25846

1.    O < f(x) < g(x) dla każdego x e [a,<»),

2.    funkcje fi g są całkowalne na przedziałach [a,T] dla T>a,

3.    całka J g(x)dx jest zbieżna

a

to całka J f(x)dx jest zbieżna.

a

Uwaga. Twierdzenie powyższe pozostanie prawdziwe, gdy nierówności w założeniu 1 są prawdziwe dla każdego x e [a*, ©o), gdzie a’>a. Jeżeli założenie 3 tego twierdzenia ma postać „całka

oo    m

j f(x)dx jest rozbieżna”, to w tezie otrzymamy „całka J<?(*)dxjest rozbieżna”. Prawdziwe jest

a    a

b

także analogiczne kryterium porównawcze dla całek niewłaściwych postaci j f(x)dx.

Tw. 1.2.2 (kryterium ilorazowe)

Niech funkcje dodatnie fi g będą całkowalne na przedziałach [a, T] dla każdego T>a oraz niech

>• f(*) ,

hm — - k gdzie 0<k<oo. Wówczas

^w 9(x)    ⁵

całka | f(x)dx jest zbieżna <=> całka |g(x)dx jest zbieżna.

Uwaga. Prawdziwe jest także analogiczne kryterium ilorazowe dla całek niewłaściwych postaci u

| f(x)dx.

1.3ZBIENOŚĆ BEZWZGLĘDNA CAŁEK NIEWŁAŚCIWYCH PIERWSZEGO RODZAJU

Def. 1.3.1 (zbieżność bezwzględna całek niewłaściwych pierwszego rodzaju)

Niech funkcja /'będzie całkowalna na przedziałach [o,7] dla każdego T>a. Całka j f(x)dx jest

<irf ~

zbieżna bezwzględnie <=> J | f (x)\dx jest zbieżna

O    w>

Podobnie określa się zbieżność bezwzględną całek J f(x)dx, | f(x)dx.

Tw. 1.3.2 (o zbieżności całek niewłaściwych zbieżnych bezwzględnie)