plik


��Wpisuje zdajcy przed rozpoczciem pracy Miejsce na nalepk z kodem szkoBy PESEL ZDAJCEGO PR�BNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CKA  kurs przygotowujcy 28 kwietnia 2005 Arkusz II Poziom rozszerzony Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdajcego 1. Prosz sprawdzi, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 11 stron. Ewentualny brak nale|y zgBosi przewodniczcemu zespoBu nadzorujcego egzamin. 2. Rozwizania i odpowiedzi nale|y zapisa czytelnie w miejscu na to przeznaczonym przy ka|dym zadaniu. 3. Prosz pisa tylko w kolorze czarnym; nie pisa oB�wkiem. 4. W rozwizaniach zadaD trzeba przedstawi tok rozumowania prowadzcy do ostatecznego wyniku. 5. Nie wolno u|ywa korektora. 6. BBdne zapisy trzeba wyraznie przekre[li. 7. Brudnopis nie bdzie oceniany. 8. Obok ka|dego zadania podana jest maksymalna liczba punkt�w, kt�r mo|na uzyska za jego poprawne rozwizanie.` 9. Podczas egzaminu mo|na korzysta z udostpnionego zestawu wzor�w matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie mo|na korzysta z kalkulatora graficznego. {yczymy powodzenia! Wpisuje egzaminator / nauczyciel sprawdzajcy prac Nr. zadania 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. SUMA Maksymalna 4 6 5 4 6 3 5 6 6 5 50 liczba punkt�w Uzyskana liczba punkt�w � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 1 Uwaga! Tylko na naszych stronach internetowych: www.zadania.pl www.cka.pl www.rozwiazania.pl w dniu matury z matematyki tradycyjnie zamie[cimy PEANE rozwizania zadaD maturalnych. Serdecznie Zapraszamy. CKA � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 2 ZADANIE 1.(3 punkty) Wyka|, |e je|eli wsp�Bczynniki r�wnania kwadratowego ax2 + bx + c = 0 , gdzie a `" 0 speBniaj r�wnanie a - b + c = 0, to r�wnanie takie ma co najmniej jedno rozwizanie. ROZWIZANIE Zauwa|my, |e z r�wnania a - b + c = 0, mamy: b = a + c . R�wnanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 ma co najmniej jedno rozwizanie, gdy "e" 0 . Mamy, zatem: "= b2 - 4ac = a + c - 4ac = a2 + 2ac + c2 - 4ac = a2 - 2ac + c2 = a - c e" 0 . ( )2 ( )2 Kwadrat ka|dej liczby jest nieujemny. Zatem dow�d zostaB zakoDczony. ZADANIE 2. (4 punkty) Dla jakich warto[ci parametru a i b liczba 1 jest pierwiastkiem podw�jnym wielomianu P y = y3 + ay2 + y - b . ( ) ROZWIZANIE Spos�b 1. Przedstawiamy wielomian P w postaci iloczynowej (przez poznany trzeci z jego pierwiastk�w): P y = y -1 y - p = y3 -( ) ( ) - p . p + 2 y2 + 1+ 2 p y ( ) ( )2 ( ) Por�wnujc wsp�Bczynniki otrzymujemy ukBad r�wnaD z niewiadomymi a, b, p: p + 2 = a, ��-( ) ��1+ 2 p =1, �� �� - p =-b, �� std p = 0, a =-2, b = 0 . Odp. a = -2, b = 0 . Spos�b 2. Liczba 1 jest pierwiastkiem podw�jnym wielomianu P , je|eli: 2 P(1) = 0 i P (1) = 0 . Obliczamy pochodn funkcji P: 2 P (y) = 3y2 + 2ay +1. Skd otrzymujemy ukBad r�wnaD: 1+ a +1- b = 0, �� ��3+ 2a +1 = 0. �� Z drugiego r�wnania mamy 2a = -4 , a = -2. Tak wyznaczone a wstawiamy do r�wnania pierwszego. 1- 2 +1- b = 0 , b = 0 . Odp. a = -2, b = 0 . � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 3 Spos�b 3. Mamy: P 1 = a - b + 2 = 0 , wic a = b - 2. Std ( ) 2 P y = y3 + b - 2 y2 + y - b = y3 - 2y2 + y + b -1 = y y -1 + b -1 ( ) ( ) ( )2 2 (y ) (y ). Poniewa| (y -1)2 ma dzieli wielomian P ,wic (y -1)2 dzieli b(y -1)(y +1), co jest mo|liwe tylko w przypadku b = 0 . Mamy wic: P(y) = y3 - 2y2 + y , a zatem a = -2, b = 0 . ZADANIE 3 (5 punkt�w) Rozwi| nier�wno[: 1+ x + 5 > x . ROZWIZANIE Dziedzin nier�wno[ci s liczby x e"-5 . Rozwizujemy zatem nier�wno[ x + 5 > x -1. Zauwa|my, |e dla x <� 1, prawa strona jest ujemna i nier�wno[ speBniona jest to|samo[ciowo. W tym przypadku rozwizaniem s liczby x " - 5,1 . Zatem rozwizujemy nier�wno[ dla x e" 1 ) podnoszc j obustronnie do kwadratu. x + 5 > x -1 , x + 5 > x2 - 2x +1, x2 - 3x - 4 <� 0 . ( )2 Rozwizujemy ostatni nier�wno[: x " -1, 4 '" x e"1. Std x " 1, 4 . ( ) ) Ostatecznie x " - 5,1 lub x " 1, 4 , czyli x " - 5, 4 . ) ) -1 x 4 - Odp. x " - 5, 4 . ) � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 4 ZADANIE 4 (5 punkt�w) Dany jest cig w kt�rym a1 = 2, an+1 = an + 2n + 2 . Wyznacz wz�r na n-ty wyraz cigu an . { } ROZWIZANIE Wyznaczamy kilka pocztkowych wyraz�w cigu danych rekurencyjnie. Podstawiajc do wzoru kolejne liczby naturalne otrzymujemy: a1 = 2 a2 = a1 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 = 6 , a3 = a2 + 2�"2 + 2 = 6 + 4 + 2 =12 , a4 = a3 + 2�"3+ 2 =12 + 6 + 2 = 20 , a5 = a4 + 2�" 4 + 2 = 20 + 8 + 2 = 30 , a6 = a5 + 2�"5 + 2 = 30 +10 + 2 = 42 , Ze wzoru okre[lajcego cig mamy an+1 - an = 2n + 2 dla n" . Przyjmujc: b1 = a1 = 2 , bn = an - an-1 = 2 n -1 + 2 = 2n dla n " . ( ) Mo|emy zapisa: an = an - an-1 + an-1 - an-2 + + a2 - a1 + a1 = bn + bn-1 + + b1, ( ) ( ) ( ) Gdy| wszystkie wyrazy prawej strony z wyjtkiem pierwszego ulegaj skr�ceniu. Mamy wobec tego 2n n +1 ( ) an = 2n + 2 n -1 + + 4 + 2 = 2 1+ 2 + + n == n2 + n . ( ) ( ) 2 Odp. an = n n +1 . ( ) � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 5 ZADANIE 5. (7 punkt�w) Rozwi| r�wnanie: tg x + tg2 x + tg3 x + = sin x + cos x ROZWIZANIE Korzystajc ze wzoru na sum szeregu geometrycznego a1 S = , dla q <� 1, otrzymujemy: 1- q tg x = sin x + cos x i tg x <� 1, 1- tg x std kolejno mamy: sin x 2 = sin x + cos x , sin x = cos2 x - sin2 x , sin x = 1- 2sin x , cos x - sin x 2 2sin x + sin x -1 = 0 . Podstawiamy sin x = t i otrzymujemy: 1 2t2 + t -1 = 0 , skd t1 = -1 lub t2 = . 2 Mamy, wic 1 sin x = -1 lub sin x = . 2 � Pierwsze z r�wnaD ma rozwizania x = - + 2k� ; ta seria rozwizaD nie speBnia r�wnania 2 wyj[ciowego, gdy| funkcja tg x jest dla tych warto[ci nieokre[lona. 1 � R�wnanie sin x = , sin x = sin , ma rozwizania 2 6 � � x = + 2k� lub x = � - + 2k� oraz mamy: 6 6 � � 1 5� � 1 �� �� tg�� + 2k� = tg = , tg�� + 2k� = - tg = - , �� �� �� �� 6 6 6 6 �� �� 3 �� �� 3 a wic speBnia zaBo|enie tg x <� 1. � 5� Odp. x = + 2k� lub x = + 2k� , gdzie k = 0, �1, � 2, . 6 6 � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 6 ZADANIE 6 (4 punkty) W wycinek koBa o promieniu R i kcie ostrym 2� wpisano okrg. Obliczy promieD tego okrgu. ROZWIZANIE r Mamy: = sin � , R - r r � std bezpo[rednio wyliczamy r: r O1 O2 R - r r = R sin � - r sin � , r(1+ sin �) = Rsin � . R sin � Odp. r = . 1+ sin � ZADANIE 7 (7 punkt�w) Tr�jkt r�wnoramienny o danym obwodzie m obraca si dookoBa podstawy. Poda maksymaln objto[ powstaBej w ten spos�b bryBy. ROZWIZANIE Objto[ bryBy powstaBej przez obr�t tr�jkta r�wnoramiennego C 1 1 przedstawionego na rysunku okre[la wz�r: V = 2�" � h2 �" y , czyli 3 2 x x 1 h V = � h2 y . Obw�d tr�jkta ABC wynosi m, czyli 3 B A 1 D y + 2x = m std y = m - 2x . Na podstawie twierdzenia Pitagorasa dla y 2 1 1 x x tr�jkta ADC, otrzymujemy: h2 + y2 = x2 , skd h2 = x2 - y2 . 4 4 Poniewa| y = m - 2x to C2 1 2 1 h2 = x2 - ( - 2x , std h2 = mx - m2 . m ) 4 4 Objto[ bryBy w zale|no[ci od x jest r�wna: 113 1 m � �� �� V x = � mx - m2 ���" m - 2x = -2mx2 + m2x - m3 �� dla 0 <� x <� . ( ) ( ) �������� 3432 4 2 �������� Wyznaczamy maksimum funkcji � 3 �� 2 V x = -4mx + m2 �� , ( ) ���� 32 ���� a nastpnie badamy znak pochodnej: � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 7 33 2 V x > 0 �!-4mx + m2 > 0 �! x <� m . ( ) 28 Na osi zaznaczamy znak pochodnej Std wynika, |e maksimum funkcji jest w punkcie Funkcja ro[nie Funkcja maleje 0 2 V x ( ) + + + + ---- 3 x0 = m , a wic: m m 3 0 8 m 2 8 3 � �� Odp. Vmax = V m�� = m3 . �� �� 8 96 �� �� ZADANIE 8 (5 punkt�w) Narysowa zbi�r A)" B , je[li A = x, y : x + y d" 1 , ( ) { } B = x, y : y e" log2 x +1 . ( ) ( ) { } ROZWIZANIE Zbi�r A jest symetryczny wzgldem osi ukBadu wsp�Brzdnych. Dla x e" 0 '" y e" 0, mamy x + y d" 1. y 1 1 x Po odbiciu tego zbioru wzgldem osi ukBadu wsp�Brzdnych, mamy rysunek a. W celu wyznaczenia zbioru B, przedstawiamy wykres funkcji y = log2(x +1) na rysunku b. y y B z brzegiem 1 A z brzegiem -1 1 x 1 -1 x -1 rys a. rys b. natomiast zbi�r A )" B przedstawia rysunek c, oraz A \ B przedstawiono na rysunku d. � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 8 y A )" B 1 z brzegiem -1 1 x -1 rys c. 12 2 ���� 3 ZADANIE 9 (5 punkt�w) Znalez wyraz rozwinicia dwumianu x + w kt�rym nie ���� x ���� wystpuje x. ROZWIZANIE Korzystajc z dwumianu Newtona: n n a + b = an-kbk , ( )n �� k �� "�� �� �� �� k =0 mamy 12-k 12-k 12 12 -k 1212 22k 12 ������ ���� �� 3 3 3 x + = x �" = x �"2k . ���� " �� �� " �� �� x k ���� xk k=0 k �� ���� �� k=0 W tym wyra|eniu x nie bdzie wystpowaB, gdy: 12 - k - k = 0 , 3 czyli 12 - k - 3k = 0, std k = 3. Obliczamy wyraz czwarty r�wnania: 3 9 121212 �� ���� ���� �� 2810�"11�"12 ��= x3 �" = 8�"�� �� = 8�"= 8�"10�"11�" 2 = 1760 . 3 ( ) �� ���" x �"�� �� �� �� �� 3 x 3 1�" 2�"3 �� �� x3 3 �� ���� ���� �� � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 9 Zadanie 10 (5 punkt�w) Rzucamy raz kostk, a nastpnie monet tyle razy, ile oczek wypadBo na kostce. Oblicz prawdopodobieDstwo, |e ani razu nie wyrzucimy reszki. ROZWIZANIE Niech Ai oznacza wyrzucenie kostk i oczek dla i = 1, 2, ,6 , natomiast B, nie wyrzucenie reszki, czyli wyrzucamy same orBy. 1 Mamy P Ai = dla i =1, 2, , 6 oraz ( ) 6 1 P B / Ai = , i = 1, 2, ,6 . ( ) 2i Zastosujemy wz�r na prawdopodobieDstwo caBkowite 1 1 11 ���� P B = P A1 P B / A1 + P A2 P B / A2 + + P A6 P B / A6 = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �� 6 2 22 26 �� ���� 6 ���� 1 �� �� ��1 1- �� �� �� 1 1 1 63 21 2 ��1- �� �� �� ���� == = = . �� 1 ���� 6 26 26 �� 384 128 �� �� 1- ���� 2 ���� ���� Zadania pochodz z ksi|ek naszego wydawnictwa 1. Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykBadami cz. I. 2. Matematyka nowa matura - 1001 zadaD z peBnymi rozwizaniami i komentarzem cz.II � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 10  Matematyka  nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykBadami cz.1 jest ksi|k przeznaczon dla uczni�w przygotowujcych si do egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Zawiera opracowanie zagadnieD teoretycznych zgodnych z wymaganiami programu nauczania. Zawarty materiaB przedstawiony jest spos�b zwizBy, zobrazowany licznymi przykBadami. Ksi|ka obejmuje wszystkie zagadnienia obowizujce na egzaminie maturalnym z matematyki tj. podstawowe dziaBania (procenty, [rednie, wykresy i diagramy), funkcja liniowa i kwadratowa, wielomiany, r�wnania i nier�wno[ci algebraiczne, funkcja wykBadnicza, funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne, funkcje cyklometryczne, indukcja matematyczna, dwumian Newtona, cigi liczbowe, funkcja i rachunek r�|niczkowy, planimetria, stereometria, geometria analityczna, kombinatoryka, rachunek prawdopodobieDstwa i zmienna losowa oraz elementy statystyki. DoskonaBym uzupeBnieniem tej pozycji jest ksi|ka naszego wydawnictwa  Matematyka  nowa matura  1001 zadaD z peBnymi rozwizaniami i komentarzami . Wydawnictwo: Centrum KsztaBcenia Akademickiego CKA Wydanie: pierwsze styczeD 2005 Format: A5 Ilo[ stron: 237 Cena detaliczna: 35,- PLN ISBN: 83-918391-3-3 � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 11  Matematyka  nowa matura - 1001 zadaD z peBnymi rozwizaniami i komentarzami cz.II . Ksi|ka zawiera 1001 zadaD z peBnymi rozwizaniami i komentarzami. Jest to jedyna taka publikacja na rynku, zawierajca tak ogromn baz zadaD przeznaczon do przygotowania si do nowej matury z matematyki. Zadania zostaBy uBo|one dziaBami matematyki i obejmuj poziom podstawowy i rozszerzony. DoskonaBym uzupeBnieniem drugiej cz[ci ksi|ki jest  Matematyka  nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykBadami cz.1 gdzie zawarta jest teoria niezbdna do rozwizywania zadaD. Obydwie ksi|ki stanowi integraln caBo[ ale zakupi je mo|na osobno. Autorzy obu pozycji z matematyki s przekonani, |e dziki tym obu ksi|kom maturzysta nabdzie umiejtno[ci rozumienia i rozwizywania zadaD z tej, caBkiem przyjemnej, dziedziny, jak jest matematyka. A co najwa|niejsze skutecznie przygotuje si do egzaminu maturalnego. Wydawnictwo: Centrum KsztaBcenia Akademickiego CKA Wydanie: pierwsze styczeD 2005 Format: A5 Ilo[ stron: 601 Cena detaliczna: 49,90 PLN ISBN: 83-918391-4-1 PrzykBadowe zadania z ksi|ki  Matematyka nowa matura  1001 zadaD z peBnymi rozwizaniami i komentarzami cz. II � CKA 2005 s dostpne na naszej stronie internetowej do bezpBatnego pobrania. Ksi|k mo|na zam�wi na naszej stronie internetowej www.cka.pl lub www.zadania.pl. Serdecznie zapraszamy! � Centrum KsztaBcenia Akademickiego  C.K.A. , Gliwice 2005. Nieautoryzowane rozpowszechnianie caBo[ci lub fragment�w niniejszej publikacji w celach komercyjnych w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metod kserograficzn, fotograficzn a tak|e kopiowanie na no[niku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji. � CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka  trening przed matur - Arkusz II  rozwizania strona 12

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
mat trening? roz
mat trening? 2
mat trening?
Mat 6 Grawitacja dolny
MAT BUD 6
trening wytrzymalosci
arm mat mult ?st q15?
Mat Bud wyk
Król Fijewska M Trening asertywności
23 ROZ warunki i tryb postępowania w spr rozbiórek obiek
arm mat mult q15? source

więcej podobnych podstron