22891

supl /■„(*)- /■(*)!<C=*l LW- f(x) K£_Vxe X _CZy||

jkX

Vf>0_3n_o = <v,(f)G ¥_Vn>n„_Vxe X | f„(x) - f (x) |< £ 1    ^ V\

3)    Twierdzenie o ciągłości granicy ciągu funkcyjnego

Niech ciąg fun. (f„), będzie punktowo zbieżny na X do f. Jeżeli:

1. f,eC(j) I 2. f,€ f to f e C(x)

Dow.Zb.jednostajna-    f_-,^x > f

= Vf>0_3n₀ = n₀(e)e ¥ _Vnan„_Vxe X | f„(x)- f (x) |< £•    Zb.punktowa-

f„—Vxe XV£-<03n_b(c,X)Vn2n_l):|f(x)|<£

*o^e X

| /-(X)-/'(x₀)|S| f(x)- f„(x)| + | f„(x)- f„(x₀)| + | f„(x)- f(x₀)| gdy

I f(x)~ f„(.x)\<~bo_ f„(x)€ f(x) I \ f„(x)~ f„(x₀)\<^bo_ f„€C(x)przy _x^f x₀ I I f„C^o)- A'(-*o)l<czyli I f(x)~ f(x₀)\$e V\

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe

4)    Twierdzenie Diniego o zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego

Niech f-cje f„ będą ciągłe w [a,b] i granica punktowa na [a,b] jest również f-cją ciągłą w tym prz. przy czym Vxe[a,b](/„(x)) jest monofoniczny wtedy ciąg funkcyjny (f„(x)) jest zb.jednostajnie w [a,b]

(/■„(x))eC[a,bJ I f_eC[c,b] I (f„(^)) monot. wtedy f_n(x)=r=!zż f(x)

Bez dowodu.

5)    Twierdzenie o całkowalności granicy ciągu funkcyjnego:

Niech /_n(x)=r==^ f(x) f-granica w [a,b]

Jeżeli 1). /j,eR[o,b] n=l,2,...    2).    f(x) to f e K[o,b] oraz

limj f_lt(x)dx=j f(x)dx

Dow. f (*)f(_x) «^a» = SUpl f„(x)- /'(x)|->0=*| f(x)- j'„(x)|<o„