MATEMATYKA151

292 V. Całka oznaczona

= 47ih jVr^: - x²dx = 47ch• J Tir' = 27C'hr².

-r

b) Niech S, oznacza powierzchnię powstałą w wyniku obrotu luku AMB (rys 4.16), a S₂- luku ANB Dla obydwu luków mamy:

I +| f(x)p . I +[(h±Vr^; -X*)f = !+(■■ n^X I')^{1 m}~r-T-

V r‘-x^{2 r} -x

Zatem, zgodnie z (4.7), otrzymujemy;

|S|*|SJ t|S₂|= 2n j(h +    ) j—~T^dx +

-r    V t* ^— X

+2n f(h-Vr^: - x²)- r^--dx =47trh f -^x ■— =

i    Vr²-x^2    JrVr²-x²

~ {jest to całka niewłaściwa, ale funkcja pierwotna jest ciągła na pr?edziole< r. r> } =

= 47t²rh.

= 47trharcsin --r

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

Obliczyć długość luku danego równaniem y = f(x),a<x<b, jeśli:

a) v=x\0<x<>/2,    b) y = Vx, 0<x<2,

c)y=f(x-l)^J/2,i<x<4 c) y² = x\ 0<;x<3,

d) y = ^/(l-2x)\ -5<x<l/2,

g) y=ya(c^x,/*+c'^x*). Ośx£a

i)_{y =} 3ln-^_T,0^x52,

9-x

k) y«lnsinx,y£x£y,

ł) y=Vl-x² +arccosx, 0£x£l/2, 0£x<I, — 1 <x< 1, m) y = Jx( 1 -x)-arccos>/I - x, 0<x<l,

0 y=|x²-j-lnx, l<x<e. h) y=Inx,>/3£x£2>/6, j) y = 31n(9-x²), 0sxś2, l)y = V4x-x^:, 0<x<4,

n) y = y{xVx²-l-ln(x+Vx²-l)|. l<x£2.

2

Obliczyć długość luku danego równaniami parametrycznymi:

a)    x = >/2’t²,y = t-|t\0<;tś>/2,

b)    x=V5t², y»t-t\ 0*t£2,

c)    x = r(cost ttsint), y = r(sint-tcost). 0£t£2n. r>0,

d)    x=rcosl(l+cosl),y=rsint(l-ł-cost),0stś2x. (rys4.7).

c) x«rcos³t, y=rsin^Jt, (Kt£2n,

0 x=rcost, y = rsint, z=kt,0<tS2x, k>0, r>(),

g)    x=~t²,y=t-|t\z=V3t²/2_ł0^t<l,

h)    x=V2cosht, y = V2sinht, z = Jlt, 0<t<l.

3.

Obliczyć długość luku danego w układzie biegunowym równaniem p = f(0),a<0£p_? jeśli:

a)    p = const = r, 0<9 ś2a, wykonać rysunek,

b)    /> = 2rsin0, ()<0<n, wykonać rysunek,

c)    p = rsin ⁵(9/3), O<0 <3x/2, naszkicować krzywą,

d)    /7 = r(l-ł-cos0),O<0<ir,

e)    p = a0, a=consl>0, 0<9<2x.

4.

Obliczyć pole figury ograniczonej liniami:

a) y-x²-2x-3,y*x+l, c) y«x\y«4x, e) xy+2 = 0, y-x+3=0, g) y=-x\ y=2x,y=x, i) x²/a²+y²/b^ł = l,

^k)y=^T5’^y=0'

b) y=x(x^:-4), y = 0, d) y=-x² +2x+3, y=x^: 2x+3, 0 y=x/3,y = 3/x,y = 3x, h) y^:=2px, x²»2py, p>(), j) y⁼2/x(x²-r4), y- 0,

I

Dy=

S X: 0, x 4, y: 0,

x-x

ł)v=

xln^r

dla x^c_t x=c, y = 0,

m) v - —r-c X

dla x>0, y - 0.