��Wpisuje zdajcy przed rozpoczciem pracy
Miejsce na nalepk
z kodem szkoBy
PESEL ZDAJCEGO
PR�BNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
CKA kurs przygotowujcy
28 kwietnia 2005
Arkusz II
Poziom rozszerzony
Czas pracy 150 minut
Instrukcja dla zdajcego
1. Prosz sprawdzi, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 11 stron. Ewentualny brak nale|y zgBosi
przewodniczcemu zespoBu nadzorujcego egzamin.
2. Rozwizania i odpowiedzi nale|y zapisa czytelnie w miejscu na to przeznaczonym przy ka|dym
zadaniu.
3. Prosz pisa tylko w kolorze czarnym; nie pisa oB�wkiem.
4. W rozwizaniach zadaD trzeba przedstawi tok rozumowania prowadzcy do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno u|ywa korektora.
6. BBdne zapisy trzeba wyraznie przekre[li.
7. Brudnopis nie bdzie oceniany.
8. Obok ka|dego zadania podana jest maksymalna liczba punkt�w, kt�r mo|na uzyska za jego
poprawne rozwizanie.`
9. Podczas egzaminu mo|na korzysta z udostpnionego zestawu wzor�w matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora. Nie mo|na korzysta z kalkulatora graficznego.
{yczymy powodzenia!
Wpisuje egzaminator / nauczyciel sprawdzajcy prac
Nr. zadania 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
SUMA
Maksymalna
4 6 5 4 6 3 5 6 6 5 50
liczba punkt�w
Uzyskana
liczba punkt�w
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 1
Uwaga!
Tylko na naszych stronach internetowych:
www.zadania.pl
www.cka.pl
www.rozwiazania.pl
w dniu matury z matematyki tradycyjnie
zamie[cimy PEANE rozwizania zadaD maturalnych.
Serdecznie Zapraszamy.
CKA
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 2
ZADANIE 1.(3 punkty) Wyka|, |e je|eli wsp�Bczynniki r�wnania kwadratowego ax2 + bx + c = 0 ,
gdzie a `" 0 speBniaj r�wnanie a - b + c = 0, to r�wnanie takie ma co najmniej jedno rozwizanie.
ROZWIZANIE
Zauwa|my, |e z r�wnania a - b + c = 0, mamy: b = a + c .
R�wnanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 ma co najmniej jedno rozwizanie, gdy "e" 0 . Mamy,
zatem:
"= b2 - 4ac = a + c - 4ac = a2 + 2ac + c2 - 4ac = a2 - 2ac + c2 = a - c e" 0 .
( )2 ( )2
Kwadrat ka|dej liczby jest nieujemny. Zatem dow�d zostaB zakoDczony.
ZADANIE 2. (4 punkty) Dla jakich warto[ci parametru a i b liczba 1 jest pierwiastkiem
podw�jnym wielomianu P y = y3 + ay2 + y - b .
( )
ROZWIZANIE
Spos�b 1. Przedstawiamy wielomian P w postaci iloczynowej (przez poznany trzeci z jego
pierwiastk�w): P y = y -1 y - p = y3 -( ) ( ) - p .
p + 2 y2 + 1+ 2 p y
( ) ( )2 ( )
Por�wnujc wsp�Bczynniki otrzymujemy ukBad r�wnaD z niewiadomymi a, b, p:
p + 2 = a,
��-( )
��1+ 2 p =1,
��
��
- p =-b,
��
std p = 0, a =-2, b = 0 .
Odp. a = -2, b = 0 .
Spos�b 2. Liczba 1 jest pierwiastkiem podw�jnym wielomianu P , je|eli:
2
P(1) = 0 i P (1) = 0 .
Obliczamy pochodn funkcji P:
2
P (y) = 3y2 + 2ay +1.
Skd otrzymujemy ukBad r�wnaD:
1+ a +1- b = 0,
��
��3+ 2a +1 = 0.
��
Z drugiego r�wnania mamy
2a = -4 , a = -2. Tak wyznaczone a wstawiamy do r�wnania pierwszego.
1- 2 +1- b = 0 , b = 0 .
Odp. a = -2, b = 0 .
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 3
Spos�b 3. Mamy: P 1 = a - b + 2 = 0 , wic a = b - 2. Std
( )
2
P y = y3 + b - 2 y2 + y - b = y3 - 2y2 + y + b -1 = y y -1 + b -1
( ) ( ) ( )2 2
(y ) (y ).
Poniewa| (y -1)2 ma dzieli wielomian P ,wic (y -1)2 dzieli b(y -1)(y +1), co jest mo|liwe
tylko w przypadku b = 0 . Mamy wic:
P(y) = y3 - 2y2 + y , a zatem a = -2, b = 0 .
ZADANIE 3 (5 punkt�w) Rozwi| nier�wno[: 1+ x + 5 > x .
ROZWIZANIE
Dziedzin nier�wno[ci s liczby x e"-5 .
Rozwizujemy zatem nier�wno[ x + 5 > x -1.
Zauwa|my, |e dla x <� 1, prawa strona jest ujemna i nier�wno[ speBniona jest to|samo[ciowo. W
tym przypadku rozwizaniem s liczby x " - 5,1 . Zatem rozwizujemy nier�wno[ dla x e" 1
)
podnoszc j obustronnie do kwadratu.
x + 5 > x -1 , x + 5 > x2 - 2x +1, x2 - 3x - 4 <� 0 .
( )2
Rozwizujemy ostatni nier�wno[:
x " -1, 4 '" x e"1. Std x " 1, 4 .
( ) )
Ostatecznie x " - 5,1 lub x " 1, 4 , czyli x " - 5, 4 .
) )
-1 x
4
-
Odp. x " - 5, 4 .
)
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 4
ZADANIE 4 (5 punkt�w) Dany jest cig w kt�rym a1 = 2, an+1 = an + 2n + 2 . Wyznacz wz�r na
n-ty wyraz cigu an .
{ }
ROZWIZANIE
Wyznaczamy kilka pocztkowych wyraz�w cigu danych rekurencyjnie. Podstawiajc do
wzoru kolejne liczby naturalne otrzymujemy:
a1 = 2
a2 = a1 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 = 6 ,
a3 = a2 + 2�"2 + 2 = 6 + 4 + 2 =12 ,
a4 = a3 + 2�"3+ 2 =12 + 6 + 2 = 20 ,
a5 = a4 + 2�" 4 + 2 = 20 + 8 + 2 = 30 ,
a6 = a5 + 2�"5 + 2 = 30 +10 + 2 = 42 ,
Ze wzoru okre[lajcego cig mamy
an+1 - an = 2n + 2 dla n" .
Przyjmujc:
b1 = a1 = 2 ,
bn = an - an-1 = 2 n -1 + 2 = 2n dla n " .
( )
Mo|emy zapisa:
an = an - an-1 + an-1 - an-2 + + a2 - a1 + a1 = bn + bn-1 + + b1,
( ) ( ) ( )
Gdy| wszystkie wyrazy prawej strony z wyjtkiem pierwszego ulegaj skr�ceniu.
Mamy wobec tego
2n n +1
( )
an = 2n + 2 n -1 + + 4 + 2 = 2 1+ 2 + + n == n2 + n .
( ) ( )
2
Odp. an = n n +1 .
( )
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 5
ZADANIE 5. (7 punkt�w) Rozwi| r�wnanie: tg x + tg2 x + tg3 x + = sin x + cos x
ROZWIZANIE
Korzystajc ze wzoru na sum szeregu geometrycznego
a1
S = , dla q <� 1, otrzymujemy:
1- q
tg x
= sin x + cos x i tg x <� 1,
1- tg x
std kolejno mamy:
sin x
2
= sin x + cos x , sin x = cos2 x - sin2 x , sin x = 1- 2sin x ,
cos x - sin x
2
2sin x + sin x -1 = 0 .
Podstawiamy sin x = t i otrzymujemy:
1
2t2 + t -1 = 0 , skd t1 = -1 lub t2 = .
2
Mamy, wic
1
sin x = -1 lub sin x = .
2
�
Pierwsze z r�wnaD ma rozwizania x = - + 2k� ; ta seria rozwizaD nie speBnia r�wnania
2
wyj[ciowego, gdy| funkcja tg x jest dla tych warto[ci nieokre[lona.
1 �
R�wnanie sin x = , sin x = sin , ma rozwizania
2 6
� �
x = + 2k� lub x = � - + 2k� oraz mamy:
6 6
� � 1 5� � 1
�� ��
tg�� + 2k� = tg = , tg�� + 2k� = - tg = - ,
�� �� �� ��
6 6 6 6
�� �� 3 �� �� 3
a wic speBnia zaBo|enie tg x <� 1.
� 5�
Odp. x = + 2k� lub x = + 2k� , gdzie k = 0, �1, � 2, .
6 6
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 6
ZADANIE 6 (4 punkty) W wycinek koBa o promieniu R i kcie ostrym 2� wpisano okrg.
Obliczy promieD tego okrgu.
ROZWIZANIE
r
Mamy: = sin � ,
R - r
r
�
std bezpo[rednio wyliczamy r:
r
O1
O2
R - r
r = R sin � - r sin � ,
r(1+ sin �) = Rsin � .
R sin �
Odp. r = .
1+ sin �
ZADANIE 7 (7 punkt�w) Tr�jkt r�wnoramienny o danym obwodzie m obraca si dookoBa
podstawy. Poda maksymaln objto[ powstaBej w ten spos�b bryBy.
ROZWIZANIE
Objto[ bryBy powstaBej przez obr�t tr�jkta r�wnoramiennego
C
1 1
przedstawionego na rysunku okre[la wz�r: V = 2�" � h2 �" y , czyli
3 2
x
x
1
h
V = � h2 y . Obw�d tr�jkta ABC wynosi m, czyli
3
B
A
1 D
y + 2x = m std y = m - 2x . Na podstawie twierdzenia Pitagorasa dla
y
2
1 1
x x
tr�jkta ADC, otrzymujemy: h2 + y2 = x2 , skd h2 = x2 - y2 .
4 4
Poniewa| y = m - 2x to
C2
1 2 1
h2 = x2 - ( - 2x , std h2 = mx - m2 .
m
)
4 4
Objto[ bryBy w zale|no[ci od x jest r�wna:
113 1 m
�
�� ��
V x = � mx - m2 ���" m - 2x = -2mx2 + m2x - m3 �� dla 0 <� x <� .
( ) ( )
��������
3432 4 2
��������
Wyznaczamy maksimum funkcji
� 3
��
2
V x = -4mx + m2 �� ,
( )
����
32
����
a nastpnie badamy znak pochodnej:
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 7
33
2
V x > 0 �!-4mx + m2 > 0 �! x <� m .
( )
28
Na osi zaznaczamy znak pochodnej
Std wynika, |e maksimum funkcji jest w punkcie
Funkcja ro[nie Funkcja maleje
0
2
V x
( )
+ + + + ----
3
x0 = m , a wic:
m m
3
0
8
m
2
8
3 �
��
Odp. Vmax = V m�� = m3 .
�� ��
8 96
�� ��
ZADANIE 8 (5 punkt�w) Narysowa zbi�r A)" B , je[li A = x, y : x + y d" 1 ,
( )
{ }
B = x, y : y e" log2 x +1 .
( ) ( )
{ }
ROZWIZANIE
Zbi�r A jest symetryczny wzgldem osi ukBadu wsp�Brzdnych.
Dla x e" 0 '" y e" 0, mamy x + y d" 1.
y
1
1
x
Po odbiciu tego zbioru wzgldem osi ukBadu wsp�Brzdnych, mamy rysunek a.
W celu wyznaczenia zbioru B, przedstawiamy wykres funkcji y = log2(x +1) na rysunku b.
y
y
B
z brzegiem
1
A
z brzegiem
-1
1 x
1
-1
x
-1
rys a.
rys b.
natomiast zbi�r A )" B przedstawia rysunek c, oraz A \ B przedstawiono na rysunku d.
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 8
y
A )" B
1
z brzegiem
-1
1 x
-1
rys c.
12
2
����
3
ZADANIE 9 (5 punkt�w) Znalez wyraz rozwinicia dwumianu x + w kt�rym nie
����
x
����
wystpuje x.
ROZWIZANIE
Korzystajc z dwumianu Newtona:
n
n
a + b = an-kbk ,
( )n �� k ��
"�� ��
�� ��
k =0
mamy
12-k 12-k
12
12
-k
1212
22k 12
������ ���� �� 3
3
3
x + = x �" = x �"2k .
���� " �� �� " �� ��
x k
���� xk k=0 k
�� ���� ��
k=0
W tym wyra|eniu x nie bdzie wystpowaB, gdy:
12 - k
- k = 0 ,
3
czyli 12 - k - 3k = 0, std k = 3.
Obliczamy wyraz czwarty r�wnania:
3
9
121212
�� ���� ���� ��
2810�"11�"12
��= x3 �" = 8�"�� �� = 8�"= 8�"10�"11�" 2 = 1760 .
3
( )
�� ���" x �"�� �� �� ��
��
3 x 3 1�" 2�"3
�� �� x3 3
�� ���� ���� ��
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 9
Zadanie 10 (5 punkt�w) Rzucamy raz kostk, a nastpnie monet tyle razy, ile oczek wypadBo na
kostce. Oblicz prawdopodobieDstwo, |e ani razu nie wyrzucimy reszki.
ROZWIZANIE
Niech Ai oznacza wyrzucenie kostk i oczek dla i = 1, 2, ,6 , natomiast
B, nie wyrzucenie reszki, czyli wyrzucamy same orBy.
1
Mamy P Ai = dla i =1, 2, , 6 oraz
( )
6
1
P B / Ai = , i = 1, 2, ,6 .
( )
2i
Zastosujemy wz�r na prawdopodobieDstwo caBkowite
1 1 11
����
P B = P A1 P B / A1 + P A2 P B / A2 + + P A6 P B / A6 = + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
��
6 2 22 26 ��
����
6
����
1
�� ��
��1 1- �� �� ��
1 1 1 63 21
2 ��1- ��
�� ��
����
== = = .
��
1
����
6 26 26 �� 384 128
�� ��
1-
����
2
����
����
Zadania pochodz z ksi|ek naszego wydawnictwa
1. Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykBadami cz. I.
2. Matematyka nowa matura - 1001 zadaD z peBnymi rozwizaniami i komentarzem cz.II
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 10
Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz
z przykBadami cz.1 jest ksi|k przeznaczon dla uczni�w
przygotowujcych si do egzaminu maturalnego z matematyki
na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Zawiera
opracowanie zagadnieD teoretycznych zgodnych z wymaganiami
programu nauczania. Zawarty materiaB przedstawiony jest
spos�b zwizBy, zobrazowany licznymi przykBadami. Ksi|ka
obejmuje wszystkie zagadnienia obowizujce na egzaminie
maturalnym z matematyki tj.
podstawowe dziaBania (procenty, [rednie, wykresy i diagramy),
funkcja liniowa i kwadratowa, wielomiany, r�wnania i nier�wno[ci
algebraiczne, funkcja wykBadnicza, funkcja logarytmiczna,
funkcje trygonometryczne, funkcje cyklometryczne, indukcja
matematyczna, dwumian Newtona, cigi liczbowe, funkcja i
rachunek r�|niczkowy, planimetria, stereometria, geometria
analityczna, kombinatoryka, rachunek prawdopodobieDstwa i
zmienna losowa oraz elementy statystyki.
DoskonaBym uzupeBnieniem tej pozycji jest ksi|ka naszego
wydawnictwa Matematyka nowa matura 1001 zadaD z
peBnymi rozwizaniami i komentarzami .
Wydawnictwo: Centrum KsztaBcenia Akademickiego CKA
Wydanie: pierwsze styczeD 2005
Format: A5
Ilo[ stron: 237
Cena detaliczna: 35,- PLN
ISBN: 83-918391-3-3
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 11
Matematyka nowa matura - 1001 zadaD z peBnymi rozwizaniami
i komentarzami cz.II . Ksi|ka zawiera 1001 zadaD z peBnymi
rozwizaniami i komentarzami. Jest to jedyna taka publikacja na rynku,
zawierajca tak ogromn baz zadaD przeznaczon do przygotowania
si do nowej matury z matematyki. Zadania zostaBy uBo|one dziaBami
matematyki i obejmuj poziom podstawowy i rozszerzony. DoskonaBym
uzupeBnieniem drugiej cz[ci ksi|ki jest Matematyka nowa matura
- zagadnienia teoretyczne wraz z przykBadami cz.1 gdzie zawarta
jest teoria niezbdna do rozwizywania zadaD. Obydwie ksi|ki
stanowi integraln caBo[ ale zakupi je mo|na osobno.
Autorzy obu pozycji z matematyki s przekonani, |e dziki tym obu
ksi|kom maturzysta nabdzie umiejtno[ci rozumienia i rozwizywania
zadaD z tej, caBkiem przyjemnej, dziedziny, jak jest matematyka. A co
najwa|niejsze skutecznie przygotuje si do egzaminu maturalnego.
Wydawnictwo: Centrum KsztaBcenia Akademickiego CKA
Wydanie: pierwsze styczeD 2005
Format: A5
Ilo[ stron: 601
Cena detaliczna: 49,90 PLN
ISBN: 83-918391-4-1
PrzykBadowe zadania z ksi|ki Matematyka nowa matura 1001 zadaD z peBnymi
rozwizaniami i komentarzami cz. II � CKA 2005 s dostpne na naszej stronie
internetowej do bezpBatnego pobrania.
Ksi|k mo|na zam�wi na naszej stronie internetowej www.cka.pl lub www.zadania.pl.
Serdecznie zapraszamy!
� Centrum KsztaBcenia Akademickiego C.K.A. , Gliwice 2005.
Nieautoryzowane rozpowszechnianie caBo[ci lub fragment�w niniejszej publikacji w celach komercyjnych w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii
metod kserograficzn, fotograficzn a tak|e kopiowanie na no[niku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej
publikacji.
� CKA 2005. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka trening przed matur - Arkusz II rozwizania strona 12
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
mat trening? rozmat trening? 2mat trening?Mat 6 Grawitacja dolnyMAT BUD 6trening wytrzymalosciarm mat mult ?st q15?Mat Bud wykKról Fijewska M Trening asertywności23 ROZ warunki i tryb postępowania w spr rozbiórek obiekarm mat mult q15? sourcewięcej podobnych podstron