120723

F:R-*<0,1> i F(x) = P(X<x) nazywamy dystrybuantązm los X Dla przykładu wyżej F(x)= { o x£0 1/8    X€ (0,1>

4/8x€(1.2>

7/8 xe (23>

1    x>3

F( 1) = P(X<1)

Własności dvstrvbuantv zm los

1) lim/x-»-<»/ F(x) = 0 i lim/x—*°°/ F(x) = 1

2)    F jest funkcją nie malejącą

3)    F jest lewostronnie ciągła

F(x) = I/xi,x/ P(X = xi) = i<x/ pi Def. (zinieiuia los ciąga) Funkcja f określona wzorem

f(x) = lim/Ax-»0/ [P(x£X£x+Ax) / Ax

nazywamy funkcją gęstości zm los X Zachodzi następujące przybliżenie P(x<X<x+Ax) - f(x)*Ax Własności funkcji gęstości;

L dla każdego xe R f(x) £0

całka od a do b f(x)dx = P(a£x£b) P(X=a) = 0!

2 całka od ♦«> do -oof(x)dx = 1 Przykład (linia telefi f(x) = { 0 dla x<0 lub x=L c dla X€ <0.L>

Całka od +oo do -oo f(x)dx = całka od 0 do L cdx = cx | ^Lo = LC = 1, to c =

P(l<x<L) = całka 1 - L f(x)dx - całka 1 -

L 1/Ldx = 1-1/L

Rys

Dysuybuanta dla zm los typu ciaŁłeŁO

F(x)= całka od -oo do x f(t)dt P(a<X^b) = F(b) — F(a)

Tvp skokowy

P(a<X<b) = F(b) -F(a) i (a.b nie sąpkt skokowymi)

PARAMETRY ZMIENNEJ LOSOWEJ

Def. E(X)= { Ixipi dla skokowej zm los Całka R xf(x) dla ciągłej zm los Przykład 1

Strzelanie doterczy przez 3 strzelców xi 0    1    2 3

pi 1/8 3/8 3/8 1/8

EX = 0* 1/8 + 1*38 + 2*38 + 3*1/8 = 1.5

Własności wartości oczekiwanej:

1. P(x=c)=l to EX=c

2    X przyjmuje wartości nieujemne to EX£0

3    E(aX+b) = aEX+b

4    E[(aX)^Ak] =a^AkEX^Ak