ÿþW p i s u j e z d a j c y p r z e d r o z p o c z c i e m p r a c y
M i e j s c e n a n a l e p k
z k o d e m s z k o By
P E S E L Z D A J C E G O
P R Ó B N Y E G Z A M I N M A T U R A L N Y
Z M A T E M A T Y K I
C K A k u r s p r z y g o t o w u j c y
2 8 k w i e t n i a 2 0 0 5
A r k u s z I I
P o z i o m r o z s z e r z o n y
C z a s p r a c y 1 5 0 m i n u t
I n s t r u k c j a d l a z d a j c e g o
1 . P r o s z s p r a w d z i , c z y a r k u s z e g z a m i n a c y j n y z a w i e r a 1 1 s t r o n . E w e n t u a l n y b r a k n a l e |y z g Bo s i
p r z e w o d n i c z c e m u z e s p o Bu n a d z o r u j c e g o e g z a m i n .
2 . R o z w i z a n i a i o d p o w i e d z i n a l e |y z a p i s a c z y t e l n i e w m i e j s c u n a t o p r z e z n a c z o n y m p r z y k a |d y m
z a d a n i u .
3 . P r o s z p i s a t y l k o w k o l o r z e c z a r n y m ; n i e p i s a o Bó w k i e m .
4 . W r o z w i z a n i a c h z a d a D t r z e b a p r z e d s t a w i t o k r o z u m o w a n i a p r o w a d z c y d o o s t a t e c z n e g o w y n i k u .
5 . N i e w o l n o u |y w a k o r e k t o r a .
6 . B Bd n e z a p i s y t r z e b a w y r a zn i e p r z e k r e [l i .
7 . B r u d n o p i s n i e b d z i e o c e n i a n y .
8 . O b o k k a |d e g o z a d a n i a p o d a n a j e s t m a k s y m a l n a l i c z b a p u n k t ó w , k t ó r m o |n a u z y s k a z a j e g o
p o p r a w n e r o z w i z a n i e . `
9 . P o d c z a s e g z a m i n u m o |n a k o r z y s t a z u d o s t p n i o n e g o z e s t a w u w z o r ó w m a t e m a t y c z n y c h , c y r k l a
i l i n i j k i o r a z k a l k u l a t o r a . N i e m o |n a k o r z y s t a z k a l k u l a t o r a g r a f i c z n e g o .
{y c z y m y p o w o d z e n i a !
W p i s u j e e g z a m i n a t o r / n a u c z y c i e l s p r a w d z a j c y p r a c
N r . z a d a n i a 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 1 0 .
S U M A
M a k s y m a l n a
4 6 5 4 6 3 5 6 6 5 5 0
l i c z b a p u n k t ó w
U z y s k a n a
l i c z b a p u n k t ó w
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 1
U w a g a !
T y l k o n a n a s z y c h s t r o n a c h i n t e r n e t o w y c h :
w w w . z a d a n i a . p l
w w w . c k a . p l
w w w . r o z w i a z a n i a . p l
w d n i u m a t u r y z m a t e m a t y k i t r a d y c y j n i e
z a m i e [c i m y P E AN E r o z w i z a n i a z a d a D m a t u r a l n y c h .
S e r d e c z n i e Z a p r a s z a m y .
C K A
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 2
Z A D A N I E 1 . ( 3 p u n k t y ) W y k a |, |e j e |e l i w s p ó Bc z y n n i k i r ó w n a n i a k w a d r a t o w e g o a x 2 + b x + c = 0 ,
g d z i e a `" 0 s p e Bn i a j r ó w n a n i e a - b + c = 0 , t o r ó w n a n i e t a k i e m a c o n a j m n i e j j e d n o r o z w i z a n i e .
R O Z W I Z A N I E
Z a u w a |m y , |e z r ó w n a n i a a - b + c = 0 , m a m y : b = a + c .
R ó w n a n i e k w a d r a t o w e a x 2 + b x + c = 0 m a c o n a j m n i e j j e d n o r o z w i z a n i e , g d y "e" 0 . M a m y ,
z a t e m :
"= b 2 - 4 a c = a + c - 4 a c = a 2 + 2 a c + c 2 - 4 a c = a 2 - 2 a c + c 2 = a - c e" 0 .
( ) 2 ( ) 2
K w a d r a t k a |d e j l i c z b y j e s t n i e u j e m n y . Z a t e m d o w ó d z o s t a B z a k o Dc z o n y .
Z A D A N I E 2 . ( 4 p u n k t y ) D l a j a k i c h w a r t o [c i p a r a m e t r u a i b l i c z b a 1 j e s t p i e r w i a s t k i e m
p o d w ó j n y m w i e l o m i a n u P y = y 3 + a y 2 + y - b .
( )
R O Z W I Z A N I E
S p o s ó b 1 . P r z e d s t a w i a m y w i e l o m i a n P w p o s t a c i i l o c z y n o w e j ( p r z e z p o z n a n y t r z e c i z j e g o
p i e r w i a s t k ó w ) : P y = y - 1 y - p = y 3 - ( ) ( ) - p .
p + 2 y 2 + 1 + 2 p y
( ) ( ) 2 ( )
P o r ó w n u j c w s p ó Bc z y n n i k i o t r z y m u j e m y u k Ba d r ó w n a D z n i e w i a d o m y m i a , b , p :
p + 2 = a ,
ñø- ( )
ôø1 + 2 p = 1 ,
òø
ôø
- p = - b ,
óø
s t d p = 0 , a = - 2 , b = 0 .
O d p . a = - 2 , b = 0 .
S p o s ó b 2 . L i c z b a 1 j e s t p i e r w i a s t k i e m p o d w ó j n y m w i e l o m i a n u P , j e |e l i :
2
P ( 1 ) = 0 i P ( 1 ) = 0 .
O b l i c z a m y p o c h o d n f u n k c j i P :
2
P ( y ) = 3 y 2 + 2 a y + 1 .
S k d o t r z y m u j e m y u k Ba d r ó w n a D:
1 + a + 1 - b = 0 ,
ñø
òø3 + 2 a + 1 = 0 .
óø
Z d r u g i e g o r ó w n a n i a m a m y
2 a = - 4 , a = - 2 . T a k w y z n a c z o n e a w s t a w i a m y d o r ó w n a n i a p i e r w s z e g o .
1 - 2 + 1 - b = 0 , b = 0 .
O d p . a = - 2 , b = 0 .
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 3
S p o s ó b 3 . M a m y : P 1 = a - b + 2 = 0 , w i c a = b - 2 . S t d
( )
2
P y = y 3 + b - 2 y 2 + y - b = y 3 - 2 y 2 + y + b - 1 = y y - 1 + b - 1
( ) ( ) ( ) 2 2
( y ) ( y ) .
P o n i e w a | ( y - 1 ) 2 m a d z i e l i w i e l o m i a n P , w i c ( y - 1 ) 2 d z i e l i b ( y - 1 ) ( y + 1 ) , c o j e s t m o |l i w e
t y l k o w p r z y p a d k u b = 0 . M a m y w i c :
P ( y ) = y 3 - 2 y 2 + y , a z a t e m a = - 2 , b = 0 .
Z A D A N I E 3 ( 5 p u n k t ó w ) R o z w i | n i e r ó w n o [: 1 + x + 5 > x .
R O Z W I Z A N I E
D z i e d z i n n i e r ó w n o [c i s l i c z b y x e"- 5 .
R o z w i z u j e m y z a t e m n i e r ó w n o [ x + 5 > x - 1 .
Z a u w a |m y , |e d l a x < 1 , p r a w a s t r o n a j e s t u j e m n a i n i e r ó w n o [ s p e Bn i o n a j e s t t o |s a m o [c i o w o . W
t y m p r z y p a d k u r o z w i z a n i e m s l i c z b y x " - 5 , 1 . Z a t e m r o z w i z u j e m y n i e r ó w n o [ d l a x e" 1
)
p o d n o s z c j o b u s t r o n n i e d o k w a d r a t u .
x + 5 > x - 1 , x + 5 > x 2 - 2 x + 1 , x 2 - 3 x - 4 < 0 .
( ) 2
R o z w i z u j e m y o s t a t n i n i e r ó w n o [:
x " - 1 , 4 '" x e"1 . S t d x " 1 , 4 .
( ) )
O s t a t e c z n i e x " - 5 , 1 l u b x " 1 , 4 , c z y l i x " - 5 , 4 .
) )
- 1 x
4
-
O d p . x " - 5 , 4 .
)
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 4
Z A D A N I E 4 ( 5 p u n k t ó w ) D a n y j e s t c i g w k t ó r y m a 1 = 2 , a n + 1 = a n + 2 n + 2 . W y z n a c z w z ó r n a
n - t y w y r a z c i g u a n .
{ }
R O Z W I Z A N I E
W y z n a c z a m y k i l k a p o c z t k o w y c h w y r a z ó w c i g u d a n y c h r e k u r e n c y j n i e . P o d s t a w i a j c d o
w z o r u k o l e j n e l i c z b y n a t u r a l n e o t r z y m u j e m y :
a 1 = 2
a 2 = a 1 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 = 6 ,
a 3 = a 2 + 2 Å"2 + 2 = 6 + 4 + 2 = 1 2 ,
a 4 = a 3 + 2 Å"3 + 2 = 1 2 + 6 + 2 = 2 0 ,
a 5 = a 4 + 2 Å" 4 + 2 = 2 0 + 8 + 2 = 3 0 ,
a 6 = a 5 + 2 Å"5 + 2 = 3 0 + 1 0 + 2 = 4 2 ,
Z e w z o r u o k r e [l a j c e g o c i g m a m y
a n + 1 - a n = 2 n + 2 d l a n " .
P r z y j m u j c :
b 1 = a 1 = 2 ,
b n = a n - a n - 1 = 2 n - 1 + 2 = 2 n d l a n " .
( )
M o |e m y z a p i s a :
a n = a n - a n - 1 + a n - 1 - a n - 2 + + a 2 - a 1 + a 1 = b n + b n - 1 + + b 1 ,
( ) ( ) ( )
G d y | w s z y s t k i e w y r a z y p r a w e j s t r o n y z w y j t k i e m p i e r w s z e g o u l e g a j s k r ó c e n i u .
M a m y w o b e c t e g o
2 n n + 1
( )
a n = 2 n + 2 n - 1 + + 4 + 2 = 2 1 + 2 + + n = = n 2 + n .
( ) ( )
2
O d p . a n = n n + 1 .
( )
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 5
Z A D A N I E 5 . ( 7 p u n k t ó w ) R o z w i | r ó w n a n i e : t g x + t g 2 x + t g 3 x + = s i n x + c o s x
R O Z W I Z A N I E
K o r z y s t a j c z e w z o r u n a s u m s z e r e g u g e o m e t r y c z n e g o
a 1
S = , d l a q < 1 , o t r z y m u j e m y :
1 - q
t g x
= s i n x + c o s x i t g x < 1 ,
1 - t g x
s t d k o l e j n o m a m y :
s i n x
2
= s i n x + c o s x , s i n x = c o s 2 x - s i n 2 x , s i n x = 1 - 2 s i n x ,
c o s x - s i n x
2
2 s i n x + s i n x - 1 = 0 .
P o d s t a w i a m y s i n x = t i o t r z y m u j e m y :
1
2 t 2 + t - 1 = 0 , s k d t 1 = - 1 l u b t 2 = .
2
M a m y , w i c
1
s i n x = - 1 l u b s i n x = .
2
À
P i e r w s z e z r ó w n a D m a r o z w i z a n i a x = - + 2 k À ; t a s e r i a r o z w i z a D n i e s p e Bn i a r ó w n a n i a
2
w y j [c i o w e g o , g d y | f u n k c j a t g x j e s t d l a t y c h w a r t o [c i n i e o k r e [l o n a .
1 À
R ó w n a n i e s i n x = , s i n x = s i n , m a r o z w i z a n i a
2 6
À À
x = + 2 k À l u b x = À - + 2 k À o r a z m a m y :
6 6
À À 1 5 À À 1
öø öø
t g ëø + 2 k À = t g = , t g ëø + 2 k À = - t g = - ,
ìø ÷ø ìø ÷ø
6 6 6 6
íø øø 3 íø øø 3
a w i c s p e Bn i a z a Bo |e n i e t g x < 1 .
À 5 À
O d p . x = + 2 k À l u b x = + 2 k À , g d z i e k = 0 , ± 1 , ± 2 , .
6 6
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 6
Z A D A N I E 6 ( 4 p u n k t y ) W w y c i n e k k o Ba o p r o m i e n i u R i k c i e o s t r y m 2 ± w p i s a n o o k r g .
O b l i c z y p r o m i e D t e g o o k r g u .
R O Z W I Z A N I E
r
M a m y : = s i n ± ,
R - r
r
±
s t d b e z p o [r e d n i o w y l i c z a m y r :
r
O 1
O 2
R - r
r = R s i n ± - r s i n ± ,
r ( 1 + s i n ±) = R s i n ± .
R s i n ±
O d p . r = .
1 + s i n ±
Z A D A N I E 7 ( 7 p u n k t ó w ) T r ó j k t r ó w n o r a m i e n n y o d a n y m o b w o d z i e m o b r a c a s i d o o k o Ba
p o d s t a w y . P o d a m a k s y m a l n o b j t o [ p o w s t a Be j w t e n s p o s ó b b r y By .
R O Z W I Z A N I E
O b j t o [ b r y By p o w s t a Be j p r z e z o b r ó t t r ó j k t a r ó w n o r a m i e n n e g o
C
1 1
p r z e d s t a w i o n e g o n a r y s u n k u o k r e [l a w z ó r : V = 2 Å" À h 2 Å" y , c z y l i
3 2
x
x
1
h
V = À h 2 y . O b w ó d t r ó j k t a A B C w y n o s i m , c z y l i
3
B
A
1 D
y + 2 x = m s t d y = m - 2 x . N a p o d s t a w i e t w i e r d z e n i a P i t a g o r a s a d l a
y
2
1 1
x x
t r ó j k t a A D C , o t r z y m u j e m y : h 2 + y 2 = x 2 , s k d h 2 = x 2 - y 2 .
4 4
P o n i e w a | y = m - 2 x t o
C 2
1 2 1
h 2 = x 2 - ( - 2 x , s t d h 2 = m x - m 2 .
m
)
4 4
O b j t o [ b r y By w z a l e |n o [c i o d x j e s t r ó w n a :
1 1 3 1 m
À
ëø ëø
V x = À m x - m 2 öøÅ" m - 2 x = - 2 m x 2 + m 2 x - m 3 öø d l a 0 < x < .
( ) ( )
ìø÷øìø÷ø
3 4 3 2 4 2
íøøøíøøø
W y z n a c z a m y m a k s i m u m f u n k c j i
À 3
ëø
2
V x = - 4 m x + m 2 öø ,
( )
ìø÷ø
3 2
íøøø
a n a s t p n i e b a d a m y z n a k p o c h o d n e j :
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 7
3 3
2
V x > 0 Ô!- 4 m x + m 2 > 0 Ô! x < m .
( )
2 8
N a o s i z a z n a c z a m y z n a k p o c h o d n e j
S t d w y n i k a , |e m a k s i m u m f u n k c j i j e s t w p u n k c i e
F u n k c j a r o [n i e F u n k c j a m a l e j e
0
2
V x
( )
+ + + + - - - -
3
x 0 = m , a w i c :
m m
3
0
8
m
2
8
3 À
ëø
O d p . V m a x = V m öø = m 3 .
ìø ÷ø
8 9 6
íø øø
Z A D A N I E 8 ( 5 p u n k t ó w ) N a r y s o w a z b i ó r A )" B , j e [l i A = x , y : x + y d" 1 ,
( )
{ }
B = x , y : y e" l o g 2 x + 1 .
( ) ( )
{ }
R O Z W I Z A N I E
Z b i ó r A j e s t s y m e t r y c z n y w z g l d e m o s i u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h .
D l a x e" 0 '" y e" 0 , m a m y x + y d" 1 .
y
1
1
x
P o o d b i c i u t e g o z b i o r u w z g l d e m o s i u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h , m a m y r y s u n e k a .
W c e l u w y z n a c z e n i a z b i o r u B , p r z e d s t a w i a m y w y k r e s f u n k c j i y = l o g 2 ( x + 1 ) n a r y s u n k u b .
y
y
B
z b r z e g i e m
1
A
z b r z e g i e m
- 1
1 x
1
- 1
x
- 1
r y s a .
r y s b .
n a t o m i a s t z b i ó r A )" B p r z e d s t a w i a r y s u n e k c , o r a z A \ B p r z e d s t a w i o n o n a r y s u n k u d .
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 8
y
A )" B
1
z b r z e g i e m
- 1
1 x
- 1
r y s c .
1 2
2
ëøöø
3
Z A D A N I E 9 ( 5 p u n k t ó w ) Z n a l e z w y r a z r o z w i n i c i a d w u m i a n u x + w k t ó r y m n i e
ìø÷ø
x
íøøø
w y s t p u j e x .
R O Z W I Z A N I E
K o r z y s t a j c z d w u m i a n u N e w t o n a :
n
n
a + b = a n - k b k ,
( ) n ìø k öø
"ëø ÷ø
íø øø
k = 0
m a m y
1 2 - k 1 2 - k
1 2
1 2
- k
1 2 1 2
2 2 k 1 2
ëøöøëø öøëø öø 3
3
3
x + = x Å" = x Å"2 k .
ìø÷ø " ìø ÷ø " ìø ÷ø
x k
íøøø x k k = 0 k
íø øøíø øø
k = 0
W t y m w y r a |e n i u x n i e b d z i e w y s t p o w a B, g d y :
1 2 - k
- k = 0 ,
3
c z y l i 1 2 - k - 3 k = 0 , s t d k = 3 .
O b l i c z a m y w y r a z c z w a r t y r ó w n a n i a :
3
9
1 2 1 2 1 2
ëø öøëø öøëø öø
2 8 1 0 Å"1 1 Å"1 2
öø= x 3 Å" = 8 Å"ìø ÷ø = 8 Å"= 8 Å"1 0 Å"1 1 Å" 2 = 1 7 6 0 .
3
( )
ìø ÷øÅ" x Å"ëø ÷ø ìø ÷ø
ìø
3 x 3 1 Å" 2 Å"3
íø øø x 3 3
íø øøíø øøíø øø
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 9
Z a d a n i e 1 0 ( 5 p u n k t ó w ) R z u c a m y r a z k o s t k , a n a s t p n i e m o n e t t y l e r a z y , i l e o c z e k w y p a d Bo n a
k o s t c e . O b l i c z p r a w d o p o d o b i e Ds t w o , |e a n i r a z u n i e w y r z u c i m y r e s z k i .
R O Z W I Z A N I E
N i e c h A i o z n a c z a w y r z u c e n i e k o s t k i o c z e k d l a i = 1 , 2 , , 6 , n a t o m i a s t
B , n i e w y r z u c e n i e r e s z k i , c z y l i w y r z u c a m y s a m e o r By .
1
M a m y P A i = d l a i = 1 , 2 , , 6 o r a z
( )
6
1
P B / A i = , i = 1 , 2 , , 6 .
( )
2 i
Z a s t o s u j e m y w z ó r n a p r a w d o p o d o b i e Ds t w o c a Bk o w i t e
1 1 1 1
ëøöø
P B = P A 1 P B / A 1 + P A 2 P B / A 2 + + P A 6 P B / A 6 = + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ìø
6 2 2 2 2 6 ÷ø
íøøø
6
îøùø
1
ëø öø
ïø1 1 - ìø ÷ø úø
1 1 1 6 3 2 1
2 ëø1 - öø
íø øø
ïøúø
= = = = .
ìø
1
ïøúø
6 2 6 2 6 ÷ø 3 8 4 1 2 8
íø øø
1 -
ïøúø
2
ïøúø
ðøûø
Z a d a n i a p o c h o d z z k s i |e k n a s z e g o w y d a w n i c t w a
1 . M a t e m a t y k a n o w a m a t u r a - z a g a d n i e n i a t e o r e t y c z n e w r a z z p r z y k Ba d a m i c z . I .
2 . M a t e m a t y k a n o w a m a t u r a - 1 0 0 1 z a d a D z p e Bn y m i r o z w i z a n i a m i i k o m e n t a r z e m c z . I I
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 1 0
M a t e m a t y k a n o w a m a t u r a - z a g a d n i e n i a t e o r e t y c z n e w r a z
z p r z y k Ba d a m i c z . 1 j e s t k s i |k p r z e z n a c z o n d l a u c z n i ó w
p r z y g o t o w u j c y c h s i d o e g z a m i n u m a t u r a l n e g o z m a t e m a t y k i
n a p o z i o m i e p o d s t a w o w y m i r o z s z e r z o n y m . Z a w i e r a
o p r a c o w a n i e z a g a d n i e D t e o r e t y c z n y c h z g o d n y c h z w y m a g a n i a m i
p r o g r a m u n a u c z a n i a . Z a w a r t y m a t e r i a B p r z e d s t a w i o n y j e s t
s p o s ó b z w i z By , z o b r a z o w a n y l i c z n y m i p r z y k Ba d a m i . K s i |k a
o b e j m u j e w s z y s t k i e z a g a d n i e n i a o b o w i z u j c e n a e g z a m i n i e
m a t u r a l n y m z m a t e m a t y k i t j .
p o d s t a w o w e d z i a Ba n i a ( p r o c e n t y , [r e d n i e , w y k r e s y i d i a g r a m y ) ,
f u n k c j a l i n i o w a i k w a d r a t o w a , w i e l o m i a n y , r ó w n a n i a i n i e r ó w n o [c i
a l g e b r a i c z n e , f u n k c j a w y k Ba d n i c z a , f u n k c j a l o g a r y t m i c z n a ,
f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e , f u n k c j e c y k l o m e t r y c z n e , i n d u k c j a
m a t e m a t y c z n a , d w u m i a n N e w t o n a , c i g i l i c z b o w e , f u n k c j a i
r a c h u n e k r ó |n i c z k o w y , p l a n i m e t r i a , s t e r e o m e t r i a , g e o m e t r i a
a n a l i t y c z n a , k o m b i n a t o r y k a , r a c h u n e k p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i
z m i e n n a l o s o w a o r a z e l e m e n t y s t a t y s t y k i .
D o s k o n a By m u z u p e Bn i e n i e m t e j p o z y c j i j e s t k s i |k a n a s z e g o
w y d a w n i c t w a M a t e m a t y k a n o w a m a t u r a 1 0 0 1 z a d a D z
p e Bn y m i r o z w i z a n i a m i i k o m e n t a r z a m i .
W y d a w n i c t w o : C e n t r u m K s z t a Bc e n i a A k a d e m i c k i e g o C K A
W y d a n i e : p i e r w s z e s t y c z e D 2 0 0 5
F o r m a t : A 5
I l o [ s t r o n : 2 3 7
C e n a d e t a l i c z n a : 3 5 , - P L N
I S B N : 8 3 - 9 1 8 3 9 1 - 3 - 3
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 1 1
M a t e m a t y k a n o w a m a t u r a - 1 0 0 1 z a d a D z p e Bn y m i r o z w i z a n i a m i
i k o m e n t a r z a m i c z . I I . K s i |k a z a w i e r a 1 0 0 1 z a d a D z p e Bn y m i
r o z w i z a n i a m i i k o m e n t a r z a m i . J e s t t o j e d y n a t a k a p u b l i k a c j a n a r y n k u ,
z a w i e r a j c a t a k o g r o m n b a z z a d a D p r z e z n a c z o n d o p r z y g o t o w a n i a
s i d o n o w e j m a t u r y z m a t e m a t y k i . Z a d a n i a z o s t a By u Bo |o n e d z i a Ba m i
m a t e m a t y k i i o b e j m u j p o z i o m p o d s t a w o w y i r o z s z e r z o n y . D o s k o n a By m
u z u p e Bn i e n i e m d r u g i e j c z [c i k s i |k i j e s t M a t e m a t y k a n o w a m a t u r a
- z a g a d n i e n i a t e o r e t y c z n e w r a z z p r z y k Ba d a m i c z . 1 g d z i e z a w a r t a
j e s t t e o r i a n i e z b d n a d o r o z w i z y w a n i a z a d a D. O b y d w i e k s i |k i
s t a n o w i i n t e g r a l n c a Bo [ a l e z a k u p i j e m o |n a o s o b n o .
A u t o r z y o b u p o z y c j i z m a t e m a t y k i s p r z e k o n a n i , |e d z i k i t y m o b u
k s i |k o m m a t u r z y s t a n a b d z i e u m i e j t n o [c i r o z u m i e n i a i r o z w i z y w a n i a
z a d a D z t e j , c a Bk i e m p r z y j e m n e j , d z i e d z i n y , j a k j e s t m a t e m a t y k a . A c o
n a j w a |n i e j s z e s k u t e c z n i e p r z y g o t u j e s i d o e g z a m i n u m a t u r a l n e g o .
W y d a w n i c t w o : C e n t r u m K s z t a Bc e n i a A k a d e m i c k i e g o C K A
W y d a n i e : p i e r w s z e s t y c z e D 2 0 0 5
F o r m a t : A 5
I l o [ s t r o n : 6 0 1
C e n a d e t a l i c z n a : 4 9 , 9 0 P L N
I S B N : 8 3 - 9 1 8 3 9 1 - 4 - 1
P r z y k Ba d o w e z a d a n i a z k s i |k i M a t e m a t y k a n o w a m a t u r a 1 0 0 1 z a d a D z p e Bn y m i
r o z w i z a n i a m i i k o m e n t a r z a m i c z . I I © C K A 2 0 0 5 s d o s t p n e n a n a s z e j s t r o n i e
i n t e r n e t o w e j d o b e z p Ba t n e g o p o b r a n i a .
K s i |k m o |n a z a m ó w i n a n a s z e j s t r o n i e i n t e r n e t o w e j w w w . c k a . p l l u b w w w . z a d a n i a . p l .
S e r d e c z n i e z a p r a s z a m y !
© C e n t r u m K s z t a Bc e n i a A k a d e m i c k i e g o C . K . A . , G l i w i c e 2 0 0 5 .
N i e a u t o r y z o w a n e r o z p o w s z e c h n i a n i e c a Bo [c i l u b f r a g m e n t ó w n i n i e j s z e j p u b l i k a c j i w c e l a c h k o m e r c y j n y c h w j a k i e j k o l w i e k p o s t a c i j e s t z a b r o n i o n e . W y k o n y w a n i e k o p i i
m e t o d k s e r o g r a f i c z n , f o t o g r a f i c z n a t a k |e k o p i o w a n i e n a n o [n i k u f i l m o w y m , m a g n e t y c z n y m l u b i n n y m p o w o d u j e n a r u s z e n i e p r a w a u t o r s k i c h n i n i e j s z e j
p u b l i k a c j i .
© C K A 2 0 0 5 . P l i k p o b r a n y z e s t r o n y w w w . z a d a n i a . p l - M a t e m a t y k a t r e n i n g p r z e d m a t u r - A r k u s z I I r o z w i z a n i a s t r o n a 1 2
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