39718

Permutacje o znaku +/ nazywamy parzystymi a pozostałe nieparzystymi. Niech /\r,oznacza zbiór permutacji par zystych w Sn Mamy:An= Ker(sgn)

Stąd An_ Sn “grupa altemująca”

Zapis permutacji:

n

)

rr

\

L (1) (2) (3) ()

123

n

n

a a a a a L L

DEF: ::

Niech ai, ..., me (1, ..., n} k <2 będąwszystkie rośne.

Pcrmutacjąa, która elementowi ai (dla / = 1, ... ,k-l) przypisuje m+/, elementowi m przypisuje ai a na pozostałych elementach {1, ..., n} jest identycznościąnazywamy cyklem długości k. i oznaczamy (ai, .... a*).

FI A \KKTTI

Dwa cykle (ai, .... ak) i (bi, .... bk) nazywamy rozłącznymi o zbiory (ai, ..., ak}, fbi, ..., bk) sąrozłączne.

DEF:::

Cykl długości 2 nazywamy transpozycja.

SSSTTTWW:::

MnoSenie cykli rozłącznych jest przemienne.

Mamy sgn(k, I) = f-/|v, gdzie N = # f(i,j) e {1, .... n}i: i<j a a(i) <G(j)J Stąd © ©

I

I

1 1 ...

I

ik

I

ik

N

Stąd sgnót, I) = -1

Dla cykli długości k mamy:

a = (ai, .... ak) = (ai, ak)...(ak-2, ak)(ak-i, ak).

Stąd sgn (ai, ak) = (-l)k-i Z / twierdzenia o izomorfizmie mamy: