22952

5. Ograniczenie górne i dolne

>    Niech: I - zbiór częściowo uporządkowany

■ Element *₀^e nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą): <=* V_X€/I: x <, x₀

■ Element *o ^€ X nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą): <=>    : Xq < x

6k Supremum i infimum

y Niech: ( X• -) - zbiór częściowo uporządkowany

■    Element Xo£ ^ nazywamy kresem górnym (supA): <=>    - element najmniejszy w zbiorze

wszystkich majorant zbioru A

■    Element *o ^e X nazywamy kresem dolnym (infA): <=> *o - element największy w zbiorze wszystkich minorant zbioru A

y Własności

■ *₀ - kres górny zbioru A <=> V_xeX : x< x₀    :(: x<y ^ x₀ <y)

■ *o - kres dolny zbioru A <=>    : x₀ <i xA\/_ycX :{\/_xA:y<> x=> y <, x„)

7. Homomorfizm, epimorfizm, monomorfizm i izomorfizm zbiorów częściowo uporządkowanych

Niech: RcX²,ScY² Mówimy, ze f: X —>Y jest:

>    Homomorfizmem systemów ( X, i?) i( Y,S) :<=> V_x,__Xj€jr ^: x_lRx₂ ^ f(x_x)Sf(x₂) y Epimorfizmem systemów ( X, rt) /(Y,S) :<=> f - hom amorfizm a f - surjekcja y Monomorfizm systemów [X,R)i[Y,S):<=> f - homomorfizm a f - injekcja

y Izomorfizm systemów | X, R) i( Y, S|f- hom omorfizm a f- bijekja <=> f-epimorfizm a f - monomorfizm y Endomorfizmem systemów ( X,R) :<=> f - hom omorfizm ( X, R) / ( X, R) y Automorfizm systemów ( X, R) :<=^ f — izomorfizm (X, R) / (X, R)

1) f- hom omorfizm X,R i(y,S|

Twierdzenie 1.: Jeżeli: Rc X²,Sc Y²,f\X -♦ Y to f - izomorfizm| Jf,R)i(f,S) o 2jf-bijekcja

3)f '-homomorfizm Y,S i X,R\

dowód:

ti    u

f - izomorfizm[ X,R)i[ Y,S) <=> f -homomorfizm a f-bijekcja niech :y_vy₂eY: y_xSy₂ a 3_{Xi Xjłjr}: y_x = f (x,) Ay₂ = f (x₂) =>

=*    ^: fi *i) ^sf(x₂)*x_l = r'( ax₂ = f-^l(y₂) =>

=> ³W*^: Xi^x₂ a x, = f~'¹ (y_x) a x₂ = f~^]1 (y₂) =* f^l (y_x) Rf~^l (y₂) czyli: f ^l:Y —» X - hom omorfizm

f - hom omorfizm a f -bijekcja a f^l - homomorfizm =>

=> f - epimorfizm a f - injekcja: V_X|, _€ x : x_xRx₂ => f (x_x) Sf {x₂)

niech: x,,x₂e X : f{x_x)Sf (x₂) => _y>€r : f(xj = y, a f(x₂) =y₂Ay,Sy₂=>

=>    : x, = f~^l (y,) a x₂ = f"^l( y₂) a y_xSy₂ => 3_Ąyjer: f~^l {y_{) Rf~'{y₂) => x_xRx₂

czyli: V_X( XitX : x_xRx₂ => f (x,) Sf( x₂) => f — monomorfizm + założenia => f ~ izomorfizm