a w i s k e k o n o m i c z n y c h . I n d e k s y
z m i a n t y c h w i e l k o [c i s b a d a n e r a z e m w t z w . i n d e k s a c h a g r e g a t o w y c h ( z e s p o Bo w y c h ) , k t ó r e w o d p o w i e d n i s p o s ó b
w y r a |a j Bc z n e z m i a n y z a c h o d z c e w c z a s i e w c a Be j z r ó |n i c o w a n e j z b i o r o w o [c i . I w = L I p q x P I q p = P I p q x L I q p = F I p x F I q
6 7 . W j a k i s p o s ó b m o |n a o s z a c o w a p r z e c i t n e t e m p o z m i a n n a p r z e s t r z e n i k i l k u l a t .
C z a Z j a w i s I n d e k s y Ba Dc u c h o w e
s k o
a b s o l u t n e w z g l d n e i t / t - 1
t 0 y 0
t 1 y 1 y 1 - y 0 ( y 1 - y 0 ) / y 0 y 1 / y 0
t 2 y 2 y 2 - y 1 ( y 2 - y 1 ) / y 1 y 2 / y 1
. . . . . . . . . . . . . . .
t k y k y k - y k - 1 ( y k - y k - 1 ) / y k - 1 y k / y k - 1
Zr e d n i e t e m p o z m i a n - I g j e s t [r e d n i g e o m e t r y c z n z i n d e k s ó w Ba Dc u c h o w y c h i t / t 1 ( t " T 1 ) ; m e t o d a t a z a w o d z i ,
g d y d u |e s n i e r e g u l a r n o [c i w o b s e r w o w a n e j d y n a m i c e z j a w i s k . i t / t - 1 j e s t s t o p r o c z n e g o w z r o s t u , c z y l i j e |e l i w a r t o [
w r o k u 1 w y n o s i 2 , a w a r t o [ w r o k u 3 - 2 , 5 , t o i 3 / 2 = 1 , 2 5 . Zr e d n i m t e m p e m z m i a n w o k r e s i e 0 - t n a z y w a m y [r e d n i
g e o m e t r y c z n z i t / t - 1 .
6 8 . C o t o j e s t i n d e k s Ba Dc u c h o w y .
I n d e k s Ba Dc u c h o w y n a l e |y d o o b s z e r n e j k l a s y m i e r n i k ó w d y n a m i k i z j a w i s k w a r t o [c i y t , g d z i e y t * o z n a c z a
p o d s t a w p o r ó w n a n i a d l a w a r t o [c i z j a w i s k a y t w k o l e j n y c h m o m e m t a c h c z a s u t ‚" T 1 . J e [l i t a p o d s t a w j e s t z a w s z e
m o m e n t p o p r z e d n i d o b a d a n e g o t o i n d e k s y d y n a m i k i s n a z w a n e i n d e k s a m i Ba Dc u c h o w y m i . W a r t o [ i n d e k s
Ba Dc u c h o w e g o w c z a s i e t / : i t / t - 1 = ( y t / y t - 1 )
6 9 . C o t o j e s t i n d e k s j e d n o p o d s t a w o w y .
I n d e k s j e d n o p o d s t a w o w y j e s t m i e r n i k i e m d y n a m i k i z j a w i s k ; w y s t p u j e w t e d y , g d y p o d s t a w a p o r ó w n a n i a j e s t s t a Ba
d l a w s z y s t k i c h w a r t o [c i y t , t z n . y t * = c o n s t . C z y l i w a r t o [ i n d e k s u w c z a s i e t : i t = ( y t / y 0 ) .
7 0 . C o t o j e s t t r e n d ?
T r e n d s k Ba d n i k s z e r e g u c z a s o w e g o w y r a |a j c y o g ó l n t e n d e n c j s y s t e m a t y c z n y c h z m i a n p o z i o m u d a n e j z m i e n n e j ;
( t e n d e n c j a r o z w o j o w a ) f u n k c j a o p i s u j c a g e n e r a l n y p r z e b i e g z j a w i s k a , z m i a n y [r e d n i e g o z j a w i s k a w c z a s i e .
M e t o d y w y z n a c z a n i a t r e n d u : T e n d e n c j r o z w o j o w m o |n a w y o d r b n i d w i e m a m e t o d a m i :
- M e t o d m e c h a n i c z n k t ó r a p o l e g a n a w y g Ba d z e n i u s z e r e g u c z a s o w e g o , p o p r z e z o c z y s z c z e n i e g o z w s z e l k i e g o t y p u
w a h a D. W y g Ba d z e n i a d o k o n u j e s i p r z y u |y c i u [r e d n i c h r u c h o m y c h l u b m e t o d y n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w .
- M e t o d a a n a l i t y c z n a k t ó r a p o l e g a n a w y z n a c z e n i u p o s t a c i f u n k c j i t r e n d u . M e t o d a a n a l i t y c z n a w y o d r b n i a n i a t e n d e n c j i
r o z w o j o w e j p o l e g a n a u s t a l e n i u t a k i e j p o s t a c i f u n k c j i m a t e m a t y c z n e j , k t ó r a n a j l e p i e j p r z y b l i |a t r e n d z j a w i s k a .
7 1 . C o t o s w a h a n i a o k r e s o w e ( s e z o n o w e ) ?
P o w t a r z a j c e s i r e g u l a r n i e z m i a n y p o z i o m u z j a w i s k a . N a j c z s t s z y m o k r e s e m w a h a D j e s t r o k .
7 2 . i 7 6 . D o c z e g o s Bu |y m e t o d a [r e d n i c h r u c h o m y c h . N a c z y m p o l e g a m e t o d a [r e d n i c h r u c h o m y c h .
S z e r e g i c z a s o w e z e z n a c z n y m u d z i a Be m w a h a D o k r e s o w y c h i p r z y p a d k o w y c h p o d d a j e s i z w y k l e w y r ó w n a n i u k t ó r e g o
r e z u l t a t e m j e s t n o w y s z e r e g e k s p o n u j c y t r e n d r o z w o j o w y [r o d o w i s k a . N a j p r o s t s z m e t o d e l i m i n a c j i w a h a D z s z e r e g u
c z a s o w e g o j e s t o b l i c z e n i e t z w . [r e d n i c h r u c h o m y c h i z a s t p i e n i e n i m i p i e r w o t n y c h w y r a z ó w s z e r e g u c z a s o w e g o .
Zr e d n i e o b l i c z a s i z w y k l e z n i e p a r z y s t e j ( p a r z y s t e j ) l i c z b y s s i a d u j c y c h z e s o b w y r a z ó w s z e r e g u , t a k a b y u z y s k a n y
w y n i k m ó c p o d p o r z d k o w a c a Bk o w i t e j w a r t o [c i t z n a j d u j c e j s i w [r o d k u u w z g l d n i o n e g o w o b l i c z e n i a c h p r z e d z i a Bu .
a ) r ( d Bu g o [ c y k l u w a h a D) - n i e p a r z y s t e
6
1
y m = ( y + . . . + y m + . . . + y ) , m = ( r - 1 ) / 2 , . . . . , k - ( r - 1 ) / 2
r - 1 r - 1
r m - m +
2 2
b ) r - p a r z y s t e
1 1 1
y m = ( y + . . . + y m + . . . + y ) , m = r / 2 , . . . . . , k - r / 2
r r
r 2 m - 2 m +
2 2
7 3 . J a k m o |n a o s z a c o w a w i e l k o [ w a h a D o k r e s o w y c h ?
W z a l e |n o [c i o d t e g o j a k i c h a r a k t e r m a j w a h a n i a s e z o n o w e , r a c h u n e k w s k a zn i k ó w , o p i s u j c y c h z a k r e s d z i a Ba n i a
c z y n n i k ó w s e z o n o w y c h , p r z e b i e g a i n a c z e j . J e |e l i r e z u l t a t e m d z i a Ba n i a c z y n n i k ó w s e z o n o w y c h j e s t z m i e n n a a m p l i t u d a
w a h a D t o z a k r e s d z i a Ba n i a s e z o n o w o [c i o p i s u j r e l a t y w n e w s k a zn i k i s e z o n o w o [c i . J e |e l i z a [ r e z u l t a t e m d z i a Ba n i a
c z y n n i k ó w s e z o n o w y c h j e s t s t a Ba a m p l i t u d a o d c h y l e D o d t r e n d u , t o z a k r e s d z i a Ba n i a t y c h c z y n n i k ó w o p i s u j a b s o l u t n e
w s k a zn i k i s e z o n o w o [c i .
W p i e r w s z e j k o l e j n o [c i w y z n a c z a s i t z n . s u r o w e w s k a zn i k i s e z o n o w o [c i , k t ó r e o k r e [l a j p r z e c i t n e o d c h y l e n i a o d
Y i
t r e n d u w k o l e j n y c h p o d o k r e s a c h c y k l u s e z o n o w o [c i O s i = , Y i = y i + y r + i + y 2 r + i . . . , Y i = y i + y r + i + y 2 r + i ; y t = d o p a s o w a n a
Y
i
f u n k c j a t r e n d u
N a s t p n i e w y z n a c z a m y w s k a zn i k k o r y g u j c y .
r
k =
O s 1 + O s 2 + . . . + O s r
P o p r a w n y w s k a zn i k s e z o n o w o [c i w y n o s i O i = O s i * k , i = 0 , 1 , . . . , r - 1 W s k a zn i k t e n o k r e [l a z a k r e s w z g l d n y c h , c z y l i
z a l e |n y c h o d p o z i o m u t r e n d u , o d c h y l e D s p o w o d o w a n y c h d z i a Ba n i e m c z y n n i k ó w s e z o n o w o [c i .
n - 1
N a k o n i e c o b l i c z a m y a b s o l u t n y w s k a zn i k o k r e s o w o [c i g i . g i = ( O i 1 ) * y , i = 0 , 1 , . . . , r - 1 , y = ( y ) / n
"
j
j = 0
W s k a zn i k t e n o k r e [l a s t a Be n i e z a l e |n e o d p o z i o m u t r e n d u , o d c h y l e n i a p o z i o m u z j a w i s k a o d t r e n d u s p o w o d o w a n e
d z i a Ba n i e m c z y n n i k ó w s e z o n o w y c h .
7 4 . J a k w y k o n u j e s i p r o g n o z w s z e r e g u c z a s o w y m w k t ó r y m w y s t p u j e z j a w i s k o w a h a D o k r e s o w y c h ?
O b l i c z a m y t a k s a m o j a k w 7 3 d o g i . P o t e m m u s i m y o s z a c o w a o d c h y l e n i e s t a n d a r t o w e .
n - 1
1
S = ( y - y - g t ) 2 , g d z i e t j e s t r e s z t d z i e l e n i a j / r
"
j j
n - 2
j = 0
O b l i c z a m y p r o g n o z w c h w i l i m > n , y m = y m ( s r ) + g t + / - S , ( g d z i e t j e s t r e s z t z d z i e l e n i a m / r ) .
7 5 . J a k m e t o d m o |n a w y z n a c z y T r e n d ?
W y z n a c z a n i e t r e n d u :
1 . M e t o d a e m p i r y c z n a ( [r e d n i c h r u c h o m y c h ) - w p y t . 7 2 .
2 . M e t o d a a n a l i t y c z n a ( n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w ) - m e t o d a a p r o k s y m a c j i f u n k c j i o k r e [l o n e g o t y p u , d o z b i o r u
p u n k t ó w e m p i r y c z n y c h . M e t o d a t a p o l e g a n a t a k i m d o b o r z e p a r a m e t r ó w a p r o k s y m o w a n e j f u n k c j i , b y s u m a
k w a d r a t ó w o d c h y l e D r z d n y c h p u n k t ó w e m p i r y c z n y c h o d w y k r e s u t e j f u n k c j i b y Ba m n i e j s z a . S p r o w a d z a s i e o n a d o
r o z w i z a n i a o d p o w i e d n i e g o d l a d a n e g o t y p u a p r o k s y m o w a n e j f u n k c j i u k Ba d u r ó w n a D. M e t o d n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t ó w w y z n a c z s i n a j c z [c i e j w s t a y s t y c e f u n k c j i r e g r e s j i I I r o d z a j u .
7 8 . C o t o j e s t s z e r e g r o z d z i e l c z y .
J e d e n z s z e r e g ó w s t a t y s t y c z n y c h p r z e d s t a w i a j c y b u d o w ( s t r u k t u r ) z b i o r o w o [c i , c z y l i j e j p o d z i a B n a c z [c i z
o k r e [l o n e g o , r z e c z o w e g o p u n k u w i d z e n i a . C e c h a s t a t y s t y c z n a n a p o d s t a w i e k t ó r e j d o k o n u j e s i p o d z i a Bu z b i o r o w o [c i
n a m n i e j s z e c z [c i , m o |e b y c e c h n i e m i e r z a l n l u b m i e r z a l n . W s z e r e g u r o z d z i e l c z y m w j e d n e j k o l u m n i e w s p o s ó b
u p o r z d k o w a n y p r z e d s t a w i o n y j e s t w y k a z k l a s y f i k a c y j n y , c z y l i w a r i a n t y b a d a n e j c e c h y , a w d r u g i e j k o l u m n i e
p r z e d s t a w i o n e s l i c z e b n o [c i o d p o w i a d a j c e p o s z c z e g ó l n y m k l a s o m z w y k a z u . J e s t t o w i c u p o r z d k o w a n y i
p o g r u p o w a n y z b i ó r i n f o r m a c j i d o t y c z c y c h b a d a n e j c e c h y o k r e [l o n e j z b i o r o w o [c i . W z a l e |n o [c i o d r o d z a j u c e c h y
w e d Bu g k t ó r e j p o d z i e l o n o z b i o r o w o [ s z e r e g i d z i e l i m y n a d w i e g r u p y :
s z e r e g i o p a r t e n a c e s z e n i e m i e r z a l n e j :
P o z i o m p o d s t . Z a s a d n i c z [r e d n i w y |s o g ó B
w y k s z t a Bc e n e e z e e m
i a z a w o d o w e
L i c z b a 8 1 2 3 0 1 0 6 0
p r a c o w n i k ó
w
N p . S z e r e g i r o z d z i e l c z e c e c h y n i e m i e r z a l n e j u z y s k u j e s i g r u p u j c b u d y n k i w g d z i e l n i c m i a s t a . J e [l i p r z e d m i o t e m
b a d a n i a s t a t y s t y c z n e g o s n p . b u d y n k i m i e s z k a l n e o d d a n e d o u |y t k u t o p u n k t o w y s z e r e g r o z d z i e l c z y u z y s k u j e s i
g r u p u j c b u d y n k i w g l i c z b y k o n d y g n a c j i , n a t o m i a s t p r z e d z i a Bo w y s z e r e g r o z d z i e l c z y m o |n a u z y s k a g r u p u j c t e s a m e
b u d y n k i w g t r w a n i a b u d o w y .
S z e r e g i o p a r t e n a c e s z e m i e r z a l n e j n p . c z a s p o z o s t a w a n i a b e z p r a c y . . .
7
P y t . 7 9 . C o t o j e s t h i s t o g r a m ?
R o d z a j w y k r e s u s Bu p k o w e g o o p a r t y n a p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h ; H i s t o g r a m s k Ba d a s i z p i o n o w y c h
p r z y l e g a j c y c h d o s i e b i e p r o s t o k t ó w ( s Bu p k ó w ) . D Bu g o [c i p o d s t a w t y c h p r o s t o k t ó w s p r o p o r c j o n a l n e d o r o z p i t o [c i
p r z e d z i a Bó w k l a s o w y c h , a w y s o k o [ d o i c h l i c z e b n o [c i n a j e d n o s t k r o z p i t o [c i . Z w y k l e h i s t o g r a m s Bu |y d o
p r z e d s t a w i a n i a s t r u k t u r y s z e r e g ó w r o z d z i e l c z y c h o r ó w n y c h p r z e d z i a Ba c h k l a s o w y c h i w ó w c z a s w y s o k o [ p r o s t o k t a
j e s t p r o p o r c j o n a l n a d o l i c z e b n o [c i . B u d u j c h i s t o g r a m n a p o d s t a w i e s z e r e g u o n i e r ó w n y c h p r z e d z i a Ba c h k l a s o w y c h ,
n a l e |y u p r z e d n i o o b l i c z y l i c z e b n o [c i p r z y p a d a j c e w d a n y m p r z e d z i a l e n a j e d n o s t k j e g o r o z p i t o [c i . H i s t o g r a m
u m o |l i w i a p o z n a n i e t y p u r o z k Ba d u z b i o r o w o [c i s t a t y s t y c z n y c h w g b a d a n e j c e c h y .
8 0 . W y m i e D m i e r n i k i p o Bo |e n i a p r ó b y :
Zr e d n i a , M e d i a n a , D o l n y k w a r t y l , G ó r n y k w a r t y l , D o m i n a n t a , M i n i m u m , M a k s i m u m
8 1 . P y t . 8 2 . C o t o j e s t d o l n y k w a r t y l . C o t o j e s t g ó r n y k w a r t y l .
D o n a j c z [c i e j z a l i c z a n y c h k w a r t y l i z a l i c z a m y k w a r t y l e :
K w a r t y l d o l n y - d z i e l i o n z b i o r o w o [ u p o r z d k o w a n n a d w i e c z [c i , w t e n s p o s ó b |e 2 5 % j e d n o s t e k m a w a r t o [
c e c h y n i |s z e , a 7 5 % w y |s z e o d k w a r t y l a d o l n e g o .
K w a r t y l g ó r n y d z i e l i z b i o r o w o [ u p o r z d k o w a n n a d w i e c z [c i w t e n s p o s ó b , |e 7 5 % j e d n o s t e k m a w a r t o [c i c e c h y
n i |s z e a 2 5 % w y |s z e o d k w a r t y l a g ó r n e g o .
8 3 . C o t o j e s t M E D I A N A ?
M e w a r t o [ w y r a z u [r o d k o w e g o w u p o r z d k o w a n y m s z e r e g u s t a t y s t y c z n y m ; t o t a k i p u n k t ( l i c z b a ) k t ó r a i l o [c i o w o
r o z d z i e l a d a n e n a d w i e r ó w n e c z [c i . S p o s ó b o b l i c z a n i a m e d i a n y z a l e |y o d r o d z a j u s z e r e g u s t a t y s t y c z n e g o , w k t ó r y m
p r z e d s t a w i o n o i n f o r m a c j e o w a r t o [c i c e c h y s t a t y s t y c z n e j , a t a k |e o d t e g o c z y l i c z b a j e d n o s t e k s t a t y s t y c z n y c h j e s t
p a r z y s t a c z y n i e p a r z y s t a .
h 0 , 5 ëø n öø
M e = X 0 , 5 + ìø - n 0 , 5 ÷ø
øø
n 0 , 5 íø 2
8 4 . C o t o j e s t D O M I N A N T A ?
( m o d a , w a r t o [ t y p o w a , w a r t o [ m o d a l n a ) j e s t t o w a r t o [ c e c h y , k t ó r a n a j c z [c i e j w y s t p u j e w d a n e j z b i o r o w o [c i . W
z a l e |n o [c i o d f o r m y w k t ó r e j p r z e d s t a w i o n e s i n f o r m a c j e o w a r t o [c i c e c h y j e d n o s t e k s t a t y s t . S t o s u j e s i r ó |n e
t e c h n i k i u s t a l a n i a d o m i n a n t y . W p r z y p a d k u i n d y w i d u a l n e g o s z e r e g u w a r t o [c i c e c h y w a r t o [ d o m i n a n t y n a l e |y j e d y n i e
w s k a z a i j e s t t o w a r t o [ c e c h y k t ó r a n a j c z [c i e j w y s t p u j e w b a d a n e j z b i o r o w o [c i s t a t y s t y c z n e j . W s z e r e g a c h z
c e c h m i e r z a l n z e z m i e n n o [c i s k o k o w w a r t o [ d o m i n a n t y j e s t t o t a w a r t o [ d l a k t ó r e j l i c z e b n o [ c z s t k o w a j e s t
n a j w i k s z a . W s z e r e g u z c e c h m i e r z a l n z e z m i e n n o [c i c i g B w a r t o [ d o m i n a n t y l i c z o n a j e s t w g w z o r u : D x = X d
+ H d ( N d N d - 1 ) / 2 N d N d + 1 N d - 1 ) g d z i e
X d p o c z t e k p r z e d z i a Bu w k t ó r y m z n a j d u j e s i d o m i n a n t a
H d s z e r o k o [ p r z e d z i a Bu , N d i l o [ d a n y c h w p r z e d z i a l e , N d 1 i l o [ d a n y c h w p r z e d z i a l e p o p r z e d z a j c y m
p r z e d z i a B z d o m i n a n t , N d + 1 i l o [ d a n y c h p o p r z e d z i a l e z a w i e r a j c y m d o m i n a n t .
8 5 . J a k a j e s t w z a j e m n a r e l a c j a m i d z y [r e d n i , m e d i a n a d o m i n a n t ?
Zr e d n i a = m e d i a n a = d o m i n a n t a c z y l i w s z y s t k i e t e n d e n c j e m a j t a k s a m w a r t o [- |e l i c z b a j e d n o s t e k s t a t y s t y c z n y c h
k t ó r a p o s i a d a w a r t o [ c e c h y w y |s z e n i | [r e d n i a a r y t m e t y c z n a j e s t t a k a s a m a j a k l i c z b a j e d n o s t e k , k t ó r a p o s i a d a
w a r t o [c i c e c h y n i |s z e n i | [r e d n i a a r y t m e t y c z n a . T a k i r o z k Ba d w a r t o [c i c e c h y w z b i o r o w o [c i o k r e [l a n y j e s t - r o z k Ba d e m
s y m e t r y c z n y m . W a r t o [ [r e d n i e j j e s t w i k s z a n i | w a r t o [ m e d i a n y i w a r t o [ m e d i a n y j e s t w i k s z a o d w a r t o [c i
d o m i n a n t y t j . x > M e > D - o z n a c z a |e w a r t o [ c e c h y w i k s z o [c i j e d n o s t e k s t a t y s t y c z n y c h j e s t n i |s z a o d [r e d n i e j
a r y t m e t y c z n e j . T a k i r o z k Ba d n o s i n a z w r o z k Ba d u o a s y m e t r i i p r a w o s t r o n n e j . W a r t o [ [r e d n i e j j e s t m n i e j s z a n i | w a r t o [
m e d i a n y i w a r t o [ m e d i a n y j e s t m n i e j s z a o d w a r t o [c i d o m i n a n t y t j . x < M e < D - o z n a c z a |e w a r t o [ c e c h y w i k s z o [c i
j e d n o s t e k s t a t y s t y c z n y c h j e s t w y |s z a o d [r e d n i e j a r y t m e t y c z n e j . J e s t t o r o z k Ba d o a s y m e t r i i l e w o s t r o n n e j .
8 6 . W y m i e D m i e r n i k i r o z p r o s z e n i a c e c h y :
- O d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e ( ´x ) j e s t t o p i e r w i a s t e k k w a d r a t o w y z s u m y k w a d r a t ó w o d c h y l e D p o s z c z e g ó l n y c h w a r t o [c i
z m i e n n e j x o d [r e d n i e j a r y t m e t y c z n e j , p o d z i e l o n e j p r z e z l i c z e b n o [ s z e r e g u X + / - S - t y p o w y o b s z a r z m i e n n o [c i m a
2
n
ñø
1
( X i - X )
ôø "
ôø
n
i = 1
s e n s j e [l i u k Ba d j e s t s y m e t r y c z n y w o k ó B [r e d n i e j . S 2 =
òø
2
n
1
ôø
n i ( X i - X )
"
ôø
n
óø i = 1
- W s p ó Bc z y n n i k z m i e n n o [c i j e s t t o s t o s u n e k b e z w z g l d n e j m i a r y o d c h y l e n i a d o [r e d n i e j a r y t m e t y c z n e j , w y r a |o n y w
p r o c e n t a c h .
V = ( S / X s r ) 1 0 0 % . J e |e l i w s p ó Bc z y n n i k j e s t m a By t o d a n e s m n i e j z r ó |n i c o w a n e .
- R o z s t p m i a r a t a o b r a z u j e r ó |n i c e m i d z y w a r t o [c i n a j w i k s z a n a j m n i e j s z w b a d a n e j z b i o r o w o [c i , w y z n a c z a m y
w i c j e j w a r t o [ o d e j m u j c o d n a j w y |s z e j , n a j n i |s z w a r t o [ c e c h y : R = M a x M i n .
8
- O d c h y l e n i e p r z e c i t n e j e s t t o [r e d n i a a r y t m e t y c z n a b e z w z g l d n y c h w a r t o [c i ( m o d u Bó w ) o d c h y l e D w a r t o [c i
n
ñø
1
| X i - X |
ôø "
ôø
n
i = 1
f a k t y c z n y c h s z e r e g u o d [r e d n i e j a r y t m e t y c z n e j . d =
òø
n
1
ôø
n i | X i - X |
"
ôø
n
óø i = 1
O d c h y l e n i e w i a r t k o w e Q = ( Q 3 - Q 1 ) / 2 ; g d z i e Q 3 i 1 o d p o w e i d n i o g ó r n y i d o l n y k w a r t y l .
8 7 . C o m i e r z y r o z s t p ?
O k r e [l a n a j w i k s z r o z b i e |n o [, j a k z a o b s e r w o w a n o w [r ó d w a r t o [c i b a d a n e j c e c h y . M i a r a t a o k r e [l a z r ó |n i c o w a n i e
j e d n o s t e k n a p o d s t a w i e o c e n y w a r t o [c i s k r a j n y c h c e c h y s t a t y s t y c z n e j . W a r t o [c i o m t y m m o g o d p o w i a d a n i e w i e l k i e
l u b w r c z z n i k o m e l i c z e b n o [c i . D l a t e g o t e | n i e j e s t t o p r e c y z y j n a m i a r a z r ó |n i c o w a n i a i s Bu |y j e d y n i e w s t p n e j o c e n i e
z m i e n n o [c i z j a w i s k a . I n f o r m u j e o n a j a k b a r d z o r ó |n i s i w a r t o [c i c e c h y s t a t y s t y c z n e j w o g ó l e .
8 8 . C o m i e r z y o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e ?
O d c h y l e n i e j e s t m i a r k t ó r a p o d o b n i e j a k o d c h y l e n i e p r z e c i t n e , c h a r a k t e r y z u j e p r z e c i t n y p o z i o m o d c h y l e D
f a k t y c z n y c h w a r t o [c i c e c h y o d [r e d n i e j a r y t m e t y c z n e j . J e s t t o m i a r a b a r d z i e j p r e c y z y j n a n i | o d c h y l e n i e p r z e c i t n e .
8 9 . C o m i e r z y w a r i a n c j a ?
W a r i a n c j a D 2 X z m i e n n e j l o s o w e j j e s t l i c z b c h a r a k t e r y z u j c r o z r z u t z b i o r u j e j w a r t o [c i w o k ó B w a r t o [c i E X .
C h a r a k t e r y z u j e z r ó |n i c o w a n i e c e c h y .
9 0 . C o m i e r z y w s p ó Bc z y n n i k z m i e n n o [c i ? -
W p r z y p a d k u k o n i e c z n o [c i p o r ó w n a n i a r o z p r o s z e n i a d w ó c h r ó |n y c h z j a w i s k n a l e |y p o s Bu |y s i w s p ó Bc z y n n i k i e m
z m i e n n o [c i . W s p ó Bc z y n n i k z m i e n n o [c i t o i l o r a z o d c h y l e n i a s t a n d a r d o w e g o i [r e d n i e j w d a n y m r o z k Ba d z i e V = ( s / X s r ) . I m
w y |s z y j e s t t e n p r o c e n t , t y m w i k s z e j e s t w z g l d n e z r ó |n i c o w a n e c e c h y w r o z k Ba d z i e . o i l o r a z o d c h y l e n i a
s t a n d a r d o w e g o i [r e d n i e j w d a n y m r o z k Ba d z i e V = ( s / X s r ) . W s p ó Bc z y n n i k z m i e n n o [c i w y r a |a s i c z s t o p r o c e n t o w o , a b y
o k r e [l i , j a k i p r o c e n t p o z i o m u [r e d n i e j s t a n o i o d c h y l e n i a s t a n d a r d o w e w r o z k Ba d z i e . T e g o t y p u b a d a n i a s s z c z e g ó l n i e
p r z y d a t n e w p o r ó w n y w a n i u z r ó |n i c o w a n i a t a k i c h w i e l k o [c i j a k d o c h o d y , w y d a j n o [ p r a c y , a b s e n c j a w p r a c y w r ó |n y c h
p r z e d s i b i o r s t w a c h l u b d z i a Ba c h j e d n e g o p r z e d s i b i o r s t w a .
9 2 . C o t o j e s t t y p o w y o b s z a r z m i e n n o [c i ?
z w y k l e p r z e d z i a B w k t ó r y m l e | w s z y s t k i e w a r t o [c i , c e c h y m i e r z a l n e j j e d n o s t k i , z b i o r o w o [c i s t a t y s t y c z n e j . O b s z a r
z m i e n n o [c i w y z n a c z a n y j e s t p r z e z n a j m n i e j s z i n a j w i k s z w a r t o [ c e c h y . Z a w i e r a o n p o d s t a w o w e i n f o r m a c j e o
z m i e n n o [c i b a d a n e j c e c h y . Zr e d n i a a r y t m e t y c z n a i o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e p o z w a l a j n a o k r e [l e n i e o b s z a r u w a r t o [c i
t y p o w y c h d l a o k r e [l o n e j z b i o r o w o [c i s t a t y s t y c z n e j . T e n o b s z a r w y z n a c z a n y j e s t j a k o p r z e d z i a B l i c z b o w y , k t ó r e g o d o l n
g r a n i c j e s t w a r t o [ [r e d n i e j a r y t m e t y c z n e j p o m n i e j s z o n a o o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e , a g ó r n g r a n i c j e s t w a r t o [
[r e d n i e j a r y t m e t y c z n e j p o w i k s z o n a o o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e . O b s z a r t y p o w y c h w a r t o [c i c e c h y m o |n a z a p i s a :
( X s r - S , X s r + S )
9 4 . J a k i p r o c e n t p o p u l a c j i z a w i e r a s i m i d z y k w a r t y l a m i .
P o n i e w a | d o l n y k w a r t y l o d c i n a 2 5 % d a n y c h z d o Bu a g ó r n y 2 5 % z g ó r y , t o p o m i d z y n i m i p o z o s t a j e 5 0 % d a n y c h .
9 6 . C o m o |n a p o w i e d z i e o a s y m e t r i i c e c h y , j e |e l i m e d i a n a j e s t [r e d n i z p o z o s t a By c h k w a r t y l i .
J e |e l i m e d i a n a j e s t [r e d n i z p o z o s t a By c h k w a r t y l i , t o [r o d k o w e 5 0 % d a n y c h j e s t s y m e t r y c z n y c h .
9 8 . C o m o |n a p o w i e d z i e o s k o [n o [c i c e c h y , j e |e l i m e d i a n a j e s t w i k s z a o d [r e d n i e j .
J e |e l i m e d i a n a j e s t w i k s z a o d [r e d n i e j t o m a m y d o c z y n i e n i a z a s y m e t r i l e w o s t r o n n .
9 9 - 1 0 0 . J a k i j e s t z a k r e s z m i e n n o [c i w s p ó Bc z y n n i k a k o n c e n t r a c j i L o r e n t z a ?
K o n c e n t r a c j e o c e n i a s i p o p r z e z p o r ó w n a n i e l i c z b y j e d n o s t e k o o k r e [l o n y c h w a r t o [c i a c h c e c h y , j a k Bc z n i e j e d n o s t k i
t e p o s i a d a j . M a Ba l i c z e b n o [ k l a s y w a r t o [c i c e c h y s t a t y s t y c z n e j o r a z z n a c z n a s u m a w a r t o [c i c e c h y , k t ó r j e d n o s t k i t e
Bc z n i e p o s i a d a j [w i a d c z o s i l n e j k o n c e n t r a c j i r o z k Ba d u c e c h y s t a t y s t y c z n e j . W p r z e c i w n y m w y p a d k u n a s t p u j e
r o z d r o b n i e n i e r o z k Ba d u . W s p ó Bc z y n n i k p r z y j m u j e w a r t o [c i z p r z e d z i a Bu < 0 , 0 ; 1 , 0 > i i m w i k s z a j e s t j e g o w a r t o [ t y m
k o n c e n t r a c j e r o z k Ba d u u z n a j e s i z a s i l n i e j s z . W s p ó Bc z y n n i k t e n p r z y j m u j e w a r t o [ 0 , g d y r o z d z i a B o g ó l n e j s u m y
w a r t o [c i c e c h y p r z e b i e g a w e d Bu g l i n i i r ó w n o m i e r n e g o r o z d z i a Bu , z a [ 1 , 0 g d y k r z y w a L o r e n z a p o k r y w a s i z o s i O X .
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