ÿþI n f o r m a t o r m a t u r a l n y
o d 2 0 0 5 r o k u
z m a t e m a t y k i
W a r s z a w a 2 0 0 3
I n f o r m a t o r o p r a c o w a Ba
O k r g o w a K o m i s j a E g z a m i n a c y j n a w K r a k o w i e
w p o r o z u m i e n i u z p o z o s t a By m i k o m i s j a m i o k r g o w y m i
o r a z C e n t r a l n K o m i s j E g z a m i n a c y j n w W a r s z a w i e .
I S B N 8 3 - 8 8 5 6 4 - 3 5 - 8
S P I S T R E ZC I
I . W s t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I I . P o d s t a w y p r a w n e e g z a m i n u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I I I . M a t u r a 2 0 0 5 w p y t a n i a c h u c z n i ó w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I V . S t r u k t u r a i f o r m a e g z a m i n u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
V . W y m a g a n i a e g z a m i n a c y j n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
V I . P r z y k Ba d o w e a r k u s z e i s c h e m a t y o c e n i a n i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
a ) A r k u s z I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3
b ) A r k u s z I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1
V I I . I n f o r m a c j e t e r m i n y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9
3
4
I . W S T P
O d d a j e m y d o r k P a Ds t w a I n f o r m a t o r w n a d z i e i , |e p o m o |e o n p r z y g o t o w a s i
d o e g z a m i n u m a t u r a l n e g o w r o k u 2 0 0 5 i n a s t p n y c h s e s j a c h e g z a m i n a c y j n y c h . Z n a j d
w n i m P a Ds t w o i n f o r m a c j e o p o d s t a w o w y c h a k t a c h p r a w n y c h r e g u l u j c y c h z a s a d y
p r z e p r o w a d z a n i a e g z a m i n ó w , t e k s t S t a n d a r d ó w w y m a g a D e g z a m i n a c y j n y c h d l a w y b r a n e g o
p r z e d m i o t u , o p i s s t r u k t u r y i f o r m y e g z a m i n u z p r z e d m i o t u , k t ó r e g o d o t y c z y I n f o r m a t o r ,
s z c z e g ó Bo w y o p i s w y m a g a D e g z a m i n a c y j n y c h , p r z y k Ba d o w e z a d a n i a e g z a m i n a c y j n e o r a z
i c h u c z n i o w s k i e r o z w i z a n i a .
W r o z d z i a Ba c h M a t u r a 2 0 0 5 w p y t a n i a c h u c z n i ó w i I n f o r m a c j e . . . z n a j d P a Ds t w o
o d p o w i e d z i n a w i k s z o [ p y t a D z a d a w a n y c h w z w i z k u z n o w m a t u r . D a l s z e p y t a n i a
m o |n a k i e r o w a d o C e n t r a l n e j i o k r g o w y c h k o m i s j i e g z a m i n a c y j n y c h , k t ó r y c h a d r e s y
z a m i e s z c z a m y .
W m a j u 2 0 0 5 r . p o r a z p i e r w s z y N o w a M a t u r a s t a n i e s i e g z a m i n e m p o w s z e c h n y m
d l a a b s o l w e n t ó w n o w y c h l i c e ó w o g ó l n o k s z t a Bc c y c h i p r o f i l o w a n y c h , a w l a t a c h
n a s t p n y c h , s u k c e s y w n i e , d l a a b s o l w e n t ó w p o z o s t a By c h s z k ó B p o n a d g i m n a z j a l n y c h . B d z i e
o n a z a t e m s w o i s t y m t e s t e m s p r a w n o [c i i r z e t e l n o [c i s y s t e m u e g z a m i n ó w z e w n t r z n y c h .
O z a s a d a c h t e g o e g z a m i n u i n f o r m u j e m y d w a l a t a p r z e d j e g o p r z e p r o w a d z e n i e m . C h c e m y
b o w i e m p r z e k a z a P a Ds t w u r z e t e l n i n f o r m a c j , l i c z c n a w s z e l k i e u w a g i i k o m e n t a r z e ,
k t ó r e b y m o |e w s k a | n a k o n i e c z n o [ p e w n y c h u s p r a w n i e D w z a s a d a c h m a t u r y .
S u g e r u j e m y z a t e m u w a |n e z a p o z n a n i e s i z I n f o r m a t o r e m . J e s t t o w a |n e z a r ó w n o
d l a P a Ds t w a , j a k i d l a n a s . P a Ds t w o d o w i e d z s i , j a k b d z i e w y g l d a B e g z a m i n , n a t o m i a s t
e w e n t u a l n e u w a g i i k o m e n t a r z e b d p r z y d a t n e d o p o p r a w y j a k o [c i i r z e t e l n o [c i e g z a m i n u
o r a z s p o s o b ó w i n f o r m o w a n i a o n i m .
P a Ds t w a s u k c e s p o d c z a s e g z a m i n u t o r ó w n i e | n a s z a s a t y s f a k c j a . {y c z y m y z a t e m s u k c e s u !
D y r e k t o r C e n t r a l n e j K o m i s j i E g z a m i n a c y j n e j
5
6
I I . P O D S T A W Y P R A W N E E G Z A M I N U
P o d s t a w o w y m a k t e m p r a w n y m w p r o w a d z a j c y m z e w n t r z n y s y s t e m o c e n i a n i a j e s t
U s t a w a o s y s t e m i e o [w i a t y z 1 9 9 1 r . , w r a z z p ó zn i e j s z y m i z m i a n a m i .
A k t a m i p r a w n y m i r e g u l u j c y m i p r z e p r o w a d z a n i e e g z a m i n ó w m a t u r a l n y c h s :
1 . R o z p o r z d z e n i e M i n i s t r a E d u k a c j i N a r o d o w e j i S p o r t u z d n i a 7 s t y c z n i a 2 0 0 3 r .
z m i e n i a j c e r o z p o r z d z e n i e w s p r a w i e w a r u n k ó w i s p o s o b u o c e n i a n i a , k l a s y f i k o w a n i a
i p r o m o w a n i a u c z n i ó w i s Bu c h a c z y o r a z p r z e p r o w a d z a n i a e g z a m i n ó w i s p r a w d z i a n ó w
w s z k o Ba c h p u b l i c z n y c h ( D z U z 2 0 0 3 r . N r 2 6 , p o z . 2 2 5 ) .
2 . R o z p o r z d z e n i e M i n i s t r a E d u k a c j i N a r o d o w e j i S p o r t u z d n i a 1 0 k w i e t n i a 2 0 0 3 r .
z m i e n i a j c e r o z p o r z d z e n i e w s p r a w i e s t a n d a r d ó w w y m a g a D b d c y c h p o d s t a w
p r z e p r o w a d z a n i a s p r a w d z i a n ó w i e g z a m i n ó w ( D z U z 2 0 0 3 r . N r 9 0 , p o z . 8 4 6 ) .
3 . R o z p o r z d z e n i e M i n i s t r a E d u k a c j i N a r o d o w e j z d n i a 1 9 p a zd z i e r n i k a 1 9 9 9 r .
w s p r a w i e w y m a g a D, j a k i m p o w i n n i o d p o w i a d a e g z a m i n a t o r z y o k r g o w y c h k o m i s j i
e g z a m i n a c y j n y c h o r a z w a r u n k ó w w p i s y w a n i a i s k r e [l a n i a e g z a m i n a t o r ó w z e w i d e n c j i
e g z a m i n a t o r ó w ( D z U N r 9 3 , p o z . 1 0 7 1 ) .
7
8
I I I . M A T U R A 2 0 0 5 W P Y T A N I A C H U C Z N I Ó W
1 . P o c o j e s t N o w y e g z a m i n m a t u r a l n y j e s t w p r o w a d z a n y , a b y z a p e w n i :
w p r o w a d z a n a a ) j e d n o l i t o [ z a d a D i k r y t e r i ó w o c e n i a n i a w c a By m
N o w a M a t u r a ? k r a j u ,
b ) p o r ó w n y w a l n o [ w y n i k ó w ,
c ) o b i e k t y w i z m o c e n i a n i a ( k o d o w a n e p r a c e m a t u r a l n e ,
o c e n i a n e p r z e z z e w n t r z n y c h e g z a m i n a t o r ó w ) ,
d ) k o n i e c z n o [ z d a w a n i a t y l k o r a z e g z a m i n u z d a n e g o
p r z e d m i o t u , z a m i a s t o d r b n i e w s z k o l e i o d r b n i e
n a u c z e l n i .
2 . C z y n o w y e g z a m i n N i e , e g z a m i n m a t u r a l n y n i e b d z i e t r u d n i e j s z y o d s t a r e g o
m a t u r a l n y b d z i e e g z a m i n u d o j r z a Bo [c i , b d z i e i n n y . O t r z y m a n e d w a l a t a
t r u d n i e j s z y o d p r z e d e g z a m i n e m i n f o r m a t o r y p o z w o l d o k Ba d n i e p o z n a
s t a r e g o e g z a m i n u j e g o s p e c y f i k .
d o j r z a Bo [c i ?
3 . J a k i e s 1 . E g z a m i n m a t u r a l n y s p r a w d z a w i a d o m o [c i i u m i e j t n o [c i
p o d s t a w o w e z a s a d y o k r e [l o n e w S t a n d a r d a c h w y m a g a D e g z a m i n a c y j n y c h .
e g z a m i n u 2 . E g z a m i n j e s t p r z e p r o w a d z a n y d l a a b s o l w e n t ó w :
m a t u r a l n e g o a ) l i c e ó w o g ó l n o k s z t a Bc c y c h o d 2 0 0 5 r o k u ,
o d r o k u 2 0 0 5 ? b ) l i c e ó w p r o f i l o w a n y c h o d 2 0 0 5 r o k u ,
c ) t e c h n i k ó w o d 2 0 0 6 r o k u ,
d ) u z u p e Bn i a j c y c h l i c e ó w o g ó l n o k s z t a Bc c y c h
o d 2 0 0 6 r o k u ,
e ) t e c h n i k ó w u z u p e Bn i a j c y c h o d 2 0 0 7 r o k u .
3 . E g z a m i n j e s t p r z e p r o w a d z a n y d w a r a z y w r o k u : w s e s j i
z i m o w e j i w i o s e n n e j .
4 . E g z a m i n s k Ba d a s i z c z [c i u s t n e j , o c e n i a n e j p r z e z
n a u c z y c i e l i w s z k o l e i c z [c i p i s e m n e j , o c e n i a n e j p r z e z
e g z a m i n a t o r ó w z e w n t r z n y c h .
5 . W y b ó r p r z e d m i o t u z d a w a n e g o n a e g z a m i n i e n i e j e s t
z a l e |n y o d t y p u s z k o By , d o k t ó r e j u c z s z c z a B z d a j c y ,
a n i o d p r z e d m i o t ó w n a u c z a n y c h w t e j s z k o l e .
6 . H a r m o n o g r a m p r z e b i e g u e g z a m i n ó w u s t a l a d y r e k t o r
C K E i o g Ba s z a g o n a s t r o n i e i n t e r n e t o w e j C K E , n i e
p ó zn i e j n i | 4 m i e s i c e p r z e d t e r m i n e m e g z a m i n u .
4 . J a k i e e g z a m i n y 1 . O b o w i z k o w e s t r z y e g z a m i n y z :
t r z e b a o b o w i z k o w o a ) j z y k a p o l s k i e g o w c z [c i u s t n e j i p i s e m n e j ,
z d a w a n a m a t u r z e ? b ) j z y k a o b c e g o n o w o |y t n e g o w c z [c i u s t n e j
i p i s e m n e j ,
c ) p r z e d m i o t u w y b r a n e g o p r z e z z d a j c e g o ( z d a w a n e g o
t y l k o w c z [c i p i s e m n e j ) s p o [r ó d n a s t p u j c y c h
p r z e d m i o t ó w : b i o l o g i a , c h e m i a , f i z y k a i a s t r o n o m i a ,
g e o g r a f i a , h i s t o r i a , h i s t o r i a m u z y k i , h i s t o r i a s z t u k i ,
m a t e m a t y k a , w i e d z a o s p o Be c z e Ds t w i e , w i e d z a
o t a Dc u .
2 . A b s o l w e n c i s z k ó B i o d d z i a Bó w z n a u c z a n i e m j z y k a d a n e j
m n i e j s z o [c i n a r o d o w e j , o p r ó c z o b o w i z k o w y c h
e g z a m i n ó w w y m i e n i o n y c h w p u n k c i e 1 . , z d a j
d o d a t k o w o e g z a m i n z j z y k a o j c z y s t e g o w c z [c i u s t n e j
i p i s e m n e j .
9
5 . Z j a k i c h A b s o l w e n t m o |e z d a w a e g z a m i n m a t u r a l n y z j e d n e g o ,
p r z e d m i o t ó w d w ó c h l u b t r z e c h p r z e d m i o t ó w d o d a t k o w y c h :
d o d a t k o w y c h m o |n a a ) j z y k a o b c e g o n o w o |y t n e g o , i n n e g o n i |
z d a w a m a t u r ? o b o w i z k o w y w c z [c i u s t n e j i p i s e m n e j ,
b ) j z y k a g r u p y e t n i c z n e j t y l k o w c z [c i u s t n e j
l u b t y l k o w c z [c i p i s e m n e j l u b w o b u c z [c i a c h ,
c ) w c z [c i p i s e m n e j z p r z e d m i o t ó w w y m i e n i o n y c h
w o d p o w i e d z i 1 c n a p y t a n i e 4 . , j e |e l i n i e w y b r a B i c h
j a k o p r z e d m i o t ó w o b o w i z k o w y c h , a t a k |e
z i n f o r m a t y k i , j z y k a g r e c k i e g o i k u l t u r y a n t y c z n e j ,
j z y k a Ba c i Ds k i e g o i k u l t u r y a n t y c z n e j .
6 . N a j a k i m p o z i o m i e 1 . E g z a m i n z p r z e d m i o t ó w o b o w i z k o w y c h m o |e b y
b d z i e m o |n a z d a w a n y n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m l u b r o z s z e r z o n y m
z d a w a z w y j t k i e m c z [c i u s t n e j j z y k a p o l s k i e g o , j z y k a
p o s z c z e g ó l n e m n i e j s z o [c i n a r o d o w e j , k t ó r e s z d a w a n e n a j e d n y m
e g z a m i n y ? p o z i o m i e , o k r e [l o n y m w s t a n d a r d a c h w y m a g a D
e g z a m i n a c y j n y c h .
2 . E g z a m i n z p r z e d m i o t ó w d o d a t k o w y c h j e s t z d a w a n y
n a p o z i o m i e r o z s z e r z o n y m , z w y j t k i e m j z y k a g r u p y
e t n i c z n e j z d a w a n e g o w c z [c i u s t n e j n a j e d n y m
p o z i o m i e .
3 . W y b o r u p o z i o m u e g z a m i n u w c z [c i u s t n e j z d a n e g o
j z y k a o b c e g o z d a j c y d o k o n u j e w p i s e m n e j d e k l a r a c j i
s k Ba d a n e j p r z e w o d n i c z c e m u s z k o l n e g o z e s p o Bu
e g z a m i n a c y j n e g o n a p o c z t k u n a u k i w k l a s i e
m a t u r a l n e j , a w c z [c i p i s e m n e j z e w s z y s t k i c h
p r z e d m i o t ó w o b o w i z k o w y c h w c z a s i e t r w a n i a
e g z a m i n u .
4 . Z d a w a n i e e g z a m i n u w c z [c i p i s e m n e j n a p o z i o m i e
r o z s z e r z o n y m w y m a g a r o z w i z a n i a z a d a D
e g z a m i n a c y j n y c h z a w a r t y c h w a r k u s z u e g z a m i n a c y j n y m
d l a p o z i o m u p o d s t a w o w e g o o r a z z a d a D
e g z a m i n a c y j n y c h z a w a r t y c h w a r k u s z u e g z a m i n a c y j n y m
d l a p o z i o m u r o z s z e r z o n e g o .
7 . G d z i e m o |n a 1 . M a t u r z d a j e s i w e w Ba s n e j s z k o l e , c h y b a |e d y r e k t o r
z d a w a m a t u r ? o k r g o w e j k o m i s j i e g z a m i n a c y j n e j w y z n a c z y i n n e
m i e j s c e .
2 . W s z c z e g ó l n y c h w y p a d k a c h m o |e z a i s t n i e k o n i e c z n o [
z d a w a n i a c z [c i u s t n e j e g z a m i n u z j z y k ó w o b c y c h p o z a
w Ba s n s z k o B ( n p . z p o w o d u b r a k u n a u c z y c i e l i d a n e g o
j z y k a ) .
3 . Z d a j c y , k t ó r z y u k o Dc z y l i s z k o B w l a t a c h p o p r z e d n i c h
l u b w y r a z i l i w o l z d a w a n i a e g z a m i n u w i n n e j s z k o l e
n i | u k o Dc z o n a , s k i e r o w a n i d o s z k o By l u b o [r o d k a
e g z a m i n a c y j n e g o w y z n a c z o n e g o p r z e z k o m i s j
o k r g o w .
8 . K i e d y m o |n a M a t u r m o |n a z d a w a d w a r a z y w r o k u : w m a j u l u b
z d a w a m a t u r ? s t y c z n i u , w e d Bu g h a r m o n o g r a m u u s t a l o n e g o p r z e z
d y r e k t o r a C e n t r a l n e j K o m i s j i E g z a m i n a c y j n e j .
1 0
9 . J a k i e w a r u n k i 1 . S a l a , w k t ó r e j j e s t p r z e p r o w a d z a n y e g z a m i n , m u s i
m u s z b y s p e Bn i a w a r u n k i o k r e [l o n e w p r z e p i s a c h b h p
z a p e w n i o n e w s a l i i p r z e p i s a c h p p o |.
e g z a m i n a c y j n e j ? 2 . P r z y s t o l i k u m o |e s i e d z i e w y Bc z n i e j e d e n z d a j c y .
3 . N a s t o l i k a c h w t r a k c i e p i s a n i a m o g z n a j d o w a s i
j e d y n i e a r k u s z e e g z a m i n a c y j n e , p r z y b o r y p o m o c n i c z e
i p o m o c e d o p u s z c z o n e p r z e z d y r e k t o r a C K E .
4 . Z d a j c y c h o r y l u b n i e p e Bn o s p r a w n y w t r a k c i e e g z a m i n u
m o |e m i e n a s t o l i k u l e k i i i n n e p o m o c e m e d y c z n e
p r z e p i s a n e p r z e z l e k a r z a l u b k o n i e c z n e z e w z g l d u
n a c h o r o b l u b n i e p e Bn o s p r a w n o [.
5 . P o s i Bk i d l a z d a j c y c h i e g z a m i n a t o r ó w m o g b y
d o s t p n e j e d y n i e n a z e w n t r z s a l i e g z a m i n a c y j n e j p o z a
c z a s e m p r z e z n a c z o n y m n a e g z a m i n , z w y j t k i e m
p r z y p a d k ó w , o k t ó r y c h m o w a w p k t 4 .
1 0 . J a k p o w i n i e n b y 1 . W s k Ba d z e s p o Bu n a d z o r u j c e g o p r z e b i e g e g z a m i n u
z o r g a n i z o w a n y w d a n e j s a l i w c h o d z i c o n a j m n i e j t r z e c h n a u c z y c i e l i ,
e g z a m i n ? z t y m |e c o n a j m n i e j j e d e n n a u c z y c i e l p o w i n i e n b y
z a t r u d n i o n y w i n n e j s z k o l e . W s k Ba d z e s p o Bu n i e m o g
w c h o d z i n a u c z y c i e l e d a n e g o p r z e d m i o t u o r a z
w y c h o w a w c a z d a j c y c h .
2 . E g z a m i n p i s e m n y p r z e b i e g a z g o d n i e z h a r m o n o g r a m e m
o k r e [l o n y m p r z e z C K E . S z c z e g ó By e g z a m i n u
z p o s z c z e g ó l n y c h p r z e d m i o t ó w o k r e [l a k a |d o r a z o w o
i n f o r m a c j a z a w a r t a w a r k u s z u e g z a m i n a c y j n y m .
C z a s e g z a m i n u l i c z y s i o d p r z e k a z a n i a z d a j c y m
a r k u s z y e g z a m i n a c y j n y c h .
3 . W c z a s i e e g z a m i n u p i s e m n e g o w s a l i e g z a m i n a c y j n e j
p r z e b y w a j c o n a j m n i e j t r z e j c z Bo n k o w i e z e s p o Bu
n a d z o r u j c e g o .
4 . W c z a s i e e g z a m i n u z d a j c y n i e p o w i n n i o p u s z c z a s a l i
e g z a m i n a c y j n e j . P r z e w o d n i c z c y z e s p o Bu m o |e z e z w o l i
n a o p u s z c z e n i e s a l i t y l k o w s z c z e g ó l n i e u z a s a d n i o n e j
s y t u a c j i , p o z a p e w n i e n i u w a r u n k ó w w y k l u c z a j c y c h
m o |l i w o [ k o n t a k t o w a n i a s i z d a j c e g o z i n n y m i
o s o b a m i , z w y j t k i e m o s ó b u d z i e l a j c y c h p o m o c y
m e d y c z n e j .
5 . C z Bo n k o w i e z e s p o Bu n a d z o r u j c e g o p r z e b i e g e g z a m i n u
n i e m o g u d z i e l a w y j a [n i e D d o t y c z c y c h z a d a D
e g z a m i n a c y j n y c h a n i i c h k o m e n t o w a .
6 . W p r z y p a d k u s t w i e r d z e n i a n i e s a m o d z i e l n e g o
r o z w i z y w a n i a z a d a D e g z a m i n a c y j n y c h p r z e w o d n i c z c y
z e s p o Bu e g z a m i n a c y j n e g o p r z e r y w a e g z a m i n d a n e j
o s o b y i p r o s i o o p u s z c z e n i e s a l i e g z a m i n a c y j n e j .
7 . A r k u s z e e g z a m i n a c y j n e s z b i e r a n e p o z a k o Dc z e n i u
k a |d e j c z [c i e g z a m i n u .
1 1 . I l e c z a s u b d z i e E g z a m i n p i s e m n y z j e d n e g o p r z e d m i o t u b d z i e t r w a B
t r w a Ba m a t u r a ? w z a l e |n o [c i o d p r z e d m i o t u n i e d Bu |e j n i | 3 g o d z i n y
d l a p o z i o m u p o d s t a w o w e g o i n i e d Bu |e j n i | 3 g o d z i n y
d l a p o z i o m u r o z s z e r z o n e g o . C a Ba s e s j a e g z a m i n a c y j n a
b d z i e t r w a Ba o d p o c z t k u m a j a d o k o Dc a c z e r w c a
i o d p o w i e d n i o o d p o c z t k u s t y c z n i a d o k o Dc a l u t e g o .
S e s j a b d z i e s i k o Dc z y r o z d a n i e m [w i a d e c t w d o j r z a Bo [c i .
1 1
1 2 . J a k s p r a w d z a n e s 1 . P o s z c z e g ó l n e a r k u s z e e g z a m i n a c y j n e z k a |d e j c z [c i
p r a c e i o g Ba s z a n e e g z a m i n u z d a n e g o p r z e d m i o t u s s p r a w d z a n e
w y n i k i m a t u r y ? i o c e n i a n e p r z e z e g z a m i n a t o r ó w z e w n t r z n y c h ,
p r z e s z k o l o n y c h p r z e z o k r g o w e k o m i s j e e g z a m i n a c y j n e
i w p i s a n y c h d o e w i d e n c j i e g z a m i n a t o r ó w .
2 . W y n i k e g z a m i n u j e s t w y r a |o n y w p r o c e n t a c h .
3 . W y n i k e g z a m i n u z d o d a t k o w e g o p r z e d m i o t u , o k t ó r y m
m o w a w p y t a n i u 5 p k t c , n i e m a w p By w u n a z d a n i e
e g z a m i n u , a l e o d n o t o w u j e s i g o n a [w i a d e c t w i e
d o j r z a Bo [c i .
4 . K o m i s j a o k r g o w a s p o r z d z a l i s t o s ó b , z a w i e r a j c
u z y s k a n e p r z e z t e o s o b y w y n i k i , i p r z e s y Ba j d o s z k o By
w c e l u o g Bo s z e n i a .
1 3 . K i e d y e g z a m i n E g z a m i n j e s t z d a n y , j e |e l i z d a j c y z k a |d e g o z t r z e c h
m a t u r a l n y o b o w i z k o w y c h e g z a m i n ó w ( w p r z y p a d k u j z y k ó w z a r ó w n o
u z n a w a n y j e s t w c z [c i u s t n e j , j a k i p i s e m n e j ) , u z y s k a B m i n i m u m
z a z d a n y ? 3 0 % p u n k t ó w m o |l i w y c h d o u z y s k a n i a z a d a n y e g z a m i n
n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m . W a r u n e k z d a n i a e g z a m i n u
m a t u r a l n e g o d l a o s ó b z d a j c y c h p o z i o m r o z s z e r z o n y j e s t
t e n s a m , p o n i e w a | k a |d y m u s i n a j p i e r w z d a e g z a m i n n a
p o z i o m i e p o d s t a w o w y m .
1 4 . K i e d y e g z a m i n E g z a m i n u w a |a s i z a n i e z d a n y j e |e l i :
m a t u r a l n y a ) z d a j c y z k t ó r e g o k o l w i e k e g z a m i n u o b o w i z k o w e g o ,
u z n a w a n y j e s t l u b j e g o c z [c i u s t n e j l u b p i s e m n e j o t r z y m a B m n i e j
z a n i e z d a n y ? n i | 3 0 % p u n k t ó w m o |l i w y c h d o u z y s k a n i a ,
b ) w t r a k c i e e g z a m i n u s t w i e r d z o n o , |e z d a j c y p r a c u j e
n i e s a m o d z i e l n i e i j e g o e g z a m i n z o s t a B p r z e r w a n y ,
c ) w t r a k c i e s p r a w d z a n i a e g z a m i n a t o r s t w i e r d z i B
n i e s a m o d z i e l n o [ r o z w i z y w a n i a z a d a D
e g z a m i n a c y j n y c h .
1 5 . C z y n i e z d a n i e u s t n e j N i e p r z e r y w a . Z d a j c y p r z y s t p u j e d o k o l e j n y c h e g z a m i n ó w
c z [c i j e d n e g o w e w c z e [n i e j o g Bo s z o n y c h t e r m i n a c h , n a t o m i a s t n i e z d a n
z e z d a w a n y c h c z [ u s t n d a n e g o e g z a m i n u z d a j e w w y b r a n e j s e s j i
j z y k ó w p r z e r y w a e g z a m i n a c y j n e j .
z d a w a n i e d a l s z e j
c z [c i e g z a m i n u ?
1 6 . C z y p r a c e m a t u r a l n e N a w n i o s e k z d a j c e g o k o m i s j a o k r g o w a u d o s t p n i a
p o s p r a w d z e n i u d o w g l d u s p r a w d z o n e a r k u s z e , w m i e j s c u i c z a s i e
b d d o w g l d u o k r e [l o n y m p r z e z d y r e k t o r a O K E .
d l a z d a j c e g o ?
1 7 . C z y m o |n a 1 . A b s o l w e n t , k t ó r y n i e z d a B e g z a m i n u z o k r e [l o n e g o
p o w t a r z a n i e z d a n y p r z e d m i o t u , m o |e p r z y s t p i p o n o w n i e d o e g z a m i n u
e g z a m i n ? z t e g o p r z e d m i o t u w k o l e j n y c h s e s j a c h e g z a m i n a c y j n y c h
p r z e z 5 l a t .
2 . P o u p By w i e 5 l a t o d d a t y p i e r w s z e g o e g z a m i n u
a b s o l w e n t , o k t ó r y m m o w a w p k t 1 . , z d a j e p o w t ó r n y
e g z a m i n w p e Bn y m z a k r e s i e .
3 . P r z y p o w t ó r n y m e g z a m i n i e z p r z e d m i o t u w y b r a n e g o
a b s o l w e n t m o |e w y b r a i n n e p r z e d m i o t y .
1 2
1 8 . C z y m o |n a A b s o l w e n t , k t ó r y c h c e p o d w y |s z y w y n i k e g z a m i n u
p o p r a w i a w y n i k w c z [c i p i s e m n e j z j e d n e g o l u b k i l k u p r z e d m i o t ó w ,
u z y s k a n y m a p r a w o p r z y s t p i p o n o w n i e d o e g z a m i n u w k o l e j n y c h
n a e g z a m i n i e ? s e s j a c h .
1 9 . K i e d y m o |n a A b s o l w e n t , k t ó r y n i e p r z y s t p i B d o e g z a m i n u l u b p r z e r w a B
p o w t ó r n i e e g z a m i n , m a p r a w o p r z y s t p i d o e g z a m i n u w k o l e j n y c h
p r z y s t p i d o s e s j a c h e g z a m i n a c y j n y c h w s t y c z n i u l u b m a j u k a |d e g o
e g z a m i n u , j e [l i r o k u .
z o s t a B o n
p r z e r w a n y ?
2 0 . K t o m o |e b y 1 . L a u r e a c i i f i n a l i [c i o l i m p i a d p r z e d m i o t o w y c h s z w o l n i e n i
z w o l n i o n y z e g z a m i n u z d a n e g o p r z e d m i o t u .
z e g z a m i n u 2 . L a u r e a t o m i f i n a l i s t o m o l i m p i a d u p r a w n i e n i e w y m i e n i o n e
z d a n e g o w p k t 1 . p r z y s Bu g u j e t a k |e w t e d y , g d y p r z e d m i o t n i e b y B
p r z e d m i o t u ? o b j t y s z k o l n y m p l a n e m n a u c z a n i a d a n e j s z k o By .
3 . O s o b a z w o l n i o n a z e g z a m i n u b d z i e m i a Ba n a
[w i a d e c t w i e d o j r z a Bo [c i w r u b r y c e d a n e g o p r z e d m i o t u
w p i s a n i n f o r m a c j o u z y s k a n y m n a o l i m p i a d z i e t y t u l e .
2 1 . C z y o p r ó c z N i c , p o z a w y n i k a m i z o l i m p i a d y , n i e b d z i e m o g Bo b y
o l i m p i a d i s t n i e j p o d s t a w d o z w o l n i e n i a z e g z a m i n u m a t u r a l n e g o .
i n n e p o d s t a w y d o
z w o l n i e D z
e g z a m i n u l u b j e g o
c z [c i ?
2 2 . J a k i w p By w O c e n y u z y s k a n e w s z k o l e p o n a d g i m n a z j a l n e j z n a j d s i
n a [w i a d e c t w o n a [w i a d e c t w i e u k o Dc z e n i a s z k o By , n a t o m i a s t n a
m a t u r a l n e b d [w i a d e c t w i e d o j r z a Bo [c i b d z a m i e s z c z o n e t y l k o w y n i k i
m i a By o c e n y e g z a m i n ó w m a t u r a l n y c h i w y n i k i o l i m p i a d y , o i l e b d
u z y s k a n e w s z k o l e p o d s t a w z w o l n i e n i a z d a n e g o e g z a m i n u .
p o n a d g i m n a z j a l n e j ?
2 3 . C z y z d a w a n i e M o |n a n i e p r z y s t p i d o m a t u r y , p o n i e w a | n i e j e s t o n a
m a t u r y b d z i e e g z a m i n e m o b o w i z k o w y m . J e d y n i e t e o s o b y , k t ó r e b d
k o n i e c z n e , c h c i a By k o n t y n u o w a n a u k w w y |s z e j u c z e l n i , m u s z z d a
a b y u k o Dc z y e g z a m i n m a t u r a l n y . P o d o b n i e d o n i e k t ó r y c h s z k ó B
s z k o B? p o l i c e a l n y c h n i e w y s t a r c z y [w i a d e c t w o u k o Dc z e n i a s z k o By ,
a l e b d z i e w y m a g a n e [w i a d e c t w o d o j r z a Bo [c i ( n p . s z k o By
d l a p i e l g n i a r e k ) .
2 4 . N a j a k i c h z a s a d a c h 1 . A b s o l w e n c i n i e p e Bn o s p r a w n i l u b n i e s p r a w n i c z a s o w o
z d a j e g z a m i n p r z y s t p u j d o e g z a m i n u w p o w s z e c h n i e
a b s o l w e n c i o b o w i z u j c y c h t e r m i n a c h i w e d Bu g o b o w i z u j c y c h
n i e p e Bn o s p r a w n i ? w y m a g a D e g z a m i n a c y j n y c h , p r z y k r y t e r i a c h i w f o r m i e
d o s t o s o w a n y c h d o r o d z a j u n i e s p r a w n o [c i .
2 . Z a z a p e w n i e n i e w a r u n k ó w i f o r m y p r z e p r o w a d z a n i a
e g z a m i n u o d p o w i e d n i c h d o m o |l i w o [c i z d a j c y c h
o s p e c j a l n y c h p o t r z e b a c h e d u k a c y j n y c h o d p o w i a d a
d y r e k t o r s z k o By .
1 3
2 5 . C z y o s o b y N a p o z i o m i e m a t u r a l n y m n i e p r z e w i d u j e s i r ó |n i c o w a n i a
z d y s l e k s j a r k u s z y d l a o s ó b d y s l e k t y c z n y c h . M o |l i w e b d z i e
r o z w o j o w b d z a s t o s o w a n i e o d r b n y c h k r y t e r i ó w o c e n i a n i a , s t o s o w n i e
r o z w i z y w a i n n e d o o p i n i i z o d p o w i e d n i e j p o r a d n i .
z a d a n i a n i |
p o z o s t a l i z d a j c y ?
2 6 . W j a k i c h s y t u a c j a c h 1 . J e |e l i w t r a k c i e e g z a m i n u w c z [c i u s t n e j l u b p i s e m n e j
m o |n a z Bo |y n i e b y By p r z e s t r z e g a n e p r z e p i s y d o t y c z c e j e g o
o d w o Ba n i e p r z e p r o w a d z e n i a , a b s o l w e n t m o |e w t e r m i n i e 2 d n i
o d e g z a m i n u ? o d d a t y e g z a m i n u z g Bo s i z a s t r z e |e n i a d o d y r e k t o r a
k o m i s j i o k r g o w e j .
2 . D y r e k t o r k o m i s j i o k r g o w e j r o z p a t r u j e z g Bo s z o n e
z a s t r z e |e n i a w t e r m i n i e 7 d n i o d d a t y i c h o t r z y m a n i a .
3 . R o z s t r z y g n i c i a d y r e k t o r a k o m i s j i o k r g o w e j s
o s t a t e c z n e .
2 7 . J a k a b d z i e m a t u r a A b s o l w e n c i s z k ó B l u b o d d z i a Bó w z j z y k i e m n a u c z a n i a
a b s o l w e n t ó w s z k ó B m n i e j s z o [c i n a r o d o w y c h o r a z a b s o l w e n c i s z k ó B
z o j c z y s t y m d w u j z y c z n y c h m o g z d a w a n a e g z a m i n i e p r z e d m i o t
j z y k i e m l u b p r z e d m i o t y w j z y k u p o l s k i m l u b o d p o w i e d n i o w j z y k u
m n i e j s z o [c i d a n e j m n i e j s z o [c i n a r o d o w e j , a l b o w d a n y m j z y k u o b c y m .
n a r o d o w y c h W y b o r u j z y k a , w k t ó r y m b d z i e z d a w a n y p r z e d m i o t ,
i u c z n i ó w s z k ó B a b s o l w e n t d o k o n u j e w r a z z d e k l a r a c j w y b o r u p r z e d m i o t u ,
d w u j z y c z n y c h ? o k t ó r y m m o w a w p y t a n i u 4 .
2 8 . C z y a b s o l w e n c i A b s o l w e n c i s z k ó B z j z y k i e m w y k Ba d o w y m m n i e j s z o [c i
s z k ó B m n i e j s z o [c i n a r o d o w y c h , k t ó r z y z d e c y d u j s i p i s a m a t u r w j z y k u
n a r o d o w y c h , o j c z y s t y m , o t r z y m a j t e s a m e a r k u s z e e g z a m i n a c y j n e c o
w y b i e r a j c e g z a m i n p o z o s t a l i u c z n i o w i e , p r z e t Bu m a c z o n e n a i c h j z y k o j c z y s t y .
z p r z e d m i o t ó w N i e d o t y c z y t o h i s t o r i i P o l s k i i g e o g r a f i i P o l s k i , k t ó r e m u s z
w j z y k u o j c z y s t y m , b y z d a w a n e w j z y k u p o l s k i m .
b d r o z w i z y w a
t e s a m e z a d a n i a
c o p i s z c y m a t u r
w j z y k u p o l s k i m ?
2 9 . C z y m a t u r a z a p e w n i M a t u r a n i e d a j e g w a r a n c j i a u t o m a t y c z n e g o d o s t a n i a s i
d o s t a n i e s i n a s t u d i a . W a r u n k i r e k r u t a c j i n a d a n u c z e l n i u s t a l a s e n a t
n a w y b r a n y t e j u c z e l n i . U s t a w a o s z k o l n i c t w i e w y |s z y m z a s t r z e g a ,
k i e r u n e k s t u d i ó w ? |e u c z e l n i e n i e b d o r g a n i z o w a e g z a m i n ó w w s t p n y c h
d u b l u j c y c h m a t u r . T o z n a c z y , j e |e l i k a n d y d a t n a s t u d i a
z d a B n a m a t u r z e e g z a m i n z w y m a g a n e g o n a d a n y w y d z i a B
p r z e d m i o t u , t o j e g o w y n i k z e g z a m i n u m a t u r a l n e g o b d z i e
b r a n y p o d u w a g w p o s t p o w a n i u k w a l i f i k a c y j n y m .
1 4
I V . S T R U K T U R A I F O R M A E G Z A M I N U
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i j e s t e g z a m i n e m p i s e m n y m s p r a w d z a j c y m w i a d o m o [c i
i u m i e j t n o [c i o k r e [l o n e w S t a n d a r d a c h w y m a g a D e g z a m i n a c y j n y c h i p o l e g a
n a r o z w i z a n i u z a d a D z a w a r t y c h w a r k u s z a c h e g z a m i n a c y j n y c h .
O p i s e g z a m i n u z m a t e m a t y k i w y b r a n e j j a k o p r z e d m i o t o b o w i z k o w y
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i w y b r a n e j j a k o p r z e d m i o t o b o w i z k o w y m o |e b y
z d a w a n y n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m l u b r o z s z e r z o n y m . W y b o r u p o z i o m u e g z a m i n u
z d a j c y d o k o n u j e w c z a s i e e g z a m i n u .
Z e s t a w z a d a D e g z a m i n a c y j n y c h n a e g z a m i n n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m i d l a
c z [c i p i e r w s z e j e g z a m i n u n a p o z i o m i e r o z s z e r z o n y m j e s t t e n s a m .
1 . E g z a m i n n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m t r w a 1 2 0 m i n u t i p o l e g a n a r o z w i z a n i u
z e s t a w u z a d a D e g z a m i n a c y j n y c h w A r k u s z u I , z a w i e r a j c y m z a d a n i a s p r a w d z a j c e
r o z u m i e n i e p o j i u m i e j t n o [ i c h z a s t o s o w a n i a w |y c i u c o d z i e n n y m o r a z z a d a n i a o
c h a r a k t e r z e p r o b l e m o w y m .
2 . E g z a m i n n a p o z i o m i e r o z s z e r z o n y m t r w a 2 7 0 m i n u t i s k Ba d a s i z d w ó c h c z [c i :
a ) c z [ p i e r w s z a t r w a 1 2 0 m i n u t i p o l e g a n a r o z w i z a n i u z e s t a w u z a d a D
e g z a m i n a c y j n y c h w A r k u s z u I , z a w i e r a j c y m t e s a m e z a d a n i a e g z a m i n a c y j n e j a k
d l a p o z i o m u p o d s t a w o w e g o ,
b ) c z [ d r u g a t r w a 1 5 0 m i n u t i p o l e g a n a r o z w i z a n i u z e s t a w u z a d a D
e g z a m i n a c y j n y c h w A r k u s z u I I w y m a g a j c y c h r o z w i z y w a n i a p r o b l e m ó w
m a t e m a t y c z n y c h .
O p i s e g z a m i n u z m a t e m a t y k i w y b r a n e j j a k o p r z e d m i o t d o d a t k o w y
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i w y b r a n e j j a k o p r z e d m i o t d o d a t k o w y j e s t z d a w a n y
t y l k o n a p o z i o m i e r o z s z e r z o n y m .
E g z a m i n t r w a 2 7 0 m i n u t i s k Ba d a s i z d w ó c h c z [c i :
1 ) c z [ p i e r w s z a t r w a 1 2 0 m i n u t i p o l e g a n a r o z w i z a n i u z e s t a w u z a d a D w A r k u s z u I ,
z a w i e r a j c y m z a d a n i a s p r a w d z a j c e r o z u m i e n i e p o j i u m i e j t n o [ i c h z a s t o s o w a n i a
w |y c i u c o d z i e n n y m o r a z z a d a n i a o c h a r a k t e r z e p r o b l e m o w y m ;
2 ) c z [ d r u g a t r w a 1 5 0 m i n u t i p o l e g a n a r o z w i z a n i u z e s t a w u z a d a D
e g z a m i n a c y j n y c h w A r k u s z u I I w y m a g a j c y c h r o z w i z y w a n i a p r o b l e m ó w
m a t e m a t y c z n y c h .
Z e s t a w z a d a D e g z a m i n a c y j n y c h z a m i e s z c z o n y c h w a r k u s z a c h d l a e g z a m i n u
m a t u r a l n e g o z m a t e m a t y k i z d a w a n e j j a k o p r z e d m i o t d o d a t k o w y i d l a p o z i o m u
r o z s z e r z o n e g o e g z a m i n u m a t u r a l n e g o z m a t e m a t y k i z d a w a n e j j a k o p r z e d m i o t
o b o w i z k o w y j e s t t e n s a m .
1 5
Z a s a d y o c e n i a n i a a r k u s z y e g z a m i n a c y j n y c h
1 . P r a c e e g z a m i n a c y j n e s p r a w d z a j i o c e n i a j e g z a m i n a t o r z y p o w o Ba n i p r z e z d y r e k t o r a
o k r g o w e j k o m i s j i e g z a m i n a c y j n e j .
2 . R o z w i z a n i a p o s z c z e g ó l n y c h z a d a D o c e n i a n e s n a p o d s t a w i e s z c z e g ó Bo w y c h
k r y t e r i ó w o c e n i a n i a , j e d n o l i t y c h w c a By m k r a j u .
3 . E g z a m i n a t o r z y , w s z c z e g ó l n o [c i , z w r a c a j u w a g n a :
" p o p r a w n o [ m e r y t o r y c z n r o z w i z a D,
" k o m p l e t n o [ p r e z e n t a c j i r o z w i z a D z a d a D w y k o n a n i e c z s t k o w y c h o b l i c z e D
i p r z e d s t a w i e n i a s p o s o b u r o z u m o w a n i a .
4 . O c e n i a n i u p o d l e g a j t y l k o t e f r a g m e n t y p r a c y z d a j c e g o , k t ó r e d o t y c z p o l e c e n i a .
K o m e n t a r z e , n a w e t p o p r a w n e , n i e m a j c e z w i z k u z p o l e c e n i e m n i e p o d l e g a j
o c e n i a n i u .
5 . G d y d o j e d n e g o p o l e c e n i a z d a j c y p o d a j e k i l k a r o z w i z a D ( j e d n o p r a w i d Bo w e , i n n e
b Bd n e ) , t o e g z a m i n a t o r n i e p r z y z n a j e p u n k t ó w .
6 . C a Bk o w i c i e p o p r a w n e r o z w i z a n i a z a d a D, u w z g l d n i a j c e i n n y t o k r o z u m o w a n i a
n i | p o d a n y w s c h e m a c i e p u n k t o w a n i a , s o c e n i a n e p e Bn l i c z b p u n k t ó w .
7 . Z a p i s y w b r u d n o p i s i e n i e s o c e n i a n e .
8 . P r z y s t p u j c y d o e g z a m i n u m a t u r a l n e g o z m a t e m a t y k i w y b r a n e j j a k o p r z e d m i o t
o b o w i z k o w y z d a B e g z a m i n , j e |e l i z a r o z w i z a n i e z a d a D z A r k u s z a I o t r z y m a B
c o n a j m n i e j 3 0 % p u n k t ó w m o |l i w y c h d o u z y s k a n i a .
9 . W y n i k e g z a m i n u m a t u r a l n e g o z m a t e m a t y k i u s t a l o n y p r z e z k o m i s j o k r g o w
j e s t o s t a t e c z n y .
1 6
V . W Y M A G A N I A E G Z A M I N A C Y J N E
A . S t a n d a r d y w y m a g a D e g z a m i n a c y j n y c h
S t a n d a r d y w y m a g a D, b d c e p o d s t a w p r z e p r o w a d z a n i a e g z a m i n u m a t u r a l n e g o
z m a t e m a t y k i , o b e j m u j t r z y o b s z a r y :
I . W i a d o m o [c i i r o z u m i e n i e
I I . K o r z y s t a n i e z i n f o r m a c j i
I I I . T w o r z e n i e i n f o r m a c j i .
W r a m a c h k a |d e g o o b s z a r u c y f r a m i a r a b s k i m i i l i t e r a m i o z n a c z o n o p o s z c z e g ó l n e
s t a n d a r d y w y n i k a j c e z P o d s t a w y p r o g r a m o w e j .
P r z e d s t a w i a j o n e :
" z a k r e s t r e [c i n a u c z a n i a , n a p o d s t a w i e k t ó r y c h m o |e b y p o d c z a s e g z a m i n u
s p r a w d z a n y s t o p i e D o p a n o w a n i a o k r e [l o n e j w s t a n d a r d z i e u m i e j t n o [c i ,
" r o d z a j e i n f o r m a c j i d o w y k o r z y s t y w a n i a ,
" t y p y i r o d z a j e i n f o r m a c j i d o t w o r z e n i a .
S c h e m a t t e n d o t y c z y p o z i o m u p o d s t a w o w e g o i r o z s z e r z o n e g o .
P r z e d s t a w i o n e p o n i |e j s t a n d a r d y w y m a g a D e g z a m i n a c y j n y c h s d o s Bo w n y m
p r z e n i e s i e n i e m f r a g m e n t u r o z p o r z d z e n i a M i n i s t r a E d u k a c j i N a r o d o w e j i S p o r t u z d n i a
1 0 k w i e t n i a 2 0 0 3 r . z m i e n i a j c e g o r o z p o r z d z e n i e w s p r a w i e s t a n d a r d ó w w y m a g a D
b d c y c h p o d s t a w p r z e p r o w a d z a n i a s p r a w d z i a n ó w i e g z a m i n ó w .
S t a n d a r d y w y m a g a D e g z a m i n a c y j n y c h
I . W I A D O M O ZC I I R O Z U M I E N I E
Z d a j c y w i e , z n a i r o z u m i e :
P O Z I O M P O D S T A W O W Y P O Z I O M R O Z S Z E R Z O N Y
1 ) l i c z b y i i c h z b i o r y : 1 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z :
a ) c o t o j e s t z b i ó r , s u m a , i l o c z y n a ) z a s a d i n d u k c j i m a t e m a t y c z n e j ,
i r ó |n i c a z b i o r ó w , b ) m e t o d y r o z w i z y w a n i a
b ) p o d s t a w o w e p r a w a r a c h u n k u z d a D, i i n t e r p r e t a c j g e o m e t r y c z n r ó w n a D
c ) c o t o j e s t z b i ó r l i c z b r z e c z y w i s t y c h i n i e r ó w n o [c i z w a r t o [c i
i j e g o p o d z b i o r y , l i c z b y n a t u r a l n e b e z w z g l d n ,
( l i c z b y p i e r w s z e ) , l i c z b y c a Bk o w i t e , c ) p r a w a d z i a Ba D n a p o t g a c h
w y m i e r n e i n i e w y m i e r n e , r o z w i n i c i e o w y k Ba d n i k u r z e c z y w i s t y m ,
d z i e s i t n e l i c z b y r z e c z y w i s t e j ,
d ) p r a w a d o t y c z c e d z i a Ba D
a r y t m e t y c z n y c h n a l i c z b a c h
r z e c z y w i s t y c h ,
e ) d e f i n i c j p o t g i o w y k Ba d n i k u
w y m i e r n y m o r a z p r a w a d z i a Ba D
n a p o t g a c h o w y k Ba d n i k u
w y m i e r n y m ,
f ) c o t o j e s t o [ l i c z b o w a
i c o t o j e s t u k Ba d w s p ó Br z d n y c h
n a p Ba s z c z y zn i e ,
1 7
g ) d e f i n i c j p r z e d z i a Bu l i c z b o w e g o
n a o s i o r a z d e f i n i c j s u m y , i l o c z y n u
i r ó |n i c y p r z e d z i a Bó w ,
h ) d e f i n i c j w a r t o [c i b e z w z g l d n e j
l i c z b y r z e c z y w i s t e j i j e j i n t e r p r e t a c j
g e o m e t r y c z n ,
i ) p o j c i e b Bd u p r z y b l i |e n i a o r a z
z a s a d y s z a c o w a n i a w a r t o [c i
l i c z b o w y c h ,
j ) c o t o j e s t p r o c e n t i j a k w y k o n u j e s i
o b l i c z e n i a p r o c e n t o w e ,
2 ) f u n k c j e i i c h w Ba s n o [c i : 2 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z :
a ) d e f i n i c j f u n k c j i o r a z d e f i n i c j a ) d e f i n i c j i w Ba s n o [c i f u n k c j i
w y k r e s u f u n k c j i l i c z b o w e j , r ó |n o w a r t o [c i o w e j ,
b ) p o j c i a : d z i e d z i n a f u n k c j i , m i e j s c e b ) d e f i n i c j i w Ba s n o [c i f u n k c j i
z e r o w e , z b i ó r w a r t o [c i , w a r t o [ p a r z y s t e j , n i e p a r z y s t e j i o k r e s o w e j ,
n a j m n i e j s z a i n a j w i k s z a f u n k c j i c ) d e f i n i c j p r z e k s z t a Bc e n i a w y k r e s u
w d a n y m p r z e d z i a l e , f u n k c j i p r z e z z a m i a n s k a l i i p r z e z
m o n o t o n i c z n o [ f u n k c j i , s y m e t r i w z g l d e m o s i ,
c ) j a k w y k o n a p r z e s u n i c i a w y k r e s u
f u n k c j i w z d Bu | o s i x o r a z o s i y ,
3 ) w i e l o m i a n y i f u n k c j e w y m i e r n e : 3 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z :
a ) d e f i n i c j i w Ba s n o [c i f u n k c j i l i n i o w e j , a ) w z o r y V i é t e a ,
b ) d e f i n i c j i w Ba s n o [c i f u n k c j i b ) s p o s o b y r o z w i z y w a n i a r ó w n a D
k w a d r a t o w e j , j e j w y k r e s i m i e j s c a i n i e r ó w n o [c i k w a d r a t o w y c h
z e r o w e , z p a r a m e t r e m ,
c ) d e f i n i c j w i e l o m i a n u i p r a w a c ) d e f i n i c j f u n k c j i w y m i e r n e j o r a z
d o t y c z c e d z i a Ba D n a w i e l o m i a n a c h : m e t o d y r o z w i z y w a n i a r ó w n a D
d o d a w a n i e , o d e j m o w a n i e , m n o |e n i e i n i e r ó w n o [c i w y m i e r n y c h ,
i d z i e l e n i e , d ) c o t o j e s t d w u m i a n N e w t o n a ,
d ) s p o s o b y r o z k Ba d u w i e l o m i a n u
n a c z y n n i k i ,
e ) t w i e r d z e n i e B é z o u t a ,
f ) d e f i n i c j f u n k c j i h o m o g r a f i c z n e j
i j e j w Ba s n o [c i ,
g ) z a s a d y w y k o n y w a n i a d z i a Ba D
n a w y r a |e n i a c h w y m i e r n y c h ,
h ) s p o s o b y r o z w i z y w a n i a r ó w n a D
w i e l o m i a n o w y c h o r a z r ó w n a D
i n i e r ó w n o [c i z f u n k c j
h o m o g r a f i c z n ,
4 ) f u n k c j w y k Ba d n i c z i l o g a r y t m i c z n :
a ) d e f i n i c j e , w Ba s n o [c i i w y k r e s y f u n k c j i
l o g a r y t m i c z n e j i w y k Ba d n i c z e j ,
b ) m e t o d y r o z w i z y w a n i a r ó w n a D
i n i e r ó w n o [c i w y k Ba d n i c z y c h
i l o g a r y t m i c z n y c h ,
4 ) f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e : 5 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z :
a ) d e f i n i c j e f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h a ) w z o r y r e d u k c y j n e ,
k t a o s t r e g o w t r ó j k c i e b ) s p o s o b y r o z w i z y w a n i a r ó w n a D
p r o s t o k t n y m , t r y g o n o m e t r y c z n y c h ,
b ) p o j c i e m i a r y Bu k o w e j k t a o r a z
d e f i n i c j e , w Ba s n o [c i i w y k r e s y f u n k c j i
t r y g o n o m e t r y c z n y c h d o w o l n e g o
k t a ,
c ) c o t o s t o |s a m o [c i
t r y g o n o m e t r y c z n e ,
1 8
5 ) c i g i l i c z b o w e : 6 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z :
a ) d e f i n i c j c i g u l i c z b o w e g o , a ) p r z y k Ba d y c i g ó w z d e f i n i o w a n y c h
b ) d e f i n i c j c i g u a r y t m e t y c z n e g o r e k u r e n c y j n i e ,
i g e o m e t r y c z n e g o , w z ó r n a n - t y b ) d e f i n i c j g r a n i c y c i g u l i c z b o w e g o
w y r a z , w z ó r n a s u m o r a z s p o s o b y o b l i c z a n i a g r a n i c
n p o c z t k o w y c h w y r a z ó w c i g u c i g ó w ,
a r y t m e t y c z n e g o i g e o m e t r y c z n e g o , c ) p o j c i e s u m y s z e r e g u
c ) c o t o j e s t p r o c e n t s k Ba d a n y , g e o m e t r y c z n e g o ,
o p r o c e n t o w a n i e l o k a t i k r e d y t ó w ,
7 ) c i g Bo [ i p o c h o d n f u n k c j i :
a ) p o j c i e f u n k c j i c i g Be j ,
b ) p o j c i e p o c h o d n e j , j e j i n t e r p r e t a c j
g e o m e t r y c z n i f i z y c z n ,
c ) w z o r y d o o b l i c z a n i a p o c h o d n y c h
w i e l o m i a n ó w i f u n k c j i w y m i e r n y c h ,
d ) z w i z e k p o c h o d n e j z i s t n i e n i e m
e k s t r e m u m i z m o n o t o n i c z n o [c i
f u n k c j i ,
6 ) p l a n i m e t r i : 8 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z :
a ) w Ba s n o [c i c z w o r o k t ó w w y p u k By c h , a ) t w i e r d z e n i e s i n u s ó w i c o s i n u s ó w ,
t w i e r d z e n i e o o k r g u w p i s a n y m b ) p o j c i a : s y m e t r i a o s i o w a ,
w c z w o r o k t i o k r g u o p i s a n y m p r z e s u n i c i e , o b r ó t , s y m e t r i a
n a c z w o r o k c i e , [r o d k o w a o r a z w Ba s n o [c i t y c h
b ) z w i z k i m i a r o w e w f i g u r a c h p Ba s k i c h p r z e k s z t a Bc e D,
z z a s t o s o w a n i e m t r y g o n o m e t r i i , c ) d e f i n i c j w e k t o r a , s u m y w e k t o r ó w
c ) p o j c i e o s i s y m e t r i i i [r o d k a s y m e t r i i i i l o c z y n u w e k t o r a p r z e z l i c z b ,
f i g u r y , d ) d e f i n i c j i w Ba s n o [c i j e d n o k Ba d n o [c i ,
d ) t w i e r d z e n i e T a l e s a i j e g o z w i z e k
z p o d o b i e Ds t w e m ,
e ) c e c h y p o d o b i e Ds t w a t r ó j k t ó w ,
7 ) g e o m e t r i a n a l i t y c z n : 9 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z :
a ) r ó |n e t y p y r ó w n a n i a p r o s t e j a ) r ó w n a n i e o k r g u i n i e r ó w n o [
n a p Ba s z c z y zn i e o r a z o p i s o p i s u j c k o Bo ,
p ó Bp Ba s z c z y z n y z a p o m o c b ) w z a j e m n e p o Bo |e n i e p r o s t e j i o k r g u
n i e r ó w n o [c i , o r a z p a r y o k r g ó w n a p Ba s z c z y zn i e ,
b ) p o j c i e o d l e g Bo [c i n a p Ba s z c z y zn i e
k a r t e z j a Ds k i e j ,
8 ) s t e r e o m e t r i : 1 0 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z :
a ) r o z r ó |n i a : g r a n i a s t o s Bu p y , a ) c o t o s p r z e k r o j e p Ba s k i e
o s t r o s Bu p y , w a l c e , s t o |k i i k u l e , g r a n i a s t o s Bu p ó w i o s t r o s Bu p ó w ,
b ) p o j c i e k t a n a c h y l e n i a p r o s t e j b ) p o j c i e w i e l o [c i a n u f o r e m n e g o ,
d o p Ba s z c z y z n y i k t a d w u [c i e n n e g o ,
c ) z w i z k i m i a r o w e w b r y Ba c h
z z a s t o s o w a n i e m t r y g o n o m e t r i i ,
9 ) r a c h u n e k p r a w d o p o d o b i e Ds t w a : 1 1 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z :
a ) p o j c i a k o m b i n a t o r y c z n e : a ) p o j c i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
p e r m u t a c j e , k o m b i n a c j e , w a r i a c j e w a r u n k o w e g o o r a z t w i e r d z e n i e
z p o w t ó r z e n i a m i i b e z p o w t ó r z e D, o p r a w d o p o d o b i e Ds t w i e c a Bk o w i t y m ,
b ) p o j c i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i j e g o b ) c o t o s z d a r z e n i a n i e z a l e |n e ,
w Ba s n o [c i , c ) s c h e m a t B e r n o u l l i e g o .
c ) e l e m e n t y s t a t y s t y k i o p i s o w e j :
[r e d n i a a r y t m e t y c z n a , [r e d n i a
w a |o n a , m e d i a n a , w a r i a n c j a
i o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e ( l i c z o n e
z p r ó b y ) .
1 9
I I . K O R Z Y S T A N I E Z I N F O R M A C J I
Z d a j c y w y k o r z y s t u j e i p r z e t w a r z a i n f o r m a c j e :
P O Z I O M P O D S T A W O W Y P O Z I O M R O Z S Z E R Z O N Y
1 ) u m i e p o p r a w n i e i n t e r p r e t o w a t e k s t 1 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m ,
m a t e m a t y c z n y :
a ) s t o s u j e p o d a n d e f i n i c j ,
t w i e r d z e n i e l u b w z ó r d o
r o z w i z a n i a p r o b l e m u
m a t e m a t y c z n e g o ,
b ) s t o s u j e p r z e d s t a w i o n y a l g o r y t m
d o r o z w i z a n i a p r o b l e m u
p r a k t y c z n e g o l u b t e o r e t y c z n e g o ,
2 ) p o s i a d a w i e d z i s p r a w n o [ w z a k r e s i e 2 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z
r o z w i z y w a n i a z a d a D m a t e m a t y c z n y c h : z a p i s u j e p r o s t e z a l e |n o [c i i f o r m u Bu j e
a ) p o s Bu g u j e s i z n a n d e f i n i c j l u b w n i o s k i w y n i k a j c e z p o d a n y c h z a p i s ó w
t w i e r d z e n i e m , m a t e m a t y c z n y c h .
b ) o d c z y t u j e i n f o r m a c j e i l o [c i o w e o r a z
j a k o [c i o w e z t a b e l , d i a g r a m ó w
i w y k r e s ó w ,
c ) p o s Bu g u j e s i o d p o w i e d n i m i
m i a r a m i o r a z p r z y b l i |e n i a m i
d z i e s i t n y m i l i c z b r z e c z y w i s t y c h ,
s t o s u j e z a p i s f u n k c y j n y .
I I I . T W O R Z E N I E I N F O R M A C J I
Z d a j c y r o z w i z u j e p r o b l e m y :
P O Z I O M P O D S T A W O W Y P O Z I O M R O Z S Z E R Z O N Y
1 ) a n a l i z u j e s y t u a c j e p r o b l e m o w e : 1 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z
a ) p o d a j e o p i s m a t e m a t y c z n y d a n e j i n t e r p r e t u j e j a k o [c i o w o i n f o r m a c j e
s y t u a c j i ( t a k |e p r a k t y c z n e j ) p r z e d s t a w i o n e w f o r m i e t a b e l ,
w p o s t a c i w y r a |e n i a d i a g r a m ó w , w y k r e s ó w , u s t a l a
a l g e b r a i c z n e g o , f u n k c j i , r ó w n a n i a , z a l e |n o [c i m i d z y n i m i i w y k o r z y s t u j e
n i e r ó w n o [c i , p r z e k s z t a Bc e n i a j e d o a n a l i z y s y t u a c j i p r o b l e m o w y c h
g e o m e t r y c z n e g o i w y k o r z y s t u j e i r o z w i z y w a n i a p r o b l e m ó w ,
g o d o r o z w i z a n i a p r o b l e m u ,
b ) d o b i e r a o d p o w i e d n i a l g o r y t m
d o w s k a z a n e j s y t u a c j i p r o b l e m o w e j
i o c e n i a p r z y d a t n o [ o t r z y m a n y c h
w y n i k ó w ,
c ) p r z e t w a r z a i n f o r m a c j e
p r z e d s t a w i o n e w p o s t a c i w y r a |e n i a
a l g e b r a i c z n e g o , r ó w n a n i a , w z o r u ,
w y k r e s u f u n k c j i l u b o p i s u s Bo w n e g o
w i n n p o s t a u Ba t w i a j c
r o z w i z a n i e p r o b l e m u ,
d ) s t o s u j e d e f i n i c j e i t w i e r d z e n i a
d o r o z w i z y w a n i a p r o b l e m ó w ,
2 ) p o t r a f i a r g u m e n t o w a i p r o w a d z i 2 ) j a k n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m o r a z
r o z u m o w a n i e t y p u m a t e m a t y c z n e g o : p r z e p r o w a d z a d o w ó d t w i e r d z e n i a .
a ) i n t e r p r e t u j e t r e [ z a d a n i a , z a p i s u j e
w a r u n k i i z a l e |n o [c i m i d z y
o b i e k t a m i m a t e m a t y c z n y m i ,
2 0
a n a l i z u j e i i n t e r p r e t u j e o t r z y m a n e
w y n i k i ,
b ) f o r m u Bu j e i u z a s a d n i a w n i o s k i
o r a z o p i s u j e j e w s p o s ó b c z y t e l n y
i p o p r a w n y j z y k o w o .
B . O p i s w y m a g a D e g z a m i n a c y j n y c h
Z z a p i s ó w u s t a w o w y c h w y n i k a , |e i n f o r m a t o r p o w i n i e n z a w i e r a s z c z e g ó Bo w y o p i s
z a k r e s u e g z a m i n u . S t a n d a r d y , b d c e d o s t a t e c z n w s k a z ó w k d l a k o n s t r u k t o r ó w
a r k u s z y e g z a m i n a c y j n y c h , m o g b y , n a s z y m z d a n i e m , n i e w y s t a r c z a j c w s k a z ó w k
d l a o s ó b p r z y g o t o w u j c y c h s i d o e g z a m i n u m a t u r a l n e g o . D l a t e g o p r z y g o t o w a l i [m y o p i s
w y m a g a D e g z a m i n a c y j n y c h , k t ó r y u s z c z e g ó Bo w i a z a k r e s t r e [c i o r a z r o d z a j e i n f o r m a c j i
w y k o r z y s t y w a n y c h b d z t w o r z o n y c h .
S c h e m a t t e n d o t y c z y p o z i o m u p o d s t a w o w e g o i r o z s z e r z o n e g o .
P o n i |e j p r e z e n t u j e m y s z c z e g ó Bo w y o p i s w y m a g a D e g z a m i n a c y j n y c h z m a t e m a t y k i .
U w a g a : t e k s t p i s a n y p o g r u b i o n k u r s y w d o t y c z y w i a d o m o [c i i u m i e j t n o [c i
w y m a g a n y c h n a p o z i o m i e r o z s z e r z o n y m .
O P I S W Y M A G A C
D z i a B
Z d a j c y z n a : Z d a j c y p o t r a f i :
a ) w y z n a c z a : s u m , i l o c z y n , r ó |n i c z b i o r ó w ,
b ) w y z n a c z a d o p e Bn i e n i e z b i o r u ,
1 . Z b i o r y ; s u m a , c ) s t o s o w a w Ba s n o [c i d z i a Ba D n a z b i o r a c h ,
i l o c z y n , r ó |n i c a d ) s t o s o w a j z y k m a t e m a t y k i w z a p i s i e r o z w i z a D
z b i o r ó w . z a d a D,
P o d s t a w o w e p o j c i a e ) s t o s o w a a l t e r n a t y w , k o n i u n k c j , i m p l i k a c j ,
r a c h u n k u z d a D. r ó w n o w a |n o [ z d a D o r a z z a p r z e c z e n i e z d a n i a ,
f ) s t o s o w a p r a w a l o g i c z n e w d o w o d z e n i u
t w i e r d z e D;
a ) p l a n o w a i w y k o n y w a o b l i c z e n i a ,
2 . Z b i ó r l i c z b
b ) p o r ó w n y w a l i c z b y w y m i e r n e , r z e c z y w i s t e ,
r z e c z y w i s t y c h
c ) p r z e d s t a w i a l i c z b y w y m i e r n e w r ó |n y c h
i j e g o p o d z b i o r y :
p o s t a c i a c h ( u Ba m e k z w y k By , u Ba m e k d z i e s i t n y ) ,
l i c z b y n a t u r a l n e
d ) u s u w a n i e w y m i e r n o [ z m i a n o w n i k a u Ba m k a ,
( l i c z b y p i e r w s z e ) ,
e ) w y z n a c z a p r z y b l i |e n i a d z i e s i t n e d a n e j l i c z b y
l i c z b y c a Bk o w i t e ,
r z e c z y w i s t e j z z a d a n d o k Ba d n o [c i ( r ó w n i e |
w y m i e r n e
z u |y c i e m k a l k u l a t o r a ) ,
i n i e w y m i e r n e .
f ) w y k o n y w a d z i a Ba n i a n a w y r a |e n i a c h
R o z w i n i c i e
a l g e b r a i c z n y c h ( w t y m s t o s o w a w z o r y s k r ó c o n e g o
d z i e s i t n e l i c z b y
m n o |e n i a , r ó w n i e | n a s z e [c i a n s u m y i r ó |n i c y o r a z
r z e c z y w i s t e j .
s u m i r ó |n i c s z e [c i a n ó w ) ;
3 . D z i a Ba n i a n a
p o t g a c h . P o t g a w y k o n y w a d z i a Ba n i a n a p o t g a c h o w y k Ba d n i k a c h
o w y k Ba d n i k u c a Bk o w i t y c h i w y m i e r n y c h ;
w y m i e r n y m .
2 1
I . L I C Z B Y I I C H Z B I O R Y
4 . O [ l i c z b o w a .
a ) z a p i s y w a z a p o m o c p r z e d z i a Bó w z b i o r y o p i s a n e
P r z e d z i a By n a o s i
n i e r ó w n o [c i a m i ,
l i c z b o w e j .
b ) w y z n a c z a s u m , i l o c z y n , r ó |n i c , d o p e Bn i e n i e
S u m y p r z e d z i a Bó w ;
p r z e d z i a Bó w l i c z b o w y c h o r a z i n n y c h p o d z b i o r ó w
i l o c z y n y i r ó |n i c e
z b i o r u l i c z b r z e c z y w i s t y c h ;
t a k i c h z b i o r ó w .
a ) o b l i c z a w a r t o [ b e z w z g l d n l i c z b y ,
5 . W a r t o [
b ) z a z n a c z a n a o s i l i c z b o w e j z b i o r y o p i s a n e z a
b e z w z g l d n a l i c z b y
p o m o c r ó w n a D i n i e r ó w n o [c i z w a r t o [c i
r z e c z y w i s t e j .
b e z w z g l d n t y p u : x - a = b , x - a < b ,
I n t e r p r e t a c j a
x - a > b ,
g e o m e t r y c z n a .
c ) o b l i c z a o d l e g Bo [ p u n k t ó w n a o s i l i c z b o w e j ;
6 . P o j c i e b Bd u
p r z y b l i |e n i a . a ) s z a c o w a w y n i k i o b l i c z e D z z a d a n d o k Ba d n o [c i ,
S z a c o w a n i e b ) w y z n a c z a b Bd w z g l d n y i b e z w z g l d n y ,
w a r t o [c i l i c z b o w y c h . c ) p o s Bu g i w a s i p r o c e n t e m w r o z w i z y w a n i u z a d a D,
O b l i c z e n i a d ) p o r ó w n y w a w i e l k o [c i ;
p r o c e n t o w e .
7 . I n d u k c j a s t o s o w a z a s a d i n d u k c j i m a t e m a t y c z n e j
m a t e m a t y c z n a . w d o w o d z e n i u t w i e r d z e D;
a ) r o z w i z y w a r ó w n a n i a , n i e r ó w n o [c i i u k Ba d y
8 . R ó w n a n i a
r ó w n a D l i n i o w y c h z w a r t o [c i b e z w z g l d n ,
i n i e r ó w n o [c i
b ) s t o s o w a d e f i n i c j w a r t o [c i b e z w z g l d n e j
z w a r t o [c i
l i c z b y r z e c z y w i s t e j i j e j w Ba s n o [c i
b e z w z g l d n
( n p . : - x = x , x e" 0 , x y = x Å" y )
i i c h i n t e r p r e t a c j a
g e o m e t r y c z n a .
w r o z w i z y w a n i u z a d a D;
a ) p o d a w a p r z y k Ba d y f u n k c j i ,
b ) o k r e [l a f u n k c j w z o r e m , t a b e l k , w y k r e s e m ,
1 . P o j c i e f u n k c j i .
g r a f e m , o p i s e m s Bo w n y m ,
W y k r e s f u n k c j i
c ) w y z n a c z a w a r t o [ f u n k c j i d l a d a n e g o a r g u m e n t u ,
l i c z b o w e j .
d ) s z k i c o w a w y k r e s f u n k c j i o k r e [l o n e j : g r a f e m ,
t a b e l k , w z o r e m , s Bo w n i e ;
a ) o k r e [l a z w y k r e s u :
" d z i e d z i n f u n k c j i ,
2 . W y z n a c z a n i e " z b i ó r w a r t o [c i f u n k c j i ,
d z i e d z i n y f u n k c j i , " w a r t o [ f u n k c j i m a j c d a n y a r g u m e n t ,
j e j m i e j s c z e r o w y c h , " a r g u m e n t m a j c d a n w a r t o [ f u n k c j i ,
z b i o r u w a r t o [c i , " m i e j s c a z e r o w e f u n k c j i ,
w a r t o [c i n a j w i k s z e j " p r z e d z i a By m o n o t o n i c z n o [c i f u n k c j i ,
i n a j m n i e j s z e j " z b i ó r a r g u m e n t ó w , d l a k t ó r y c h f u n k c j a
w d a n y m p r z e d z i a l e , p r z y j m u j e w a r t o [c i d o d a t n i e ( u j e m n e ) ,
p r z e d z i a Bó w " n a j m n i e j s z i n a j w i k s z w a r t o [ f u n k c j i ,
m o n o t o n i c z n o [c i . b ) w y z n a c z a d z i e d z i n f u n k c j i o k r e [l o n e j w z o r e m ,
c ) b a d a m o n o t o n i c z n o [ f u n k c j i n a p o d s t a w i e
d e f i n i c j i ;
3 . Z a s t o s o w a n i a a ) o k r e [l a z a l e |n o [ f u n k c y j n m i d z y w i e l k o [c i a m i
f u n k c j i d o o p i s u l i c z b o w y m i ,
z a l e |n o [c i b ) o p i s y w a z a p o m o c f u n k c j i z a l e |n o [c i
w p r z y r o d z i e , w p r z y r o d z i e , g o s p o d a r c e i |y c i u c o d z i e n n y m ,
g o s p o d a r c e c ) i n t e r p r e t o w a z a l e |n o [c i f u n k c y j n e n a p o d s t a w i e
i |y c i u c o d z i e n n y m . d a n e g o w z o r u ;
2 2
I . L I C Z B Y I I C H Z B I O R Y
I I . F U N K C J E I I C H W AA S N O ZC I
a ) p r z e s u w a w y k r e s f u n k c j i w z d Bu | o s i x l u b o s i y
4 . P r z e s u w a n i e u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h ,
w y k r e s u f u n k c j i b ) p r z e s u w a w y k r e s f u n k c j i o d a n y w e k t o r ,
w z d Bu | o s i x i o s i y . c ) z a p i s y w a w z ó r f u n k c j i o t r z y m a n e j w w y n i k u
p r z e s u n i c i a o d a n y w e k t o r ;
a ) o k r e [l a n a p o d s t a w i e w y k r e s u
5 . R ó |n o w a r t o [c i o - r ó |n o w a r t o [c i o w o [ f u n k c j i ,
w o [ f u n k c j i . b ) b a d a r ó |n o w a r t o [c i o w o [ f u n k c j i
z w y k o r z y s t a n i e m d e f i n i c j i ;
a ) o k r e [l a n a p o d s t a w i e w y k r e s u p a r z y s t o [,
6 . F u n k c j e p a r z y s t e ,
n i e p a r z y s t o [ i o k r e s o w o [ f u n k c j i ,
n i e p a r z y s t e ,
b ) b a d a z w y k o r z y s t a n i e m d e f i n i c j i : p a r z y s t o [,
o k r e s o w e .
n i e p a r z y s t o [, o k r e s o w o [ f u n k c j i ;
a ) n a p o d s t a w i e d a n e g o w y k r e s u f u n k c j i
y = f x s p o r z d z a w y k r e s y f u n k c j i :
( )
7 . P r z e k s z t a Bc a n i e
y = - f x , y = f , y = - f ,
( ) ( - x
) ( - x
)
w y k r e s u f u n k c j i
p r z e z z m i a n s k a l i y = f x - a + b , y = k Å" f x , y = f k Å" x ,
( ) ( ) ( )
i p r z e z s y m e t r i
y = f x , y = f x ,
( ) ( )
w z g l d e m o s i .
b ) z a p i s y w a w z ó r f u n k c j i o t r z y m a n e j w w y n i k u
d a n e g o p r z e k s z t a Bc e n i a ;
a ) s p o r z d z a w y k r e s f u n k c j i l i n i o w e j ,
b ) p o d a w a w z ó r f u n k c j i l i n i o w e j o z a d a n y c h
w Ba s n o [c i a c h ,
c ) r o z w i z y w a r ó w n a n i a i n i e r ó w n o [c i l i n i o w e
z j e d n n i e w i a d o m ,
d ) o k r e [l a l i c z b r o z w i z a D r ó w n a n i a l i n i o w e g o
z j e d n n i e w i a d o m ,
e ) r o z w i z y w a z a d a n i a t e k s t o w e p r o w a d z c e
d o r ó w n a D i n i e r ó w n o [c i l i n i o w y c h z j e d n
n i e w i a d o m ,
1 . F u n k c j a l i n i o w a f ) r o z w i z y w a a l g e b r a i c z n i e i g r a f i c z n i e u k Ba d y
r ó w n a D l i n i o w y c h z d w i e m a n i e w i a d o m y m i ,
g ) r o z w i z y w a z a d a n i a t e k s t o w e p r o w a d z c e
d o u k Ba d ó w r ó w n a D l i n i o w y c h z d w i e m a
n i e w i a d o m y m i ,
h ) r o z w i z y w a u k Ba d y t r z e c h r ó w n a D l i n i o w y c h
z t r z e m a n i e w i a d o m y m i ,
i ) r o z w i z y w a u k Ba d y d w ó c h r ó w n a D l i n i o w y c h
z p a r a m e t r e m ( w t y m o k r e [l a l i c z b
r o z w i z a D u k Ba d u w z a l e |n o [c i
o d p a r a m e t r u ) ;
a ) w y z n a c z a m i e j s c a z e r o w e f u n k c j i k w a d r a t o w e j ,
b ) p r z e d s t a w i a f u n k c j k w a d r a t o w w r ó |n y c h
p o s t a c i a c h : o g ó l n e j , i l o c z y n o w e j , k a n o n i c z n e j ,
c ) s p o r z d z a w y k r e s y f u n k c j i k w a d r a t o w y c h ,
2 . T r ó j m i a n d ) o d c z y t y w a w Ba s n o [c i f u n k c j i k w a d r a t o w e j
k w a d r a t o w y z j e j w y k r e s u ,
i j e g o p i e r w i a s t k i . e ) o k r e [l a p r z e d z i a By m o n o t o n i c z n o [c i f u n k c j i
W y k r e s f u n k c j i k w a d r a t o w e j ,
k w a d r a t o w e j . f ) w y z n a c z a n a j w i k s z i n a j m n i e j s z w a r t o [
f u n k c j i k w a d r a t o w e j w p r z e d z i a l e ,
g ) w y k o r z y s t y w a w Ba s n o [c i f u n k c j i k w a d r a t o w e j
i j e j w y k r e s u d o r o z w i z y w a n i a z a d a D
o p t y m a l i z a c y j n y c h ;
2 3
I I . F U N K C J E I I C H W AA S N O ZC I
I I I . W I E L O M I A N Y I F U N K C J E W Y M I E R N E
a ) r o z w i z y w a r ó w n a n i a i n i e r ó w n o [c i k w a d r a t o w e
z j e d n n i e w i a d o m ,
b ) g r a f i c z n i e r o z w i z y w a r ó w n a n i a i n i e r ó w n o [c i
k w a d r a t o w e z j e d n n i e w i a d o m ,
3 . R o z w i z y w a n i e c ) r o z w i z y w a z a d a n i a t e k s t o w e p r o w a d z c e
z a d a D d o r ó w n a D i n i e r ó w n o [c i k w a d r a t o w y c h z j e d n
p r o w a d z c y c h n i e w i a d o m ,
d o r ó w n a D d ) s t o s o w a w z o r y V i e t e a ,
i n i e r ó w n o [c i e ) r o z w i z y w a r ó w n a n i a , n i e r ó w n o [c i i u k Ba d y
s t o p n i a d r u g i e g o . r ó w n a D s t o p n i a d r u g i e g o z w a r t o [c i
b e z w z g l d n l u b z p a r a m e t r e m ,
f ) r o z w i z y w a a l g e b r a i c z n i e i g r a f i c z n i e u k Ba d y
r ó w n a D z d w i e m a n i e w i a d o m y m i , z k t ó r y c h
p r z y n a j m n i e j j e d n o j e s t s t o p n i a d r u g i e g o ;
a ) r o z p o z n a w a w i e l o m i a n j e d n e j z m i e n n e j i o k r e [l a
4 . W i e l o m i a n y . j e g o s t o p i e D,
D z i a Ba n i a n a b ) w y k o n y w a d z i a Ba n i a ( d o d a w a n i e , o d e j m o w a n i e ,
w i e l o m i a n a c h . m n o |e n i e ) n a w i e l o m i a n a c h j e d n e j z m i e n n e j ,
c ) r o z p o z n a w a w i e l o m i a n y r ó w n e ;
a ) w y k o n y w a d z i e l e n i e w i e l o m i a n u p r z e z w i e l o m i a n ,
5 . D z i e l e n i e
b ) s p r a w d z a , c z y l i c z b a j e s t p i e r w i a s t k i e m
w i e l o m i a n ó w
w i e l o m i a n u ,
z r e s z t .
c ) r o z k Ba d a w i e l o m i a n y n a c z y n n i k i m i d z y i n n y m i
T w i e r d z e n i e
z w y k o r z y s t a n i e m t w i e r d z e n i a B é z o u t a o r a z
B é z o u t a .
t w i e r d z e n i a o w y m i e r n y c h p i e r w i a s t k a c h
Z a s t o s o w a n i e
w i e l o m i a n u o w s p ó Bc z y n n i k a c h c a Bk o w i t y c h ,
d o z n a j d o w a n i a
d ) r o z w i z y w a r ó w n a n i a w i e l o m i a n o w e ,
p i e r w i a s t k ó w
e ) o k r e [l a k r o t n o [ p i e r w i a s t k a w i e l o m i a n u ,
w i e l o m i a n ó w
f ) r o z w i z y w a r ó w n a n i a , n i e r ó w n o [c i
m e t o d r o z k Ba d a n i a
w i e l o m i a n o w e z w a r t o [c i b e z w z g l d n l u b
n a c z y n n i k i .
z p a r a m e t r e m ;
a ) o k r e [l a d z i e d z i n w y r a |e n i a w y m i e r n e g o ,
b ) w y k o n y w a d z i a Ba n i a n a w y r a |e n i a c h w y m i e r n y c h ,
6 . D z i a Ba n i a n a
c ) o k r e [l a d z i e d z i n i z b i ó r w a r t o [c i f u n k c j i
w y r a |e n i a c h
h o m o g r a f i c z n e j ,
w y m i e r n y c h .
d ) s z k i c o w a w y k r e s y f u n k c j i h o m o g r a f i c z n y c h ,
F u n k c j a
e ) w y z n a c z a m i e j s c e z e r o w e f u n k c j i h o m o g r a f i c z n e j ,
h o m o g r a f i c z n a .
f ) w y z n a c z a p r z e d z i a By m o n o t o n i c z n o [c i f u n k c j i
h o m o g r a f i c z n e j ;
7 . R o z w i z y w a n i e
r ó w n a D
r o z w i z y w a r ó w n a n i a i n i e r ó w n o [c i z w i z a n e
i n i e r ó w n o [c i
z f u n k c j h o m o g r a f i c z n ;
z f u n k c j
h o m o g r a f i c z n .
8 . D e f i n i c j a f u n k c j i a ) w y z n a c z a d z i e d z i n f u n k c j i w y m i e r n e j ,
w y m i e r n e j . b ) r o z w i z y w a r ó w n a n i a i n i e r ó w n o [c i
R o z w i z y w a n i e w y m i e r n e ,
r ó w n a D c ) r o z w i z y w a r ó w n a n i a , n i e r ó w n o [c i o r a z
i n i e r ó w n o [c i u k Ba d y r ó w n a D i n i e r ó w n o [c i w y m i e r n y c h
w y m i e r n y c h . z w a r t o [c i b e z w z g l d n l u b z p a r a m e t r e m ;
a ) o b l i c z a w s p ó Bc z y n n i k i r o z w i n i c i a d w u m i a n u
9 . D w u m i a n N e w t o n a ,
N e w t o n a . b ) k o r z y s t a z d w u m i a n u N e w t o n a
w r o z w i z y w a n i u z a d a D;
2 4
I I I . W I E L O M I A N Y I F U N K C J E W Y M I E R N E
a ) o b l i c z a w a r t o [c i f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h k t a
1 . F u n k c j e
o s t r e g o o r a z w y z n a c z a m i a r k t a , g d y d a n a j e s t
t r y g o n o m e t r y c z n e
w a r t o [ f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n e j t e g o k t a ,
k t a o s t r e g o
b ) r o z w i z y w a z a d a n i a g e o m e t r y c z n e z
w t r ó j k c i e
w y k o r z y s t a n i e m f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h k t a
p r o s t o k t n y m .
o s t r e g o w t r ó j k c i e p r o s t o k t n y m ;
2 . M i a r a Bu k o w a k t a .
a ) s t o s o w a m i a r Bu k o w i s t o p n i o w k t a ,
D e f i n i c j a f u n k c j i
b ) s t o s o w a d e f i n i c j e f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h
t r y g o n o m e t r y c z n y c h
d o w o l n e g o k t a o r a z z m i e n n e j r z e c z y w i s t e j ;
d o w o l n e g o k t a .
3 . W y k r e s y f u n k c j i s z k i c o w a w y k r e s y f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h
t r y g o n o m e t r y c z n y c h . i n a p o d s t a w i e w y k r e s u o k r e [l a i c h w Ba s n o [c i ;
a ) s t o s o w a z w i z k i m i d z y f u n k c j a m i
t r y g o n o m e t r y c z n y m i t e g o s a m e g o k t a d o
d o w o d z e n i a t o |s a m o [c i t r y g o n o m e t r y c z n y c h :
s i n ±
s i n 2 ± + c o s 2 ± = 1 , t g ± = , t g ± Å" c t g ± = 1 ,
4 . N a j p r o s t s z e
c o s ±
t o |s a m o [c i
b ) s t o s o w a w z o r y n a f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e
t r y g o n o m e t r y c z n e .
s u m y i r ó |n i c y k t ó w , w z o r y n a s u m y
i r ó |n i c e f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h , w z o r y
n a f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e w i e l o k r o t n o [c i
k t a ;
5 . W z o r y s t o s o w a w z o r y r e d u k c y j n e d o p r z e k s z t a Bc a n i a
r e d u k c y j n e . w y r a |e D t r y g o n o m e t r y c z n y c h ;
r o z w i z y w a r ó w n a n i a t r y g o n o m e t r y c z n e
6 . P r o s t e r ó w n a n i a
( r ó w n i e | z w y k o r z y s t a n i e m w z o r ó w
t r y g o n o m e t r y c z n e .
w y m i e n i o n y c h w p k t . 4 b i 5 a ) ;
a ) o k r e [l a c i g w z o r e m o g ó l n y m ,
b ) w y z n a c z a w y r a z y c i g u o k r e [l o n e g o w z o r e m
1 . D e f i n i c j a i p r z y k Ba d y o g ó l n y m ,
c i g ó w l i c z b o w y c h . c ) s p o r z d z a w y k r e s d a n e g o c i g u ,
d ) p o d a w a w Ba s n o [c i c i g u n a p o d s t a w i e j e g o
w y k r e s u ;
a ) b a d a c z y c i g j e s t a r y t m e t y c z n y ( g e o m e t r y c z n y ) ,
2 . C i g a r y t m e t y c z n y
b ) w y z n a c z a c i g a r y t m e t y c z n y ( g e o m e t r y c z n y )
i g e o m e t r y c z n y .
n a p o d s t a w i e w s k a z a n y c h d a n y c h ,
W z ó r n a n - t y
c ) o b l i c z a s u m n k o l e j n y c h w y r a z ó w c i g u
w y r a z .
a r y t m e t y c z n e g o ( g e o m e t r y c z n e g o ) ,
W z ó r n a s u m
d ) s t o s o w a w Ba s n o [c i c i g u a r y t m e t y c z n e g o
n p o c z t k o w y c h
( g e o m e t r y c z n e g o ) w z a d a n i a c h ( t a k |e
w y r a z ó w .
t e k s t o w y c h ) ;
3 . P r o c e n t s k Ba d a n y .
s t o s o w a p r o c e n t s k Ba d a n y w z a d a n i a c h r ó w n i e |
O p r o c e n t o w a n i e
d o t y c z c y c h o p r o c e n t o w a n i a l o k a t i k r e d y t ó w ;
l o k a t i k r e d y t ó w .
a ) o k r e [l a c i g w z o r e m r e k u r e n c y j n y m ,
4 . P r z y k Ba d y c i g ó w
b ) n a p o d s t a w i e o k r e [l e n i a r e k u r e n c y j n e g o
z d e f i n i o w a n y c h
c i g u p o d a w a w z ó r o g ó l n y n a n - t y w y r a z
r e k u r e n c y j n i e .
t e g o c i g u ;
2 5
I V . F U N K C J E T R Y G O N O M E T R Y C Z N E
V . C I G I L I C Z B O W E
a ) p o d a w a p r z y k Ba d y c i g ó w : z b i e |n e g o ,
r o z b i e |n e g o ,
b ) s t o s o w a t w i e r d z e n i a o g r a n i c y s u m y ,
5 . P o j c i e g r a n i c y
r ó |n i c y , i l o c z y n u i i l o r a z u c i g ó w z b i e |n y c h
c i g u . O b l i c z a n i e
d o o b l i c z a n i a g r a n i c c i g ó w ,
g r a n i c n i e k t ó r y c h
c ) b a d a w a r u n e k i s t n i e n i a s u m y s z e r e g u
c i g ó w . S u m a
g e o m e t r y c z n e g o ,
s z e r e g u
d ) o b l i c z a s u m s z e r e g u g e o m e t r y c z n e g o ,
g e o m e t r y c z n e g o .
e ) z a m i e n i a u Ba m e k o k r e s o w y n a z w y k By ,
f ) s t o s o w a w z a d a n i a c h w z ó r n a s u m s z e r e g u
g e o m e t r y c z n e g o ;
a ) o k r e [l a w Ba s n o [c i p o d s t a w o w y c h f i g u r p Ba s k i c h
1 . W Ba s n o [c i
( o d c i n e k , p ó Bp r o s t a , p r o s t a , k t , w i e l o k t , o k r g ,
c z w o r o k t ó w
k o Bo ) i p o s Bu g i w a s i n i m i ,
w y p u k By c h .
b ) p o s Bu g i w a s i w Ba s n o [c i a m i : s y m e t r a l n e j o d c i n k a ,
O k r g w p i s a n y
d w u s i e c z n e j k t a , [r o d k o w y c h b o k ó w t r ó j k t a ,
w c z w o r o k t .
k t ó w [r o d k o w y c h i w p i s a n y c h w k o Bo ,
O k r g o p i s a n y
c ) k o r z y s t a z w Ba s n o [c i c z w o r o k t ó w w y p u k By c h
n a c z w o r o k c i e .
o p i s a n y c h n a o k r g u i w p i s a n y c h w o k r g ;
2 . W y z n a c z a n i e
z w i z k ó w
o b l i c z a o b w o d y i p o l a p o d s t a w o w y c h f i g u r p Ba s k i c h ,
m i a r o w y c h
m i d z y i n n y m i z z a s t o s o w a n i e m f u n k c j i
w f i g u r a c h p Ba s k i c h
t r y g o n o m e t r y c z n y c h ;
z z a s t o s o w a n i e m
t r y g o n o m e t r i i .
a ) r o z p o z n a w a w i e l o k t y f o r e m n e ,
3 . O [ s y m e t r i i i [r o d e k b ) p o d a w a p r z y k Ba d y f i g u r o s i o w o s y m e t r y c z n y c h
s y m e t r i i f i g u r y . o r a z [r o d k o w o s y m e t r y c z n y c h ,
c ) w y z n a c z a o [ s y m e t r i i i [r o d e k s y m e t r i i f i g u r y ;
a ) s t o s o w a t w i e r d z e n i e T a l e s a d o r o z w i z y w a n i a
4 . T w i e r d z e n i e T a l e s a p r o b l e m ó w t e o r e t y c z n y c h l u b p r a k t y c z n y c h ,
i j e g o z w i z e k b ) r o z p o z n a t r ó j k t y p o d o b n e n a p o d s t a w i e c e c h
z p o d o b i e Ds t w e m . p o d o b i e Ds t w a t r ó j k t ó w ,
C e c h y p o d o b i e Ds t w a c ) s t o s o w a c e c h y p o d o b i e Ds t w a t r ó j k t ó w d o
t r ó j k t ó w . r o z w i z y w a n i a p r o b l e m ó w t e o r e t y c z n y c h l u b
p r a k t y c z n y c h ;
5 . T w i e r d z e n i e s t o s o w a : t w i e r d z e n i e c o s i n u s ó w , t w i e r d z e n i e
s i n u s ó w s i n u s ó w , z w i z k i m i a r o w e w t r ó j k c i e o r a z
i t w i e r d z e n i e f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e d o r o z w i z y w a n i a
c o s i n u s ó w . z a d a D m a t e m a t y c z n y c h ;
6 . P r z y k Ba d y
p r z e k s z t a Bc e D a ) s t o s o w a w Ba s n o [c i : i z o m e t r i i ( s y m e t r i i ,
g e o m e t r y c z n y c h : o b r o t u i p r z e s u n i c i a ) w r o z w i z y w a n i u
s y m e t r i a o s i o w a , z a d a D,
p r z e s u n i c i e , b ) s t o s o w a w Ba s n o [c i f i g u r p r z y s t a j c y c h
o b r ó t , s y m e t r i a w r o z w i z y w a n i u z a d a D;
[r o d k o w a .
a ) w y k o n y w a d z i a Ba n i a n a w e k t o r a c h
7 . W e k t o r y .
( d o d a w a n i e , o d e j m o w a n i e , m n o |e n i e p r z e z
D o d a w a n i e
l i c z b ) w u j c i u a n a l i t y c z n y m
w e k t o r ó w
i s y n t e t y c z n y m ,
i m n o |e n i e
b ) z n a j d o w a o b r a z f i g u r y j e d n o k Ba d n e j d o
w e k t o r a
d a n e j ,
p r z e z l i c z b .
c ) s t o s o w a w Ba s n o [c i j e d n o k Ba d n o [c i
J e d n o k Ba d n o [.
i p o d o b i e Ds t w a w r o z w i z y w a n i u z a d a D;
2 6
V I . P L A N I M E T R I A
a ) r o z p o z n a w a r ó w n a n i e p r o s t e j w p o s t a c i o g ó l n e j
i k i e r u n k o w e j ,
b ) i n t e r p r e t o w a w s p ó Bc z y n n i k i w r ó w n a n i u
k i e r u n k o w y m p r o s t e j ,
c ) w y z n a c z a r ó w n a n i e p r o s t e j o k r e [l o n e j p r z e z d w a
p u n k t y o d a n y c h w s p ó Br z d n y c h ,
1 . R ó w n a n i e p r o s t e j n a d ) w y z n a c z a r ó w n a n i e p r o s t e j r ó w n o l e g Be j
p Ba s z c z y zn i e . ( p r o s t o p a d Be j ) d o d a n e j ,
P ó Bp Ba s z c z y z n a e ) b a d a w z a j e m n e p o Bo |e n i e p r o s t y c h w u j c i u
o p i s z a p o m o c s y n t e t y c z n y m i a n a l i t y c z n y m ,
n i e r ó w n o [c i . f ) g r a f i c z n i e p r z e d s t a w i a r ó w n a n i a i n i e r ó w n o [c i
l i n i o w e z d w i e m a n i e w i a d o m y m i ,
g ) z a z n a c z a w u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h z b i ó r
p u n k t ó w o k r e [l o n y p r z e z u k Ba d n i e r ó w n o [c i
l i n i o w y c h ,
h ) o p i s y w a z a p o m o c u k Ba d u n i e r ó w n o [c i z b i o r y
p u n k t ó w ;
2 . O d l e g Bo [ n a
w y z n a c z a o d l e g Bo [: d w ó c h p u n k t ó w , p u n k t u
p Ba s z c z y zn i e
o d p r o s t e j , d w ó c h p r o s t y c h r ó w n o l e g By c h ;
k a r t e z j a Ds k i e j .
a ) p r z e d s t a w i a o k r g z a p o m o c r ó w n a n i a z
d w i e m a n i e w i a d o m y m i ,
b ) p r z e d s t a w i a k o Bo z a p o m o c n i e r ó w n o [c i
3 . O k r g i k o Bo w e z d w i e m a n i e w i a d o m y m i ,
w s p ó Br z d n y c h . c ) g r a f i c z n i e p r z e d s t a w i a r ó w n a n i a
( n i e r ó w n o [c i ) d r u g i e g o s t o p n i a z d w i e m a
n i e w i a d o m y m i o k r g ( k o Bo ) , s u m
m n o g o [c i o w d w ó c h p r o s t y c h ( k t ó w ) ;
a ) o k r e [l a w z a j e m n e p o Bo |e n i e p r o s t e j i o k r g u
o r a z d w ó c h o k r g ó w w u j c i u
4 . P u n k t y p r z e c i c i a
s y n t e t y c z n y m i a n a l i t y c z n y m ,
p r o s t e j
b ) o b l i c z a w s p ó Br z d n e w s p ó l n y c h p u n k t ó w
z o k r g i e m
p r o s t e j i o k r g u o r a z d w ó c h o k r g ó w ,
i p a r y o k r g ó w .
c ) p o s Bu g i w a s i r ó w n a n i e m o k r g u i p r o s t e j
w r o z w i z y w a n i u z a d a D;
a ) o k r e [l a w Ba s n o [c i p o d s t a w o w y c h f i g u r
p r z e s t r z e n n y c h : g r a n i a s t o s Bu p ó w i o s t r o s Bu p ó w
( p r o s t y c h , p r a w i d Bo w y c h ) ,
1 . G r a n i a s t o s Bu p y b ) o k r e [l a w Ba s n o [c i b r y B o b r o t o w y c h ( k u l i , w a l c a ,
i o s t r o s Bu p y . s t o |k a ) ,
W a l e c , s t o |e k , k u l a . c ) r y s o w a s i a t k i w i e l o [c i a n ó w ,
d ) s t o s o w a i p r z e k s z t a Bc a w z o r y z w i z a n e z p o l e m
p o w i e r z c h n i i o b j t o [c i w i e l o [c i a n ó w i b r y B
o b r o t o w y c h ;
2 . W z a j e m n e
p o Bo |e n i e k r a w d z i a ) b a d a w z a j e m n e p o Bo |e n i a p r o s t y c h i p Ba s z c z y z n
i [c i a n b r y B: k t w p r z e s t r z e n i ,
n a c h y l e n i a p r o s t e j b ) s t o s o w a p o j c i a : k t a d w u [c i e n n e g o , k t a m i d z y
d o p Ba s z c z y z n y i k t p r o s t i p Ba s z c z y z n w r o z w i z y w a n i u z a d a D;
d w u [c i e n n y .
3 . W y z n a c z a n i e
z w i z k ó w
m i a r o w y c h w y z n a c z a p o l a p o w i e r z c h n i i o b j t o [c i w i e l o [c i a n ó w i
w b r y Ba c h b r y B o b r o t o w y c h z z a s t o s o w a n i e m t r y g o n o m e t r i i ;
z z a s t o s o w a n i e m
t r y g o n o m e t r i i .
2 7
V I I . G E O M E T R I A A N A L I T Y C Z N A
V I I I . S T E R E O M E T R I A
4 . P r z e k r o j e p Ba s k i e
g r a n i a s t o s Bu p ó w w y z n a c z a p r z e k r o j e p Ba s k i e w i e l o [c i a n ó w ;
i o s t r o s Bu p ó w .
a ) r o z r ó |n i a w i e l o [c i a n y f o r e m n e ,
5 . W i e l o [c i a n y b ) o k r e [l a w Ba s n o [c i w i e l o [c i a n ó w f o r e m n y c h ,
f o r e m n e . c ) s t o s o w a w Ba s n o [c i w i e l o [c i a n ó w f o r e m n y c h
w r o z w i z y w a n i u z a d a D;
n
ëø öø
a ) o b l i c z a w a r t o [c i n ! o r a z ,
ìøk ÷ø
íø øø
1 . P r o s t e z a d a n i a
b ) s t o s o w a w z o r y n a l i c z b : p e r m u t a c j i , k o m b i n a c j i
k o m b i n a t o r y c z n e .
o r a z w a r i a c j i z p o w t ó r z e n i a m i i b e z p o w t ó r z e D,
c ) r o z w i z y w a z a d a n i a t e k s t o w e z z a s t o s o w a n i e m
w z o r ó w k o m b i n a t o r y c z n y c h ;
a ) o k r e [l a z b i ó r ( s k o Dc z o n y ) z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h
d o [w i a d c z e n i a l o s o w e g o ,
2 . P o j c i e b ) w y z n a c z a l i c z b w s z y s t k i c h z d a r z e D
p r a w d o p o d o b i e Ds t w e l e m e n t a r n y c h o r a z l i c z b z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h
a i j e g o w Ba s n o [c i . s p r z y j a j c y c h d a n e m u z d a r z e n i u l o s o w e m u ,
c ) s t o s o w a w Ba s n o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
d o r o z w i z y w a n i a z a d a D;
3 . O b l i c z a n i e
a ) o b l i c z a p r a w d o p o d o b i e Ds t w a z d a r z e D l o s o w y c h
p r a w d o p o d o b i e Ds t w
n a p o d s t a w i e d e f i n i c j i k l a s y c z n e j l u b z a p o m o c
z d a r z e D
d r z e w a ,
w s k o Dc z o n y c h
b ) o b l i c z a p r a w d o p o d o b i e Ds t w a z d a r z e D l o s o w y c h
p r z e s t r z e n i a c h
n a p o d s t a w i e w Ba s n o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a ;
p r o b a b i l i s t y c z n y c h .
a ) o d c z y t y w a d a n e z t a b e l , d i a g r a m ó w i w y k r e s ó w ,
b ) p r z e d s t a w i a d a n e e m p i r y c z n e w p o s t a c i t a b e l ,
4 . E l e m e n t y s t a t y s t y k i d i a g r a m ó w i w y k r e s ó w ,
o p i s o w e j : [r e d n i a c ) p r z e p r o w a d z a a n a l i z i l o [c i o w p r z e d s t a w i a n y c h
a r y t m e t y c z n a , d a n y c h ,
[r e d n i a w a |o n a , d ) o b l i c z a [r e d n i a r y t m e t y c z n , [r e d n i w a |o n
m e d i a n a , w a r i a n c j a m e d i a n z b i o r ó w d a n y c h ,
i o d c h y l e n i e e ) o b l i c z a w a r i a n c j i o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e d a n e j
s t a n d a r d o w e p r ó b y ,
( l i c z o n e z p r ó b y ) . f ) p r z e t w a r z a i n f o r m a c j e ,
g ) p r z e p r o w a d z a a n a l i z j a k o [c i o w
p r z e d s t a w i a n y c h d a n y c h ;
5 . P r a w d o p o d o b i e D-
s t w o w a r u n k o w e . o b l i c z a p r a w d o p o d o b i e Ds t w o w a r u n k o w e
W z ó r n a i c a Bk o w i t e w s k o Dc z o n y m z b i o r z e z d a r z e D
p r a w d o p o d o b i e D- e l e m e n t a r n y c h ;
s t w o c a Bk o w i t e .
6 . N i e z a l e |n o [ b a d a n i e z a l e |n o [ z d a r z e D w s k o Dc z o n y m
z d a r z e D. z b i o r z e z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h ;
7 . S c h e m a t s t o s o w a s c h e m a t B e r n o u l l i e g o d o o b l i c z a n i a
B e r n o u l l i e g o . p r a w d o p o d o b i e Ds t w a ;
a ) p o r ó w n y w a p o t g i o w y k Ba d n i k a c h
1 . P o t g a r z e c z y w i s t y c h ,
o w y k Ba d n i k u b ) s t o s o w a w Ba s n o [c i p o t g d o p r z e k s z t a Bc a n i a
r z e c z y w i s t y m . w y r a |e D z a w i e r a j c y c h p o t g i
o w y k Ba d n i k a c h r z e c z y w i s t y c h ;
2 . D e f i n i c j a a ) p o s Bu g i w a s i w Ba s n o [c i a m i f u n k c j i
i w y k r e s y f u n k c j i w y k Ba d n i c z y c h i l o g a r y t m i c z n y c h ,
w y k Ba d n i c z y c h b ) s z k i c o w a w y k r e s y f u n k c j i w y k Ba d n i c z y c h
i l o g a r y t m i c z n y c h . i l o g a r y t m i c z n y c h ;
2 8
I X . R A C H U N E K P R A W D O P O D O B I E CS T W A
X .
F U N K C J E
W Y K L A D N I C Z E I
L O G A R Y T M I C Z N E
3 . P r o s t e r ó w n a n i a a ) r o z w i z y w a r ó w n a n i a i n i e r ó w n o [c i
i n i e r ó w n o [c i w y k Ba d n i c z e i l o g a r y t m i c z n e ,
w y k Ba d n i c z e b ) r o z w i z y w a u k Ba d y r ó w n a D i n i e r ó w n o [c i
i l o g a r y t m i c z n e . w y k Ba d n i c z y c h i l o g a r y t m i c z n y c h ;
a ) b a d a c i g Bo [ f u n k c j i ,
1 . P o j c i e f u n k c j i b ) k o r z y s t a z c i g Bo [c i f u n k c j i p r z y b a d a n i u
c i g Be j . w Ba s n o [c i f u n k c j i o r a z r o z w i z y w a n i u
r ó w n a D;
2 . P o j c i e a ) o b l i c z a p o c h o d n f u n k c j i w p u n k c i e
p o c h o d n e j . n a p o d s t a w i e d e f i n i c j i ,
I n t e r p r e t a c j a b ) k o r z y s t a z g e o m e t r y c z n e j i n t e r p r e t a c j i
g e o m e t r y c z n a p o c h o d n e j f u n k c j i w p u n k c i e ( n p . w y z n a c z a
i f i z y c z n a r ó w n a n i e s t y c z n e j d o w y k r e s u f u n k c j i
p o c h o d n e j . w d a n y m p u n k c i e ) ;
3 . O b l i c z a n i e
p o c h o d n y c h
o b l i c z a p o c h o d n e w i e l o m i a n ó w i f u n k c j i
w i e l o m i a n ó w
w y m i e r n y c h ;
i f u n k c j i
w y m i e r n y c h .
4 . Z w i z e k
a ) w y z n a c z a p r z e d z i a By m o n o t o n i c z n o [c i
p o c h o d n e j
f u n k c j i ,
z i s t n i e n i e m
b ) w y z n a c z a e k s t r e m a f u n k c j i ,
e k s t r e m ó w i z
c ) w y z n a c z a n a j m n i e j s z i n a j w i k s z w a r t o [
m o n o t o n i c z n o [c i
f u n k c j i w p r z e d z i a l e d o m k n i t y m ;
f u n k c j i .
5 . Z a s t o s o w a n i e
p o c h o d n e j d o
r o z w i z y w a n i a s t o s o w a p o c h o d n d o r o z w i z y w a n i a z a d a D
p r o s t y c h o p t y m a l i z a c y j n y c h .
p r o b l e m ó w
p r a k t y c z n y c h .
2 9
X I .
C I G AO Z I P O C H O D N A F U N K C J I
3 0
V I . P R Z Y K AA D O W E A R K U S Z E I S C H E M A T Y
O C E N I A N I A
A r k u s z
e g z a m i n a c y j n y I I
1 5 0 m i n u t
A r k u s z
e g z a m i n a c y j n y I
1 2 0 m i n u t
3 1
3 2
( W p i s u j e z d a j c y p r z e d
r o z p o c z c i e m p r a c y )
M i e j s c e
n a n a k l e j k
z k o d e m
K O D Z D A J C E G O
M M A - P 1 A 1 P - 0 2 1
E G Z A M I N M A T U R A L N Y
Z M A T E M A T Y K I
A R K U S Z I
A r k u s z I
M A J
R O K 2 0 0 5
C z a s p r a c y 1 2 0 m i n u t
I n s t r u k c j a d l a z d a j c e g o
1 . P r o s z s p r a w d z i , c z y a r k u s z e g z a m i n a c y j n y z a w i e r a 1 3 s t r o n .
E w e n t u a l n y b r a k n a l e |y z g Bo s i p r z e w o d n i c z c e m u z e s p o Bu
n a d z o r u j c e g o e g z a m i n .
2 . R o z w i z a n i a i o d p o w i e d z i n a l e |y z a p i s a c z y t e l n i e w m i e j s c u
n a t o p r z e z n a c z o n y m p r z y k a |d y m z a d a n i u .
3 . P r o s z p i s a t y l k o w k o l o r z e c z a r n y m ; n i e p i s a o Bó w k i e m .
4 . W r o z w i z a n i a c h z a d a D t r z e b a p r z e d s t a w i t o k r o z u m o w a n i a
p r o w a d z c y d o o s t a t e c z n e g o w y n i k u .
5 . N i e w o l n o u |y w a k o r e k t o r a .
6 . B Bd n e z a p i s y t r z e b a w y r a zn i e p r z e k r e [l i .
7 . B r u d n o p i s n i e b d z i e o c e n i a n y .
8 . O b o k k a |d e g o z a d a n i a p o d a n a j e s t m a k s y m a l n a l i c z b a p u n k t ó w ,
Z a r o z w i z a n i e
k t ó r m o |n a u z y s k a z a j e g o p o p r a w n e r o z w i z a n i e .
w s z y s t k i c h z a d a D
9 . P o d c z a s e g z a m i n u m o |n a k o r z y s t a z z a Bc z o n e g o z e s t a w u
m o |n a o t r z y m a
w z o r ó w m a t e m a t y c z n y c h , c y r k l a i l i n i j k i o r a z k a l k u l a t o r a .
Bc z n i e 5 0 p u n k t ó w
N i e m o |n a k o r z y s t a z k a l k u l a t o r a g r a f i c z n e g o .
1 0 . D o o s t a t n i e j k a r t k i a r k u s z a d o Bc z o n a j e s t k a r t a o d p o w i e d z i ,
k t ó r w y p e Bn i a e g z a m i n a t o r .
{y c z y m y p o w o d z e n i a !
( W p i s u j e z d a j c y p r z e d r o z p o c z c i e m p r a c y )
P E S E L Z D A J C E G O
3 3
Z a d a n i e 1 . ( 3 p k t )
G r a c z r z u c a d w a r a z y s y m e t r y c z n s z e [c i e n n k o s t k d o g r y i o b l i c z a s u m w y r z u c o n y c h
o c z e k . J e [l i s u m a t a j e s t j e d n z l i c z b : 6 , 7 l u b 8 , t o g r a c z w y g r y w a . W p o z o s t a By c h
p r z y p a d k a c h p r z e g r y w a .
a ) U z u p e Bn i j t a b e l , t a k a b y p r z e d s t a w i a Ba w s z y s t k i e m o |l i w e w y n i k i t e g o d o [w i a d c z e n i a
l o s o w e g o .
S U M A W Y R Z U C O N Y C H O C Z E K
I r z u t
I I 1 2 3 4 5 6
r z u t
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4
3 4 5
4 5
5
6
b ) P o d a j l i c z b w y n i k ó w s p r z y j a j c y c h w y g r a n e j g r a c z a i o b l i c z p r a w d o p o d o b i e Ds t w o
w y g r a n e j .
3 4
Z a d a n i e 2 . ( 3 p k t )
Zr e d n i a m i e s i c z n a p Ba c a n e t t o w p e w n y m z a k Ba d z i e z a t r u d n i a j c y m 3 0 p r a c o w n i k ó w
w y n o s i Ba 2 5 0 0 z Bo t y c h . P o z a t r u d n i e n i u n o w e g o , w y s o k o w y k w a l i f i k o w a n e g o p r a c o w n i k a
[r e d n i a m i e s i c z n a p Ba c a n e t t o w z a k Ba d z i e w z r o s Ba o 0 , 4 % . O b l i c z p Ba c n e t t o n o w e g o
p r a c o w n i k a .
3 5
Z a d a n i e 3 . ( 5 p k t )
P r a w d j e s t , |e : J e |e l i w c z t e r o c y f r o w e j l i c z b i e n a t u r a l n e j s u m a c y f r t y s i c y i d z i e s i t e k j e s t
r ó w n a s u m i e c y f r s e t e k i j e d n o [c i , t o l i c z b a t a j e s t p o d z i e l n a p r z e z j e d e n a [c i e .
P o n i e w a | 4 + 6 = 8 + 2 , t o l i c z b a 4 8 6 2 j e s t p o d z i e l n a p r z e z 1 1 .
a ) W y k o r z y s t u j c p o d a n c e c h p o d z i e l n o [c i s p r a w d z, c z y l i c z b a 5 7 6 4 j e s t p o d z i e l n a
p r z e z 1 1 .
b ) P o d a j , j a k c y f r m o |n a z a s t p i , a b y l i c z b a 9 5 8 b y Ba p o d z i e l n a p r z e z 1 1 .
U z a s a d n i j s t w i e r d z e n i e , |e c z t e r o c y f r o w a l i c z b a , w k t ó r e j c y f r y : t y s i c y , s e t e k i d z i e s i t e k s
j e d n a k o w e , a c y f r a j e d n o [c i i n n a , n i e j e s t p o d z i e l n a p r z e z 1 1 .
3 6
Z a d a n i e 4 . ( 4 p k t )
5
ëø öø
- 5
ìø3 ÷ø
2 - 2 Å" 0 , 5
( )
íø øø
D a n e s l i c z b y : m = i n = .
1
5
6 4 6
3
a ) S p r a w d z, w y k o n u j c o d p o w i e d n i e o b l i c z e n i a , c z y l i c z b y m i n s c a Bk o w i t e .
b ) W y z n a c z l i c z b k t a k , b y l i c z b y m , n , k b y By o d p o w i e d n i o p i e r w s z y m , d r u g i m i t r z e c i m
w y r a z e m c i g u g e o m e t r y c z n e g o .
3 7
Z a d a n i e 5 . ( 4 p k t )
W i e d z c , |e t g ± = - 2 i ± " 0 ; À o b l i c z , b e z u |y c i a t a b l i c i k a l k u l a t o r a , w a r t o [c i
( )
p o z o s t a By c h f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h k t a ± .
3 8
Z a d a n i e 6 . ( 5 p k t )
W s z y s t k i e p a r y l i c z b n a t u r a l n y c h ( x , y ) s p e Bn i a j c e r ó w n a n i e x y - 4 y = 7 m o |n a w y z n a c z y
s t o s u j c n a s t p u j c m e t o d :
" z a p i s a l e w s t r o n r ó w n a n i a w p o s t a c i i l o c z y n u x - 4 y = 7 ;
( )
" s t w i e r d z i , |e z a r ó w n o x - 4 j a k i y m u s z b y l i c z b a m i n a t u r a l n y m i ;
" z a u w a |y , |e l i c z b 7 d a j e s i p r z e d s t a w i w p o s t a c i i l o c z y n u d w ó c h l i c z b n a t u r a l n y c h
t y l k o n a j e d e n s p o s ó b , a k o r z y s t a j c z p r z e m i e n n o [c i m n o |e n i a m a m y d w i e
m o |l i w o [c i : 7 Å"1 l u b 1 Å" 7 ;
" r o z p a t r z y d w a p r z y p a d k i
x
ñø - 4 = 1 x
ñø - 4 = 7
l u b
òø òø
y = 7 y = 1 ;
óø óø
" w y z n a c z y w s z y s t k i e p a r y l i c z b s p e Bn i a j c e t e w a r u n k i
x = 5 x = 1 1
ñø ñø
òøy = 7 l u b òøy = 1 .
óø óø
S t o s u j c p r z e d s t a w i o n w y |e j m e t o d w y z n a c z w s z y s t k i e p a r y l i c z b n a t u r a l n y c h ( x , y )
s p e Bn i a j c e r ó w n a n i e x y - y = 4 .
3 9
Z a d a n i e 7 . ( 4 p k t )
N a p o n i |s z y m d i a g r a m i e z e s t a w i o n o w y n i k i a n k i e t y d o t y c z c e j c z a s u p r z e z n a c z a n e g o d z i e n n i e
n a u p r a w i a n i e s p o r t u .
1 4
a ) O b l i c z [r e d n i l i c z b g o d z i n
1 3
p r z e z n a c z o n d z i e n n i e n a
1 2
u p r a w i a n i e s p o r t u w b a d a n e j 1 1
1 0
g r u p i e .
9
8
7
b ) O b l i c z w a r i a n c j i o d c h y l e n i e
6
s t a n d a r d o w e c z a s u
5
4
p r z e z n a c z a n e g o d z i e n n i e n a
3
u p r a w i a n i e s p o r t u .
2
W y n i k p o d a j z d o k Ba d n o [c i
1
0
d o 0 , 0 1 .
0 1 2
c z a s [ g o d z . ]
4 0
l i c z b a o s ó b
Z a d a n i e 8 . ( 4 p k t )
F u n k c j a f o k r e [l o n a n a z b i o r z e l i c z b c a Bk o w i t y c h n i e u j e m n y c h p r z y p o r z d k o w u j e k a |d e j
l i c z b i e n r e s z t z d z i e l e n i a t e j l i c z b y p r z e z 4 .
a ) O k r e [l z b i ó r w a r t o [c i f u n k c j i f .
b ) P o d a j z b i ó r w s z y s t k i c h m i e j s c z e r o w y c h f u n k c j i f .
c ) N a r y s u j w y k r e s f u n k c j i f d l a n d" 1 0 .
4 1
Z a d a n i e 9 . ( 6 p k t )
M a s z y n a w y c i n a z k r |k ó w k w a d r a t y w t e n s p o s ó b , |e w y k o r z y s t u j e m a t e r i a B m a k s y m a l n i e .
G d y b y p r o m i e D d a n e g o k r |k a z w i k s z o n o o 1 , t o p o l e w y c i t e g o k w a d r a t u z w i k s z y Bo b y s i
c z t e r o k r o t n i e . O b l i c z p o l e d a n e g o k r |k a .
4 2
Z a d a n i e 1 0 . ( 7 p k t )
F u n k c j a f j e s t o k r e [l o n a w z o r e m : f x = 2 x 2 - 7 x + c d l a x " R .
( )
a ) W y z n a c z w s z y s t k i e w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k a c , d l a k t ó r y c h f u n k c j a f m a d w a r ó |n e
m i e j s c a z e r o w e .
b ) W y z n a c z w s z y s t k i e w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k a c , d l a k t ó r y c h m i e j s c a m i z e r o w y m i f u n k c j i
1
f s l i c z b y 1 i 2 .
2
c ) W y z n a c z w s z y s t k i e w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k a c , t a k a b y w i e r z c h o Be k p a r a b o l i , k t ó r a j e s t
w y k r e s e m f u n k c j i f , n a l e |a B d o p r o s t e j o r ó w n a n i u y = x .
4 3
Z a d a n i e 1 1 . ( 5 p k t )
O b j t o [ o s t r o s Bu p a p r a w i d Bo w e g o t r ó j k t n e g o , o d Bu g o [c i k r a w d z i p o d s t a w y 6 c m , j e s t
r ó w n a 9 3 c m 3 . O b l i c z m i a r k t a n a c h y l e n i a [c i a n y b o c z n e j t e g o o s t r o s Bu p a d o p Ba s z c z y z n y
j e g o p o d s t a w y . S p o r z d z r y s u n e k o s t r o s Bu p a i z a z n a c z n a n i m s z u k a n y k t . Z a p i s z o b l i c z e n i a .
4 4
B r u d n o p i s
4 5
4 6
M O D E L O D P O W I E D Z I I S C H E M A T O C E N I A N I A
A R K U S Z A I
N u m e r
L i c z b a
E t a p y r o z w i z a n i a z a d a n i a
z a d a n i a
p u n k t ó w
U z u p e Bn i e n i e t a b e l i ( p u n k t p r z y z n a j e m y r ó w n i e | w p r z y p a d k u
1
j e d n e g o b Bd u n i e u w a g i ) .
P o d a n i e l i c z b y w y n i k ó w s p r z y j a j c y c h w y g r a n e j g r a c z a : 1 6 . 1
1
4
O b l i c z e n i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w y g r a n e j : .
1
9
O b l i c z e n i e [r e d n i e j p Ba c y n e t t o w z a k Ba d z i e p o p r z y j c i u n o w e g o
1
p r a c o w n i k a : 2 5 1 0 z B.
Z a p i s a n i e r ó w n a n i a p o z w a l a j c e g o o b l i c z y p Ba c n e t t o n o w e g o
2
3 0 Å" 2 5 0 0 + x
1
p r a c o w n i k a : n p . = 2 5 1 0 .
3 1
O b l i c z e n i e p Ba c y n e t t o n o w e g o p r a c o w n i k a : 2 8 1 0 z B. 1
S t w i e r d z e n i e , |e l i c z b a 5 7 6 4 j e s t p o d z i e l n a p r z e z 1 1 , p o n i e w a |
1
5 + 6 = 7 + 4 .
Z a p i s a n i e w a r u n k u 9 + = 5 + 8 i w y z n a c z e n i e = 4 . 1
Z a p i s a n i e l i c z b y c z t e r o c y f r o w e j w p o s t a c i n p .
1 0 0 0 A + 1 0 0 A + 1 0 A + X , g d z i e A "{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } ,
1
3
X "{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } .
Z a p i s a n i e p o w y |s z e j l i c z b y w p o s t a c i s u m y s k Ba d n i k ó w , z k t ó r y c h
1
j e d e n j e s t l i c z b p o d z i e l n p r z e z 1 1 , n p . 1 1 0 0 A + ( 1 0 A + X ) .
U z a s a d n i e n i e , |e s u m a p o z o s t a By c h s k Ba d n i k ó w ( 1 0 A + X ) n i e j e s t
1
l i c z b p o d z i e l n p r z e z 1 1 , g d y A `" X i s f o r m u Bo w a n i e w n i o s k u .
O b l i c z e n i e l i c z b y m : m = 6 . 1
O b l i c z e n i e l i c z b y n : n = 4 . 1
Z a p i s a n i e w a r u n k u n a t o b y m , n , k b y By k o l e j n y m i w y r a z a m i
4
n k 1
c i g u g e o m e t r y c z n e g o : n p . = .
m n
2
O b l i c z e n i e l i c z b y k : k = 2 .
1
3
1
O b l i c z e n i e w a r t o [c i c o t a n g e n s a k t a ± : c t g ± = - .
1
2
5
Z a p i s a n i e u k Ba d u r ó w n a D p o z w a l a j c e g o o b l i c z y s i n u s i c o s i n u s
1
d a n e g o k t a .
4 7
ñø ñø
2 5 2 5
ôøs i n ± = - 5 ôøs i n ± = 5
ôø ôø
R o z w i z a n i e u k Ba d u r ó w n a D: l u b
1
òø òø
ôøc o s ± = 5 ôøc o s ± = - 5
ôø ôø
óø 5 óø 5
5
ñø
2 5
ôøs i n ± = 5
ôø
W y b r a n i e o d p o w i e d z i u w z g l d n i a j c e j z a Bo |e n i a :
1
òø
ôøc o s ± = - 5
ôø
óø 5
P r z e k s z t a Bc e n i e r ó w n a n i a d o p o s t a c i i l o c z y n u : ( x - 1 ) y = 4 .
1
R o z p a t r z e n i e w s z y s t k i c h p r z y p a d k ó w ( z a k a |d y p r z y p a d e k
x
ñø ñø
ñø - 1 = 4 x - 1 = 1 x - 1 = 2
3
p r z y z n a j e m y 1 p . ) : l u b l u b
òø òø òø
y = 1 y = 4 y = 2
6 óø óø óø
W y z n a c z e n i e r o z w i z a D o t r z y m a n y c h u k Ba d ó w r ó w n a D:
x = 5 x = 2 x = 3
ñø ñø ñø 1
òøy = 1 l u b òøy = 4 l u b òøy = 2
óø óø óø
O b l i c z e n i e [r e d n i e j l i c z b y g o d z i n : 0 , 8 .
1
O b l i c z e n i e w a r i a n c j i ( w t y m 1 p . z a m e t o d o r a z 1 p . z a
7
2
o b l i c z e n i a ) : 0 , 6 3 .
O b l i c z e n i e o d c h y l e n i a s t a n d a r d o w e g o : 0 , 7 9 .
1
O k r e [l e n i e z b i o r u w a r t o [c i f u n k c j i f : 0 , 1 , 2 , 3 .
{ } 1
P o d a n i e z b i o r u m i e j s c z e r o w y c h f u n k c j i : n p . { x : x = 4 k '" k " N }
8 l u b s Bo w n i e n p . z b i ó r w i e l o k r o t n o [c i l i c z b y 4 ( z a w y m i e n i e n i e
2
c o n a j m n i e j t r z e c h m i e j s c z e r o w y c h p r z y z n a j e m y 1 p u n k t ) .
N a r y s o w a n i e w y k r e s u f u n k c j i f d l a n d" 1 0 .
1
W y k o n a n i e r y s u n k u w r a z z o z n a c z e n i a m i l u b w p r o w a d z e n i e
1
d o k Ba d n i e o p i s a n y c h o z n a c z e D.
Z a p i s a n i e p o l a m n i e j s z e g o k w a d r a t u w z a l e |n o [c i o d p r o m i e n i a
1
k r |k a , z k t ó r e g o j e s t w y c i t y : P 1 = 2 r 2 .
Z a p i s a n i e p o l a w i k s z e g o k w a d r a t u w z a l e |n o [c i o d p r o m i e n i a
1
2
m n i e j s z e g o k r |k a : P 2 = 2 ( r + 1 ) .
9
Z a p i s a n i e z w i z k u p o m i d z y p o l a m i m n i e j s z e g o i w i k s z e g o
1
2
2
k w a d r a t u : 4 r = ( r + 1 ) .
1
R o z w i z a n i e o t r z y m a n e g o r ó w n a n i a : r = 1 l u b r = - .
1
3
W y b ó r r o z w i z a n i a s p e Bn i a j c e g o w a r u n e k r " R + i o b l i c z e n i e
1
p o l a d a n e g o k r |k a : P K = À .
4 8
Z a p i s a n i e w a r u n k u n a t o , b y f u n k c j a f m i a Ba d w a r ó |n e m i e j s c a
1
z e r o w e : 4 9 - 8 c > 0 .
W y z n a c z e n i e z b i o r u w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k ó w c , d l a k t ó r y c h
1
1
f u n k c j a f m a d w a r ó |n e m i e j s c a z e r o w e : c < 6 .
8
Z a p i s a n i e f u n k c j i f w p o s t a c i i l o c z y n o w e j :
1
öø 1
f ( x ) = 2 ( x - 1 ) ëø x - 2 .
ìø ÷ø
2
íø øø
P r z e k s z t a Bc e n i e w z o r u f u n k c j i f d o p o s t a c i o g ó l n e j :
1
f ( x ) = 2 x 2 - 7 x + 5 .
1 0
P o d a n i e w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k a c , d l a k t ó r e j m i e j s c a z e r o w e
1
1
f u n k c j i f s r ó w n e 1 i 2 : c = 5 .
2
Z a p i s a n i e w a r u n k u n a t o , b y w i e r z c h o Be k p a r a b o l i , k t ó r a j e s t
7 8 c - 4 9
1
w y k r e s e m f u n k c j i f n a l e |a B d o p r o s t e j y = x : n p . = .
4 8
O b l i c z e n i e w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k a c , d l a k t ó r e j w i e r z c h o Be k
p a r a b o l i , k t ó r a j e s t w y k r e s e m f u n k c j i f n a l e |y d o p r o s t e j y = x :
1
7
c = 7 .
8
S p o r z d z e n i e r y s u n k u i z a z n a c z e n i e n a n i m s z u k a n e g o k t a . 1
O b l i c z e n i e d Bu g o [c i w y s o k o [c i o s t r o s Bu p a : H = 3 c m .
1
O b l i c z e n i e t r z e c i e j c z [c i d Bu g o [c i w y s o k o [c i p o d s t a w y : 3 c m . 1
1 1
1
O b l i c z e n i e t a n g e n s a s z u k a n e g o k t a : 3 .
1
P o d a n i e m i a r y k t a s z u k a n e g o : 6 0 .
Z a p r a w i d Bo w e r o z w i z a n i e k a |d e g o z z a d a D i n n m e t o d o d p r z e d s t a w i o n e j w s c h e m a c i e
p r z y z n a j e m y m a k s y m a l n l i c z b p u n k t ó w .
4 9
5 0
( W p i s u j e z d a j c y p r z e d
r o z p o c z c i e m p r a c y )
M i e j s c e
n a n a k l e j k
z k o d e m
K O D Z D A J C E G O
M M A - R 1 A 1 P - 0 2 1
E G Z A M I N M A T U R A L N Y
Z M A T E M A T Y K I
A r k u s z I I A R K U S Z I I
( d l a p o z i o m u r o z s z e r z o n e g o )
M A J
C z a s p r a c y 1 5 0 m i n u t
R O K 2 0 0 5
I n s t r u k c j a d l a z d a j c e g o
1 . P r o s z s p r a w d z i , c z y a r k u s z e g z a m i n a c y j n y z a w i e r a 1 3 s t r o n .
E w e n t u a l n y b r a k n a l e |y z g Bo s i p r z e w o d n i c z c e m u z e s p o Bu
n a d z o r u j c e g o e g z a m i n .
2 . R o z w i z a n i a i o d p o w i e d z i n a l e |y z a p i s a c z y t e l n i e w m i e j s c u
n a t o p r z e z n a c z o n y m p r z y k a |d y m z a d a n i u .
3 . P r o s z p i s a t y l k o w k o l o r z e c z a r n y m ; n i e p i s a o Bó w k i e m .
4 . W r o z w i z a n i a c h z a d a D t r z e b a p r z e d s t a w i t o k r o z u m o w a n i a
p r o w a d z c y d o o s t a t e c z n e g o w y n i k u .
5 . N i e w o l n o u |y w a k o r e k t o r a .
6 . B Bd n e z a p i s y t r z e b a w y r a zn i e p r z e k r e [l i .
7 . B r u d n o p i s n i e b d z i e o c e n i a n y .
8 . O b o k k a |d e g o z a d a n i a p o d a n a j e s t m a k s y m a l n a l i c z b a p u n k t ó w ,
k t ó r m o |n a u z y s k a z a j e g o p o p r a w n e r o z w i z a n i e .
9 . P o d c z a s e g z a m i n u m o |n a k o r z y s t a z z a Bc z o n e g o z e s t a w u
w z o r ó w m a t e m a t y c z n y c h , c y r k l a i l i n i j k i o r a z k a l k u l a t o r a . N i e
m o |n a k o r z y s t a z k a l k u l a t o r a g r a f i c z n e g o .
Z a r o z w i z a n i e
1 0 . D o o s t a t n i e j k a r t k i a r k u s z a d o Bc z o n a j e s t k a r t a o d p o w i e d z i ,
w s z y s t k i c h z a d a D
k t ó r w y p e Bn i a e g z a m i n a t o r .
m o |n a o t r z y m a
Bc z n i e 5 0 p u n k t ó w
{y c z y m y p o w o d z e n i a !
W p i s u j e z d a j c y p r z e d r o z p o c z c i e m p r a c y )
P E S E L Z D A J C E G O
5 1
Z a d a n i e 1 2 . ( 2 p k t )
a x - 1
P o w y |s z y r y s u n e k p r z e d s t a w i a w y k r e s f u n k c j i f n a l e |c e j d o r o d z i n y f u n k c j i F ( x ) = .
b x + c
W y z n a c z w a r t o [c i a , b , c .
5 2
Z a d a n i e 1 3 . ( 4 p k t )
C z t e r e c h u c z n i ó w I , I I , I I I , I V , p r z y g o t o w u j c y c h s i d o e g z a m i n u m a t u r a l n e g o z m a t e m a t y k i ,
p o d z i e l i Bo s i r o z w i z y w a n i e m 2 0 0 0 z a d a D. K a |d y z u c z n i ó w p r z y g o t o w a B o d d z i e l n y z e s z y t
z r o z w i z a n i a m i z a d a D. L i c z b y r o z w i z a n y c h z a d a D w z e s z y t a c h u c z n i ó w I , I I , I I I , I V o r a z
d a n e d o t y c z c e l i c z b y b Bd n y c h r o z w i z a D i l u s t r u j p o d a n e n i |e j d i a g r a m y 1 i 2 .
D i a g r a m 1
9 0 0
8 0 0
7 0 0
6 0 0
5 0 0
4 0 0
3 0 0
2 0 0
1 0 0
0
z e s z y t I z e s z y t I I z e s z y t I I I z e s z y t I V
D i a g r a m 2
1 7 0
1 6 0
1 5 0
1 4 0
1 3 0
1 2 0
1 1 0
1 0 0
9 0
8 0
7 0
6 0
5 0
4 0
3 0
2 0
1 0
0
z e s z y t I z e s z y t I I z e s z y t I I I z e s z y t I V
N a u c z y c i e l z a m i e r z a w y l o s o w a j e d e n z e s z y t z r o z w i z a n i a m i , a n a s t p n i e z t e g o z e s z y t u
s p r a w d z i r o z w i z a n i e j e d n e g o l o s o w o w y b r a n e g o z a d a n i a . O b l i c z p r a w d o p o d o b i e Ds t w o , |e
w w y b r a n y m r o z w i z a n i u n i e b d z i e b Bd u .
5 3
l i c z b a r o z w i z a n y c h z a d a D
l i c z b a b Bd n i e r o z w i z a n y c h z a d a D
Z a d a n i e 1 4 . ( 5 p k t )
W y k a |, |e d l a w s z y s t k i c h a " 0 ; 1 i d l a w s z y s t k i c h b " 1 ; " j e s t s p e Bn i o n a n i e r ó w n o [
( ) ( )
l o g a b + l o g b a d" - 2 .
5 4
Z a d a n i e 1 5 . ( 4 p k t )
P r z e k r ó j s z e [c i a n u P Q R S P Q R S p e w n p Ba s z c z y z n ( p a t r z r y s u n e k p o n i |e j ) j e s t
s z e [c i o k t e m A B C D E F , k t ó r e g o w i e r z c h o Bk i s [r o d k a m i o d p o w i e d n i c h k r a w d z i s z e [c i a n u .
O d w o Bu j c s i d o d e f i n i c j i w i e l o k t a f o r e m n e g o u z a s a d n i j , |e s z e [c i o k t A B C D E F j e s t
s z e [c i o k t e m f o r e m n y m .
5 5
Z a d a n i e 1 6 . ( 7 p k t )
P r o d u c e n t z a m i e r z a r o z l e w a s o k d o p u d e Be k , w k s z t a Bc i e p r o s t o p a d Bo [c i a n u , o p o j e m n o [c i
1 , 8 l i t r a . D o b i e r z w y m i a r y p u d e Bk a , t a k a b y n a j e g o w y p r o d u k o w a n i e z u |y j a k n a j m n i e j
m a t e r i a Bu p r z y j m u j c , |e s t o s u n e k d Bu g o [c i s s i e d n i c h k r a w d z i p o d s t a w y p u d e Bk a j e s t r ó w n y
2 : 3 ( w y k o n u j c o b l i c z e n i a z a n i e d b a j i l o [ m a t e r i a Bu p o t r z e b n e g o n a s k l e j e n i a , z Bo |e n i a i t p . ) .
5 6
Z a d a n i e 1 7 . ( 5 p k t )
U d o w o d n i j t w i e r d z e n i e : J e |e l i w c z t e r o c y f r o w e j l i c z b i e n a t u r a l n e j s u m a c y f r t y s i c y
i d z i e s i t e k j e s t r ó w n a s u m i e c y f r s e t e k i j e d n o [c i , t o l i c z b a t a j e s t p o d z i e l n a p r z e z
j e d e n a [c i e .
5 7
Z a d a n i e 1 8 . ( 5 p k t )
D a n e s f i g u r y f 1 i f 2 o k r e [l o n e w a r u n k a m i :
f 1 = x , y : x " R , y " R '" x 2 - 4 x + y 2 d" 0 ,
( )
{ }
f 2 = x , y : x " R , y " R '" y - x - 2 e" 0 .
( )
{ }
a ) W p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h n a p Ba s z c z y zn i e n a r y s u j f i g u r y f 1 i f 2 o r a z
z a z n a c z f i g u r f = f 1 )" f 2 .
b ) O b l i c z p o l e f i g u r y f .
5 8
Z a d a n i e 1 9 . ( 5 p k t )
N a z a Bc z o n y m s c h e m a c i e w i e r z c h o Bk i t r ó j k t a P R S w y z n a c z a j p o Bo |e n i e o s i e d l i
m i e s z k a n i o w y c h P o t o k , R u c z a j i S t r u g a .
R
S P
a ) O b l i c z o d l e g Bo [ p o m i d z y o s i e d l a m i R u c z a j i P o t o k .
b ) P o s t a n o w i o n o w y b u d o w a c e n t r u m t e l e k o m u n i k a c y j n e w m i e j s c u , z n a j d u j c y m s i
w t a k i e j s a m e j o d l e g Bo [c i o d k a |d e g o z o s i e d l i . O b l i c z o d l e g Bo [ c e n t r u m
t e l e k o m u n i k a c y j n e g o o d o s i e d l a S t r u g a .
5 9
Z a d a n i e 2 0 . ( 9 p k t )
W s t o |e k , w k t ó r y m k t m i d z y t w o r z c a p o d s t a w m a m i a r 2 ± w p i s a n o k u l .
a ) O b l i c z s t o s u n e k o b j t o [c i s t o |k a d o o b j t o [c i k u l i .
b ) W y z n a c z c o s ± , j e |e l i s t o s u n e k o b j t o [c i s t o |k a d o o b j t o [c i k u l i j e s t r ó w n y 9 : 4 .
6 0
6 1
Z a d a n i e 2 1 . ( 4 p k t )
W y z n a c z w s z y s t k i e w a r t o [c i p a r a m e t r u k , d l a k t ó r y c h g r a n i c c i g u a n o w y r a z i e
( )
3 + k Å" n 1
o g ó l n y m a n = j e s t l i c z b a .
6 + k 2 Å"n 2
6 2
B r u d n o p i s
6 3
6 4
M O D E L O D P O W I E D Z I I S C H E M A T O C E N I A N I A
A R K U S Z A I I
L i c z b a
N u m e r
E t a p y r o z w i z a n i a z a d a n i a
z a d a n i a
p u n k t ó w
Z a p i s a n i e u k Ba d u r ó w n a D p o z w a l a j c e g o w y z n a c z y a , b , c :
a
ñø
= 1
ôø
b
ôø
ôø- c
1
n p . = - 1 ( 1 )
òø
1 2
b
ôø
ôø 1
ôø- c = - 1
óø
R o z w i z a n i e u k Ba d u ( 1 ) : a = b = c = 1 . 1
O b l i c z e n i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w w y b r a n i a o d p o w i e d n i o z e s z y t u :
1 1 1 1
1
I , I I , I I I , I V : , , , .
4 4 4 4
O b l i c z e n i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w w y b r a n i a b Bd n i e r o z w i z a n e g o
2 1 1 3
1
z a d a n i a z z e s z y t u : I , I I , I I I , I V : , , , .
1 0 1 0 1 0 1 0
1 3
W y k o r z y s t a n i e w z o r u n a p r a w d o p o d o b i e Ds t w o c a Bk o w i t e
i o b l i c z e n i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w y b r a n i a b Bd n i e r o z w i z a n e g o 1
z a d a n i a : 0 , 1 7 5 .
W y k o r z y s t a n i e w Ba s n o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i o b l i c z e n i e
p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w y b r a n i a b e z b Bd n i e r o z w i z a n e g o 1
z a d a n i a : 0 , 8 2 5 .
Z a s t o s o w a n i e w z o r u n a z a m i a n p o d s t a w y l o g a r y t m u i z a p i s a n i e
n i e r ó w n o [c i w p o s t a c i r ó w n o w a |n e j :
1
l o g a a
l o g a b + + 2 d" 0 .
l o g a b
2
l o g a b + 1
( )
P r z e k s z t a Bc e n i e n i e r ó w n o [c i d o p o s t a c i : d" 0 . 2
l o g a b
1 4
U z a s a d n i e n i e w a r u n k ó w :
2
1
l o g a b + 1 e" 0 o r a z l o g a b < 0 .
( )
'"'" '"'"
0 < a < 1 b > 1 0 < a < 1 b > 1
2
l o g a b + 1
( )
U z a s a d n i e n i e , |e d" 0 . 1
'"'"
l o g a b
0 < a < 1 b > 1
P o w o Ba n i e s i n a d e f i n i c j w i e l o k t a f o r e m n e g o . 1
W y k a z a n i e , |e b o k i s z e [c i o k t a m a j r ó w n d Bu g o [. 1
1 5
W y k a z a n i e , |e k t y s z e [c i o k t a m a j r ó w n m i a r ( w t y m z a
2
m e t o d 1 p . ) .
6 5
A n a l i z a z a d a n i a i w p r o w a d z e n i e o z n a c z e D: n p . 2 x , 3 x - d Bu g o [c i
1
k r a w d z i p o d s t a w y ; h d Bu g o [ w y s o k o [c i ( x , h w y r a |o n e
w d e c y m e t r a c h ) .
W y k o r z y s t a n i e w z o r u n a o b j t o [ p r o s t o p a d Bo [c i a n u d o
V
w y z n a c z e n i a x l u b h : n p . h = , g d z i e V o b j t o [
1
6 x 2
p r o s t o p a d Bo [c i a n u .
W y z n a c z e n i e p o l a p o w i e r z c h n i p r o s t o p a d Bo [c i a n u j a k o f u n k c j i
3
1
1 6
j e d n e j z m i e n n e j i p o d a n i e j e j d z i e d z i n y : P x = + 1 2 x 2 , x " R + .
( )
x
2 4 x 3 - 3
O b l i c z e n i e p o c h o d n e j f u n k c j i P : P ' x = . 1
( )
x 2
R o z w i z a n i e r ó w n a n i a P ' x = 0 : x = 0 , 5 .
( ) 1
K o m e n t a r z z w i z a n y z i s t n i e n i e m n a j m n i e j s z e j w a r t o [c i
1
f u n k c j i P .
W y z n a c z e n i e w y m i a r ó w p u d e Bk a : 1 d m × 1 , 5 d m × 1 , 2 d m .
1
Z a p i s a n i e d o w o l n e j l i c z b y n a t u r a l n e j c z t e r o c y f r o w e j w p o s t a c i :
1
L = 1 0 0 0 x + 1 0 0 y + 1 0 z + t , g d z i e x " N - { }
0 ; y , z , t " N .
Z a p i s a n i e z a Bo |e n i a t w i e r d z e n i a : x + z = y + t .
1
W y k o r z y s t a n i e z a Bo |e n i a t w i e r d z e n i a d o z a p i s u l i c z b y L :
1
1 7
L = 1 0 0 0 x + 1 0 0 y + 1 0 z + x - y + z .
R e d u k c j a w y r a z ó w p o d o b n y c h i z a p i s a n i e l i c z b y L w p o s t a c i
1
i l o c z y n u : L = 1 1 9 1 x + 9 y + z .
( )
K o m e n t a r z z w i z a n y z p o d z i e l n o [c i i l o c z y n u d w ó c h l i c z b
1
n a t u r a l n y c h .
O d c z y t a n i e w s p ó Br z d n y c h [r o d k a : 0 , 2 i d Bu g o [c i p r o m i e n i a
( )
1
o k r g u : r = 2 .
N a r y s o w a n i e f i g u r y f 1 .
1
1 8 N a r y s o w a n i e f i g u r y f 2 .
1
Z a z n a c z e n i e f i g u r y f .
1
O b l i c z e n i e p o l a f i g u r y f : P f = À .
1
Z a p i s a n i e w a r u n k u p o z w a l a j c e g o o b l i c z y o d l e g Bo [ x
p o m i d z y o s i e d l a m i R u c z a j i P o t o k : n p .
1
x 2 = 5 2 + 8 2 - 2 Å"5 Å"8 Å"c o s 6 0 ° .
1 9
O b l i c z e n i e o d l e g Bo [c i p o m i d z y o s i e d l a m i R u c z a j i P o t o k :
1
x = 7 k m .
Z a u w a |e n i e , |e c e n t r u m t e l e k o m u n i k a c y j n e p o w i n n o z n a j d o w a
1
s i w [r o d k u o k r g u o p i s a n e g o n a t r ó j k c i e P R S .
6 6
Z a p i s a n i e w a r u n k u p o z w a l a j c e g o w y z n a c z y p r o m i e D R o k r g u
x
1
o p i s a n e g o n a t r ó j k c i e P R S : n p . 2 R = .
s i n 6 0
1 9
O b l i c z e n i e o d l e g Bo [c i c e n t r u m t e l e k o m u n i k a c y j n e g o o d o s i e d l a
7 3 1
S t r u g a : R = k m .
3
W y k o n a n i e r y s u n k u z o z n a c z e n i a m i l u b w p r o w a d z e n i e d o k Ba d n i e
1
o p i s a n y c h o z n a c z e D.
V S
Z a p i s a n i e s t o s u n k u i d o p r o w a d z e n i e d o p o s t a c i :
V K
1
2
V S 1 r H
ëø öø
= Å" .
ìø ÷ø
V K 4 R R
íø øø
r H r H
O b l i c z e n i e o r a z : = c t g ± , = c t g ± Å" t g 2 ± .
1
R R R R
2
V S 1 r H
ëø öø
Z a p i s a n i e w z o r u = Å" w p o s t a c i :
ìø ÷ø
V K 4 R R
íø øø
1
V S 1
= c t g 3 ± Å" t g 2 ± .
2 0 V K 4
9 1
Z a p i s a n i e r ó w n a n i a : = c t g 3 ± Å" t g 2 ± .
1
4 4
P r z e k s z t a Bc e n i e r ó w n a n i a t r y g o n o m e t r y c z n e g o d o p o s t a c i :
1
2 c o s 4 ± = 9 1 - c o s 2 ± Å" 2 c o s 2 ± - 1 .
( ) ( )
1
P o d s t a w i e n i e : c o s 2 ± = t i z a p i s a n i e r ó w n a n i a z a p o m o c t .
3 3
R o z w i z a n i e r ó w n a n i a : t = (" t = .
1
5 4
À
öø
O b l i c z e n i e c o s ± z u w z g l d n i e n i e m w a r u n k u , |e ± "ëø0 ; :
ìø ÷ø
4
íø øø
1
1 5 3
c o s ± = l u b c o s ± = .
5 2
1
O b l i c z e n i e g r a n i c y c i g u : l i m a n = i k `" 0 .
1
n ’! "
k
1
2 1 W y z n a c z e n i e w a r t o [c i k : k = 2 .
R o z w a |e n i e p r z y p a d k u k = 0 . 1
Z a p i s a n i e o d p o w i e d z i : k = 0 l u b k = 2 . 1
Z a p r a w i d Bo w e r o z w i z a n i e k a |d e g o z z a d a D i n n m e t o d ( z g o d n z p o l e c e n i e m )
o d p r z e d s t a w i o n e j w s c h e m a c i e p r z y z n a j e m y m a k s y m a l n l i c z b p u n k t ó w .
6 7
6 8
V I I . I N F O R M A C J E T E R M I N Y
T e r m i n y , o k t ó r y c h t r z e b a p a m i t a
( d o s e s j i m a t u r a l n e j w m a j u 2 0 0 5 ) :
m a j 2 0 0 3 r . d y r e k t o r C K E o g Bo s i l i s t o l i m p i a d p r z e d m i o t o w y c h
z w a l n i a j c y c h z e g z a m i n ó w m a t u r a l n y c h ,
m a j 2 0 0 4 r . d y r e k t o r C K E p o d a n a s t r o n i e i n t e r n e t o w e j K o m i s j i C e n t r a l n e j
s z c z e g ó Bo w i n f o r m a c j o s p o s o b i e d o s t o s o w a n i a w a r u n k ó w i f o r m y
p r z e p r o w a d z a n i a e g z a m i n u m a t u r a l n e g o d o p o t r z e b a b s o l w e n t ó w
z z a b u r z e n i a m i i o d c h y l e n i a m i r o z w o j o w y m i l u b z e s p e c y f i c z n y m i
t r u d n o [c i a m i w u c z e n i u o r a z c h o r y c h l u b n i e s p r a w n y c h c z a s o w o ,
c z e r w i e c 2 0 0 4 r . d y r e k t o r C K E o k r e [l i , j a k i e [r o d o w i s k a k o m p u t e r o w e ,
p r o g r a m y u |y t k o w e o r a z j z y k i p r o g r a m o w a n i a m o g b y w y b i e r a n e n a
e g z a m i n i e ,
3 0 w r z e [n i a 2 0 0 4 r . u p By w a t e r m i n s k Ba d a n i a p r z e z a b s o l w e n t a d o
d y r e k t o r a s z k o By p i s e m n e j d e k l a r a c j i :
a ) j a k i e p r z e d m i o t y b d z i e z d a w a n a e g z a m i n i e ,
b ) n a j a k i m p o z i o m i e b d z i e z d a w a e g z a m i n u s t n y z j z y k a o b c e g o ,
c ) j a k i t e m a t w y b i e r a z l i s t y t e m a t ó w n a e g z a m i n u s t n y z j z y k a p o l s k i e g o ,
j z y k ó w m n i e j s z o [c i n a r o d o w e j i j z y k a e t n i c z n e g o ,
d ) w y b o r u [r o d o w i s k a k o m p u t e r o w e g o , p r o g r a m ó w u |y t k o w y c h i j z y k a
p r o g r a m o w a n i a p r z e z z d a j c y c h i n f o r m a t y k ,
e ) o p o s i a d a n y m z a [w i a d c z e n i u o d y s l e k s j i r o z w o j o w e j ,
f ) o c h o r o b i e l u b n i e p e Bn o s p r a w n o [c i u p r a w n i a j c e j d o s z c z e g ó l n y c h
w a r u n k ó w p r z e p r o w a d z a n i a e g z a m i n u ,
g r u d z i e D 2 0 0 4 r . d y r e k t o r C K E o g Bo s i h a r m o n o g r a m e g z a m i n ó w
m a t u r a l n y c h w m a j u 2 0 0 5 ,
l u t y 2 0 0 5 r . d y r e k t o r s z k o By , w k t ó r e j o d b d z i e s i e g z a m i n , u s t a l i
h a r m o n o g r a m e g z a m i n ó w u s t n y c h ,
2 8 l u t e g o 2 0 0 5 r . u p By w a o s t a t e c z n y t e r m i n e w e n t u a l n y c h u z a s a d n i o n y c h
z m i a n w d e k l a r a c j a c h s k Ba d a n y c h w e w r z e [n i u ,
m a r z e c 2 0 0 5 r . d y r e k t o r C K E z a m i e [c i n a s t r o n i e i n t e r n e t o w e j K o m i s j i
C e n t r a l n e j i n f o r m a c j o p o m o c a c h , z k t ó r y c h m o g k o r z y s t a z d a j c y
w c z [c i p i s e m n e j e g z a m i n u m a t u r a l n e g o z p o s z c z e g ó l n y c h p r z e d m i o t ó w ,
1 8 k w i e t n i a 2 0 0 5 r . r o z p o c z n s i e g z a m i n y u s t n e ,
5 m a j a 2 0 0 5 r . r o z p o c z n s i e g z a m i n y p i s e m n e ,
3 0 c z e r w c a 2 0 0 5 r . o s t a t e c z n y t e r m i n r o z d a n i a [w i a d e c t w d o j r z a Bo [c i .
6 9
T e r m i n y , o k t ó r y c h t r z e b a p a m i t a
( d o s e s j i m a t u r a l n e j w s t y c z n i u 2 0 0 6 ) :
s t y c z e D 2 0 0 4 r . d y r e k t o r C K E o g Bo s i l i s t o l i m p i a d p r z e d m i o t o w y c h
z w a l n i a j c y c h z e g z a m i n ó w m a t u r a l n y c h ,
s t y c z e D 2 0 0 5 r . d y r e k t o r C K E p o d a n a s t r o n i e i n t e r n e t o w e j K o m i s j i
C e n t r a l n e j s z c z e g ó Bo w i n f o r m a c j o s p o s o b i e d o s t o s o w a n i a w a r u n k ó w
i f o r m y p r z e p r o w a d z a n i a e g z a m i n u m a t u r a l n e g o d o p o t r z e b a b s o l w e n t ó w
z z a b u r z e n i a m i i o d c h y l e n i a m i r o z w o j o w y m i l u b z e s p e c y f i c z n y m i
t r u d n o [c i a m i w u c z e n i u o r a z c h o r y c h l u b n i e s p r a w n y c h c z a s o w o ,
l u t y 2 0 0 5 r . d y r e k t o r C K E o k r e [l i , j a k i e [r o d o w i s k a k o m p u t e r o w e ,
p r o g r a m y u |y t k o w e o r a z j z y k i p r o g r a m o w a n i a m o g b y w y b i e r a n e n a
e g z a m i n i e ,
3 0 c z e r w c a 2 0 0 5 r . u p By w a t e r m i n s k Ba d a n i a p r z e z a b s o l w e n t a d o
d y r e k t o r a s z k o By p i s e m n e j d e k l a r a c j i :
a ) j a k i e p r z e d m i o t y b d z i e z d a w a n a e g z a m i n i e ,
b ) n a j a k i m p o z i o m i e b d z i e z d a w a e g z a m i n u s t n y z j z y k a o b c e g o ,
c ) j a k i t e m a t w y b i e r a z l i s t y t e m a t ó w n a e g z a m i n u s t n y z j z y k a p o l s k i e g o ,
j z y k ó w m n i e j s z o [c i n a r o d o w e j i j z y k a e t n i c z n e g o ,
d ) w y b o r u [r o d o w i s k a k o m p u t e r o w e g o , p r o g r a m ó w u |y t k o w y c h i j z y k a
p r o g r a m o w a n i a p r z e z z d a j c y c h i n f o r m a t y k ,
e ) o p o s i a d a n y m z a [w i a d c z e n i u o d y s l e k s j i r o z w o j o w e j ,
f ) o c h o r o b i e l u b n i e p e Bn o s p r a w n o [c i u p r a w n i a j c e j d o s z c z e g ó l n y c h
w a r u n k ó w p r z e p r o w a d z a n i a e g z a m i n u ,
l i p i e c 2 0 0 5 r . d y r e k t o r C K E o g Bo s i h a r m o n o g r a m e g z a m i n ó w m a t u r a l n y c h
w s t y c z n i u 2 0 0 6 ,
p a zd z i e r n i k 2 0 0 5 r . d y r e k t o r s z k o By , w k t ó r e j o d b d z i e s i e g z a m i n , u s t a l i
h a r m o n o g r a m e g z a m i n ó w u s t n y c h ,
p a zd z i e r n i k 2 0 0 5 r . d y r e k t o r C K E z a m i e [c i n a s t r o n i e i n t e r n e t o w e j
K o m i s j i C e n t r a l n e j i n f o r m a c j o p o m o c a c h , z k t ó r y c h m o g k o r z y s t a z d a j c y
w c z [c i p i s e m n e j e g z a m i n u m a t u r a l n e g o z p o s z c z e g ó l n y c h p r z e d m i o t ó w ,
2 8 p a zd z i e r n i k a 2 0 0 5 r . u p By w a o s t a t e c z n y t e r m i n e w e n t u a l n y c h
u z a s a d n i o n y c h z m i a n w d e k l a r a c j a c h s k Ba d a n y c h w c z e r w c u ,
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