118449

Według przykładu 1;

x, = {4.5> x₂ = {4.5}

X: {4.4} {4.5} {5.4} {5.5} (zbiór stanów w grze)

Ki = ((4.4)) = -1

Wektor wypłat stanu (-1.1)

I-ty gracz dąży do maksymalizacji swojej funkcji wypłaty K, poprzez wybór strategii ze zbioru X. która jednak, jako funkcja wielu zmiennych, zależy również od strategii wybranych przez pozostałych graczy. Gracz jest więc szczególniezainteresowany wyznaczeniem ekstremum swojej funkcji wypłaty. Poprzez wyznaczenie kresu dolnego wygranych gracza i-tego przy stosowaniu strategii s. postaci:

inf {Ki(xi, x₂.....Xe.i, s„ x,*i.....x_n)}: x, € x, i * j

(infmium)

można znaleźć jego wygraną minimalną (gwarantowaną) postaci:

sup inf {K₁(x₁. x* .... x».i, s,. x,*i.....x_n)>: x, € x, i * j

(supremum)

Strategią ostrożną nazywa się każdą strategię realizującą wygraną minimalną. Strategia ostrożna realizuje podejście gracza analizującego najgorsze z możliwych zjawisk.

Funkcja wypłaty to w pewnym sensie miara jakości strategii. Im wyższą wygraną umożliwia strategi, tym wydae się być korzystniejsza dla gracza. Jednak wielkość wygranej zależy także od strategii pozostałych graczy. Istotne jest więc. aby była ona korzystniejsza e wszystkich warunkach.

Strategia zdominowana:

Strategia s jest zdominowana przez strategie s' wtedy gdy (?)

Dla wszystkich (?)

Oraz przynajmniej dla jednego układu strategii nierówność ta jest ostra.

Rozwiązania gry należy szukać wśród stanów gry dających jak najlepsze wygrane wszystkim graczom. Definicja.

Element s = (Si, s₂... s,... s„) zbioru (?) nazywa się stanem równowagi według Nasha. jeżeli nierówność (?) zachodzi dla wszystkich (?).

To jest taki punkt, w którym nie opłaca się zmienić strategii, jeśli pozostali gracze jej nie zmienią.

Dwuosobowe gry antagonistyczne (gdy o sumie zerowej)

Definicja

Dwuosobową grą antagonistyczną nazywamy trójkę G_a = <X, Y, K> gdzie X. Y są dowolnymi zbiorami, a K:X*Y, R - dowolną funkcją. Elementy zbiorów X to strategie czyste gracza I. a elementy zbioru Y to strategie czyste gracza II. Wartości funkcji K to wypłata. Gracz I wybiera pewną strategię, a gracz II pewną strategię. Dla pary (x.y) wygrana gracza I wynosi K(x,y) a wygrana gracza II wynosi -K(x,y).

Skrajnie sprzeczne interesy.

Postać macierzowa.

Dolna wartość gry V, - największa wygrana, jaką może sobie zagwarantować gracz I przy jakiejkolwiek strategii gracza II.

U nas (przykład): jest to 0.

Górna wartość gry V₂ - najmniejsza przegrana jaką może sobie zagwarantować gracz II przy jakiejkolwiek strategii gracza I.

U nas: jest to również 0.

Vi=Vj=V

Gra zamknięta; V - wartość gry; istnieją ściśle określone strategie optymalne dla obu graczy; odpowiadają one temu elementowi macierzy wypłat, który jest równy wartości gry (punkt siodłowy, punkt równowagi Nasha) -element macierzy nie większy od wszystkich elementów wiersza i równocześnie nie mniejszy od wszystkich elementów kolumny strategie optymalne realizowane są przez strategie ostrożne.

V,<V₂

Gra otwarta; nie istnieją strategie optymalne czyste.

Najmniejszy w wierszu i największy w kolumnie - jest to punkt siodłowy.

Własności punkty,siodłowych w pytaniach i odp.oyyiędzjąęh.:

1. Czy wszystkie gry ściśle konkurencyjne mają pary strategii w równowadze? Odp. Nie.