603998200766155862272c5717710 n

(P. <) - zbiór częściowo uporządkowany.

Elementx e /•jest nazywany elementem minimalnym, jeśli w P nie istnieje elementy taki. żey ■< x. czyli:

~3 y € P 0' -< X)

Element x e P jest nazywany elementem maksymalnym, jeśli w P nic istnieje element i taki. że .t -< y. czyli:

S y e P (a: ■< y)

Jeśli jest S jest podzbiorem zbioru częściowo uporządkowanego (/\^). to:

m g .S" jest elementem najmniejszy m (lub minimum) w zbiorze S jeśli m < s dla każdego s e S. czyli:

V    s e S (w < s)

M e S jest elementem największy m (lub maksimum) w zbiorze S jeśli s < M dla każdego 5 s 5. czyli:

V    s g S (5 < \f)

x g P jest ograniczeniem górny m zbioru S w zbiorze P. jeżeli .* -< X dla każdego a e S. czyli:

V    s e S (s ź x)

Kresem górnym (supremum) S w /'jest takie ograniczenie górne .v zbioru S w P, dla którego, dla każdego ograniczenia górnego y zbioru S w P. zachodzi zależność: x ^ y.

r g P jest ograniczeniem dolnym zbioru S w zbiorze P, jeżeli r < s dla każdego .v e S. czyli 'y x e S (r ^ s)

Kresem dolnym (infimum) S w /* jest takie ograniczenie dolne r zbioru S w P. dla którego, dla każdego ograniczenia dolnego w zbioru S w P. zachodzi zależność: ir ^ r.

Inne zapisy teao samego:

Jeśli para uporządkowana (5, R). gdzie R e jest przestrzenią z relacją oraz określony jest zbiór Yc. B. to:

Elementy e Ejest elementem minimalny m zbioru )'jeśli:    ~3:ć JMy} (z,y) e R.

- zbiór elementów minimalnych zbioru Y w (/i. R)

Elementy g Ejest elementem maksy malnym zbioru ł'jeśli: •'Bzg Y\{y) Ci, z) e R. ł j:,. - zbiór elementów maksymalnych zbioru Y w (B, R)

Elementy g >'jest elementem najmniejszym zbioru )'jeśli:    V:e }\{y} (y,r) e R.

Y‘. zbiór elementów najmniejszych zbioru }’ w (B. R)

itr 11/13