8416072481

co oznacza, że P_n jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a, o węzłach £o, xi, • • •, x_n dla funkcji /.

2. Jednoznaczność. Jeśli poszukiwany wielomian P_n zapiszemy w postaci naturalnej,

^pn(x) =

i=o

to jest w postaci jego rozwinięcia względem bazy wielomianów 1, x, a;², • • •, xⁿ, to widzimy, że zadanie (1.1) sprowadza się do znalezienia współczynników

flOi &1₅    5 ■ ■ ■ i o,_n,

spełniających układ n + 1 równań algebraicznych liniowych

(1.4)    ^2 tĄflj — f(^xk) dla k = 0,1, • • ■ n.

j=o

Macierzą tego układu jest macierz Yandermonda:

		1	Xq	Zn	Zn	• ■ • ^xo
		1	Xi	z?	z?	... X^nl
(1.5)	V =	1	^x2	x\	x\	#2
		. 1	Xn	x^2n	x^3n	• •• X™.

Wiadomo, że macierz taka jest nieosobliwa, jeśli węzły są różne. Zatem układ

(1.4)    ma jednoznaczne rozwiązanie. □

Zauważmy, że dowód Twierdzenia 1.2 zawiera dwa różne algorytmy wyznaczania wielomianu P_n. Jeden z nich określony jest wzorem (1.3), zaś drugi wzorem (1.4). Każdy z tych algorytmów wyznacza ten sam wielomian P_n w postaci rozwinięcia względem innej bazy podprzestrzeni wielomianów stopnia < n.

Chwilowo zwróćmy uwagę na to, że układ równań (1.4) o macierzy Yandermonda (1.5) jest na ogól, przy dużych wartościach n, bardzo źle uwarunkowany. To też dla n dużych unika się wyznaczania P_n przy pomocy układu

(1.4) .

Algorytm różnic dzielonych, to jeszcze jeden sposób wyznaczania wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a P_n.

5