122642

n*.)

x_n +3

(-l).(-l)    1

(-l) + 3    2'

co oznacza, że lim-- —.

*-'x+3    2 x² — 4

Niech f(x) =-oraz a = 2.

x-2

Zauważmy, że D_f:S\2 . Weźmy więc dowolne sąsiedztwo 5(2, r), gdzie T jest dowolną

liczbą rzeczywistą (można nawet przyjąć r = oo ). Wtedy oczywiście 5(2, r) c D_f. Niech (x_n) c S(2,r) będzie dowolnym ciągiem takim, że x„ -> 2. Mamy

/■(*.) = ^ = *„ ⁺ 2 -> 2 + 2 = 4,

■*.-2

x² -4

co oznacza, że lim-= 4.

x-*2 X—2

Twierdzenie 3.1
	Jeżeli
L	limxn=o, gdzie (xn) c S(a)	oraz lim f(xB) = A (i-*-
2	limx^ =a, gdzie (xjcS(o)	oraz limf(xj = A",
2	A' * A', to

granica lim f(x)

nie istnieje.

Przykład

_ • ^{x —1} • • Granica lim¹-¹ nie istnieje.

*-* x—1

Mamy tutaj f (x) =——-, Dr • x-l I

Biorąc x_n =1 + ^ mamy    -1, jx_n}cS(l) oraz /“(l+i) = l “> 1,czyli A =1 •

Analogicznie x„ = 1--J mamy liro ^xn ⁼ 1, jx_n} c S(l) oraz f(l —= —1 —> —1, czyli

A = —1- Zatem A * A » a więc na podstawie twierdzenia 3.1 wnioskujemy, że granica ta nie istnieje.

Dotychczas mówiliśmy o granicy właściwej funkcji (tzn. Ae R) w punkcie właściwym (tzn. ae R ). Teraz rozszerzymy to pojęcie.

=> f(x„) —> A, gdzie    =(—°°,b)₍ f>e R

DEF

lim f (x) = A <=> V    x„ —> —©o