8686

WYTRZYMA LOŚĆ MATERIA LÓW Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Budów nictwo

Plaski stan naprężenia (PSN)

•    PSN - w rozważanym ciele wyróżniona jesi płaszczyzna (np. x-y) do której ws/ystkie wektory naprężeń

₉ ^x'=<r,i+rJ (<r,_ri.j=x.y -> <7, = <r„.    i obciążenia f=f,i+f,j

( X = f, = pR,, Y=/,= pR ) są równoległe => wektory prostopadłe do z założenia są równe zero;

•    lokalne równania równowagi PSN (z warunków równowagi elementu różniczkowegodvdy. Z A/_{( ł(}=0 =>

r„=r„,ZP,=0 => d<T,/ćtK+dT_tl/dy+f,=0.'LP,=0 => dr_lJdx+d<r_y/&y+ /,=0 lub w notacji indeksowej =    . <T,_ri + f_t =0. i.j=x,y ). muszą być spełnione w każdym punkcie ciała;

•    znajomość a,,a ,r„ pozwala wyznaczyć naprężenia <r_p,T_p w dowolnie zorientowanym przekroju <p=<(x.n). z warunków równowagi clcmcntamcgo trójkąta (wykorzystując <£r=sin <pds , dy=co$,quls ) mamy zr_# = <r_icos*V + <r_i sinV+2r_iY sinę?cosę>. r_# = ~(<r_t -<t_i )sinę>cos$p+ r^cos^-sin²?)) • następnie po uwzględnieniu tożsamości trygonometrycznych cos²ę»=-y(l+cos2ę>). sin²ę»=3(l-cos2ę>). sin2ę>=2sin{pcosę». cos2ę>=sin²ę>-cos²ę>) otrzymuje się <t_p = \(<t, + <T_ł) + 4(<T_l-<T_l )cos2ę> + r„ sin2ę>. f_#=—Ł(<r_i-<r_y)sin2^+f_łT cos2<p:

•    normalne naprężenia ekstremalne, poszukiwanie takiego przekroju <p_n dla którego <r_p są ekstremalne, z warunku d<rjd(p=-(cr-<r _i)s\n2<p_i)+ 2r^ cos 2ęa>₀ = 0 o \sa\2<p_{=2v_nl{<T-<T_t) -> ę>₀ , w zakresie 2x istnieją dwie wartości 2ęn, spełniające (l<r_t/dg>=0 różniące się o x => istnieją dwa przekroje prostopadłe (trl2) w których naprężenia są ekstremalne, ponieważ zachodzi d<T_p/d<p = ^T_p, ekstremalne <T występuje dla r,=0 co oznacza, że ekstremalne naprężenia normalne są naprężeniami głów nymi <r,=<x_iIul i <7, =0’,_mi. kąty je określające, wykorzystując ian2$₁ = 2r„/(<r,-<r_i) => 2r_n = (<T-<r,) tan 2ę»_(>. oblicza się z warunku dV_r/dę>*’=-2(ćr_i-«T₍)cos2ęp₀-4r_ri sin2^₀=-2(<r_i-o'_ł)cos2^_(>|l+tan‘2ę>₀|.stąd <x, =tT_p\_mtx dla dV_r/dę>²<0 => (<r_x-<r_x )cos 2fl> >0. odpowiednio <T_i=a_%\_mm dla (<r, -<r_x) cos 2q>₀ < 0. uwzględniając tan2ę>_(>=2f_ri/(<r-o\ ) w tożsamaściach cos2ę>₀ =±(l + tan^J2^_ł)'^,,J=±(<r_i-<r_ł)|(<r_x-<T_} )^:+4r^ \^l>1, sin2ę^ = ±tg2ę»₀(l + lan^:2<ą,) ^,/2=±2r_i,|(<r_<-<7, )²+4r² | ^1,2 po podstawieniu do zależności na <r_ę otrzymuje się <r,,_i=\(<r_x + <T₁)±|(^(<7_l-<7,))²+r², l"². łatwo zauważyć, że suma <t₁ + <t₂=<t_x + <t_i jest niezmiennikiem:

•    styczne naprężenia ekstremalne, poszukiwanie takiego przekroju dla którego r_# są ekstremalne: z

warunku dr_r/dę>=-(<T_i-<T_i)cos2^₀-2r_iY sin 2^_o=0 => tan 2y>_(l=-(<r_x-<T_x )/2r_n ponieważ zachodzi tan 2^=-tan '2%    ę>„= ę>₀ + ;r/4 płaszczyzny naprężeń głównych tworzą kąt 45° z płaszczyznami

ekstremalnych naprężeń stycznych, wykorzystując tan 2ę>₀=-(<x_t-<r₍)/2r_ti. analogicznie do naprężeń normalnych otrzymuje się r, =±[(4(<r_i-<r_Y ))² + r² f¹² = 4(<r,-<r₂) .jednocześnie a^    (<r, + <r,).

z rozważań trójwymiarowych wynika, że ekstremalne naprężenia styczne w PSN nie leżą w płaszczyźnie obciążenia, lecz pod kątem 45" do niej i wynoszą r, =±o\ /2. r₂ = ±er, 12;

•    koło Mohra - interpretacja graficzna PSN. konstrukcja wynika z przekształcenia wzorów na <T_p, r_ę. grupując i podnosząc obustronnie do kwadratu kolejno mamy

|<r_r--L(<r₁ + 0-,)l²=I^(<T,-<7, )cos2ę»+ r_IY sin 2<p]², (rJ²=|-4(<T,-<r, )sin 2ę>+ r„cos2ę>|² po dodaniu stronami otrzymuje się równanie okręgu    +<r,))²+[r_#]² = /?² o promieniu

K^:=li(0^,,-<r_ł)l²+|r_n|²;

• powyższe zależności dot. naprężeii głównych wynikają z rozwiązania problemu własnego (9 - cri )v = 0

<*-<* ^ro

r..

^r,y 1=0

r.-O-J

<r,-<r

<r‘ - <r(<r, + <r,) + (<r,<r, -    ) = 0 => (<r,.v,) i(<r,.v₂).

zadanie: dane a_i.<r.r_n wyznaczyć    w płaszczyźnie <p:

zadanie: dane <r_t.<T_x.T_v wyznaczyć naprężenia główne <r, i <r₂ oraz ę>_t)l i 44,,. koło Mohra: zadanie: dane naprężenia główne i o\ wyznaczyć a_ę. r_ę w płaszczyźnie <p. koło Mohra.

dcl

(<r,    -<r)

Jacek Chróściclcwski. materiały pomocnicze do wykładu z WM. semestr Ili