(a □ b) □ c = a □ (b □ c)
w G istnieje element neutralny e, tzn. dla każdego a G G są spełnione równi aQe=eQa=a
• dla każdego elementu a G G istnieje element odwrotny a_ G G taki, że
a[]a' = a'[]a = e
Własności grupy:
Aksjomat 1: A Xi A(X2 Axa) = ( Xi Axj) Ax3 — łączność
X|,X2,X3
Aksjomat 2: V |
A x Ae = e Ax - x |
— element neutralny |
e e x |
X € X | |
Aksjomat 3: V |
A x Ax' = x'Ax = e |
— element przeciwny |
X € X |
x'cx |
Aksjomat 4: X|Ax2 = x2Axi — grupa przemienna (Abelowa)
Zestaw (A,+, []), w którym są określone dwa działania (dodawanie i mnożenie) nazywa się ciałem o ile są spełnione warunki:
• definiowana struktura jest pierścieniem,
• mnożenie jest przemienne,
• w zbiorze A istnieje element neutralny dla mnożenia, czyli 1,
VaG A\{0}3a-1 GA a □ a-l = a-l □ a = 1 .
Zbiór liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem tworzy pierścień.
Zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych tworzą ciała z tymi działaniami.
Pcrmutacja w algebrze to wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru na siebie. Najczęściej ten termin jest używany