10539

CES

3° A es

Przykłady:

1.

S=( ,CIA,A)

0

2. S =2“

Def:    Niech Cl- dowolny zbiór.

Mówimy, że rodzina podzbiorów zbioru Cl (nie wszystkich) - B - generuje O -ciało S jeżeli jest to najmniejsze <7 -ciało zawierające rodzinę B.

Def: Rodziną zbiorów Borelowskich na prostej nazywamy <7 -ciało generowane przez przedziały postaci (—“?a]. Oznaczamy B(R).

Zbiorami borelowskimi na prostej są: 0, (—=*?«], (o,-e°4, (-“to),

(<>,b), [o,b], (a,b], fa,b),    {x}, zbiory przeliczalne oraz wszystkie

zbiory będące wynikiem działań teoriomnogościowych na dowolnych przedziałach. Istnieją zbiory nieborelowskie!

B ( r² ) - jest to O -ciało generowane przez przedziały postaci (—°ia]x(—o^b].

B (R")    - jest to <7 -ciało generowane przez przedziały postaci

(-“?a,]x... x(-“ta„].

Def:    (CIS), S-<7-ciałona Cl

(R„ =[0,+°°))

U jest miarą na S jeżeli spełnione są następujące aksjomaty:

1°    M0)=O

2°    A. A A <=« :    '~A ’■*<>=*{• A /<A>

Argumentami dla A są zbory z O -ciała.

nazywamy przestrzenią z miarą Jeżeli dodatkowo

3°    (AeS,R(A) = 0,Bc=A)=>BeS

to f¹ jest miarą zupełną.

Jeżeli

4°    //(«) = 1

to M jest unormowana

Def:    Niech Cl- zbiór zdarzeń elementarnych, S - <7 -ciało na Cl

P-.S->R.

Jeżeli P jest miarą zupełna i unormowana, to P nazywamy prawdopodobieństwem, a (Cis, P) przestrzenią probabilistyczną.

2