32119

Zasada Huygensa

Zasada ta opisuje pewną własność rozwiązania równania falowego, w zależności od parzystości wymiaru przestrzeni. Podamy ją na przyidadzie n ■ 3 oraz n ■ 2.

Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące ruch falowy.

Ogólną postacią równania falowego jest:
	— c^2 • Axu = 0,	u : R^n	x R+ —► R, x € R^n. ł € M+
«	«(z,0) = /(*),	/:R^n
	jfcu(x,0) = g(x),	g :H"	—► M
IR gdzie oznaczazbiór liczb rzeczywistych nieujemnych. Wrównaniu funkcja u(x.i)jest niewiadomą opisującą

wychylenie fali w punkcie x w chwii r. Zadane są początkowe położenie fali/ oraz początkowy impulsFizycznie stała < oznacza prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku (np. 343 m/s dla powietrza w temp 20 stopni C).

Symbol to Laplasjan.

Skrótowo można wyrazić równanie falowe używając operatora d'Alemberta:

□u(x, t) = 0

Rozwiązania równania falowego mają różne postaci i własności w zależność i od parzystości wymiaru przestrzeni. Najważniejsze równania falowe to przypadki n = 1.2,3.

Równanie falowe jest ważne w mechanice kwantowej, gdyż opisuje falę de Brogle'a:

_ei(Et-utp)/h

Równanie struny i wzór d'Alemberta

Jednowymiarowe (/i = I) równanie falowa nazywa się równaniem struny lub równaniem fali płaskiej. Ma ono postać:

fj&^u - c^2 • = 0,
“(*. °) = /(*),	/:*-	- R
|u(i, o) = </(z),	g.R-	- R

Bez uwzględnienia warunków brzegowych rozwiązaniem jest:

iĄxj) = aCr - ci) ♦    + aX

gdzie a.fł są dowolnie wybrane. Przy założeniu regularności f ^ ^ (*^) f 9    ^    oraz

uwzględnieniu warunku brzegowego rozwiązaniem jest:

u(x, t)

f{x + ct) + f{x-ct) 1 r

-2-⁺ 2ci ^9{z)dz

Jest to 'wzór cfAlemberta' Równanie struny jest wówczas poprawnie postawione.

Równanie struny półnieskończonej

Struna półnieskoóczona to jednowymiarowa struna przymocowana na stale z jednego końca. Matematycznie odpowiada dodaniu dodatkowego warunku brzegowego:

u<0./) = Odia dowolnego t £ R

Rozwiązaniem zagadnienia struny półnieskończonej jest:

....    x+rf

u{x,t) =    + i J g{z)dz,    x>ct

■

U(X, t) =    +± J g(_Z)dz_:    X<d

<    ci—x

Równanie falowe w wymiarze 3 i wzór Kirchhoffa