ÿþ 9 . W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I 1
9 .
W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I
W r o z d z i a l e 5 w y p r o w a d z i l i [m y r ó w n a n i e r ó w n o w a g i s t a t y c z n e j d l a c i a Ba a n a l i z o w a n e g o m e t o d
e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h . R ó w n a n i e t o m o |n a r ó w n i e | z i n t e r p r e t o w a j a k o r ó w n a n i e r u c h u c i a Ba ,
z a p i s a n e w p e w n e j c h w i l i t p r z y p o m i n i c i u s i t b e z w Ba d n o [c i . P r a w a s t r o n a t e g o r ó w n a n i a m o |e
b o w i e m z a l e |e o d c z a s u i m o |e b y u s t a l o n a d l a t e j c h w i l i . P r z e m i e s z c z e n i a u k Ba d u z a l e |e b d
w ó w c z a s t a k |e o d c z a s u . D l a w i k s z o [c i p r z y p a d k ó w , w k t ó r y c h z a c h o d z i p o t r z e b a u w z g l d n i e n i a o b c i -
|e D z m i e n n y c h w c z a s i e , k o n i e c z n e j e s t u w z g l d n i e n i e s i B b e z w Ba d n o [c i w r ó w n a n i a c h r ó w n o w a g i .
O t r z y m u j e m y w ó w c z a s p r o b l e m d y n a m i c z n y . P o n i |e j s f o r m u Bu j e m y p r o b l e m d y n a m i k i c i a B s p r |y s t y c h ,
d y s k r e t y z o w a n y c h e l e m e n t a m i s k o Dc z o n y m i . W y k o r z y s t u j c z a s a d d ' A l a m b e r t a , w r ó w n a n i u
r ó w n o w a g i s t a t y c z n e j u w z g l d n i a s i s i By b e z w Ba d n o [c i j a k o c z [ s i B m a s o w y c h . J e |e l i p r z y s p i e s z e n i a
e l e m e n t ó w b d a p r o k s y m o w a n e w t e n s a m s p o s ó b c o p r z e m i e s z c z e n i a e l e m e n t ó w , w ó w c z a s w e k t o r
s i B z e w n t r z n y c h m o |e m y z m o d y f i k o w a d o p o s t a c i
T
&
R B = N e [ f e b - Áe N e d & d V e ] ,
" e
+" ( 9 . 1 )
e
g d z i e w w e k t o r z e s i B m a s o w y c h f n i e u w z g l d n i o n o s i B b e z w Ba d n o [c i . W e k t o r d e j e s t w e k t o r e m p r z y s p i e -
s z e D p u n k t ó w w z Bo w y c h e l e m e n t u e , z a [ Áe j e s t g s t o [c i m a s y e l e m e n t u . R ó w n a n i e r ó w n o w a g i d y n a -
m i c z n e j z a p i s z e m y z a t e m w p o s t a c i
&
( 9 . 2 )
M d & + K d = R ,
g d z i e R i d s w e k t o r a m i z a l e |n y m i o d c z a s u . M a c i e r z m a s M m a p o s t a :
T
M =
" e
+"Á N e N e d V e ,
( 9 . 3 )
e
V
M a c i e r z M w p o s t a c i ( 9 . 3 ) n o s i n a z w m a c i e r z y k o n s y s t e n t n e j ( z m a c i e r z s z t y w n o [c i K , p o n i e -
w a | d l a o b u m a c i e r z y p r z y j t o t e s a m e f u n k c j e k s z t a Bt u ) . Z a u w a |m y , |e t a k s f o r m u Bo w a n a m a c i e r z m a s
e l e m e n t u j e s t w o g ó l n o [c i m a c i e r z p e Bn . W o b l i c z e n i a c h k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h s t o s u j e s i c z s t o
u p r o s z c z o n p o s t a m a c i e r z y m a s , t z w . m a c i e r z n i e k o n s y s t e n t n , k t ó r o t r z y m u j e s i z m o d e l u d y n a -
m i c z n e g o w p o s t a c i m a s s k o n c e n t r o w a n y c h w w z Ba c h e l e m e n t ó w . I s t o t n y m u p r o s z c z e n i e m t e g o p o d e j -
[c i a j e s t f a k t , |e o t r z y m y w a n e n i e k o n s y s t e n t n e m a c i e r z e m a s m a j s t r u k t u r d i a g o n a l n , c o z n a k o m i c i e
u p r a s z c z a r o z w i z a n i e r ó w n a n i a r u c h u .
Z a k Ba d a j c , |e p j e s t s t a Be , m o |n a k o n s y s t e n t n m a c i e r z m a s d l a e l e m e n t u b e l k o w e g o o b l i c z y ,
k o r z y s t a j c z z a l e |n o [c i ( 9 . 3 ) :
1 2 2 L 5 4 - 1 3 L
îø ùø
ïø
L
4 L 2 1 3 L - 3 L 2 úø
ÁL
T
ïø úø
m = N d x =
( 9 . 3 1 )
+"ÁN
ïø úø
4 2 0 s y m . 1 5 6 - 2 2 L
0
ïø
4 L 2 úø
ðø ûø
M a c i e r z n i e k o n s y s t e n t n o t r z y m a m o |n a p r z y j m u j c , |e m a s a b e l k i s k u p i o n a j e s t p o p o Bo w i e w j e j
w z Ba c h . O t r z y m u j e m y w t e d y :
T o m a s z Ao d y g o w s k i , W i t o l d K k o l M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y b r a n y c h z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i A l m a M a t e r
k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h
9 . W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I 2
1 0 0 0
îø ùø
ïø úø
L 2 / 1 2 0 0
ÁL
ïø úø
m =
( 9 . 3 2 )
ïø úø
2 s y m . 1 0
ïø
L 2 / 1 2 úø
ðø ûø
P o w r ó m y j e d n a k d o r ó w n a n i a r u c h u . W k o n s t r u k c j a c h r z e c z y w i s t y c h w c z a s i e d r g a D n a s t p u j e
r o z p r a s z a n i e ( d y s y p a c j a ) e n e r g i i . Z j a w i s k o t o u w z g l d n i a s i w r ó w n a n i u r u c h u p r z e z w p r o w a d z e n i e s i B
z a l e |n y c h o d p r d k o [c i r u c h u , t z w . s i B t Bu m i e n i a . U w z g l d n i a j c t e s i By p o n o w n i e w w e k t o r z e s i B m a s o -
w y c h , o t r z y m u j e m y
T
& &
R B = N e [ f e b - Áe N e d & - ºe N e d ] d V e ,
" e
+" ( 9 . 4 )
e
g d z i e d e o z n a c z a w e k t o r p r d k o [c i w z Bó w e l e m e n t u e , a w s p ó Bc z y n n i k K t Bu m i e n i e .
R ó w n a n i e r ó w n o w a g i d y n a m i c z n e j , u w z g l d n i a j c e e f e k t t Bu m i e n i a , z a p i s z e m y t e r a z w p o s t a c i :
& &
( 9 . 5 )
M d & + C d + K d = R ,
g d z i e C j e s t m a c i e r z t Bu m i e n i a u k Ba d u . M a c i e r z t m o |n a z a p i s a f o r m a l n i e w p o s t a c i :
T
C = N e N e d V e .
" e
+"º
( 9 . 6 )
e
V
M a c i e r z t Bu m i e n i a p r z y j m o w a n a j e s t z a z w y c z a j w p o s t a c i t z w . t Bu m i e n i a p r o p o r c j o n a l n e g o :
C = ±1 M + ±2 K , ( 9 . 7 )
g d z i e w s p ó Bc z y n n i k i ±1 i ±2 s w y z n a c z a n e n a p o d s t a w i e u d z i a Bu p o s z c z e g ó l n y c h p o s t a c i d r g a D w Ba -
s n y c h .
Z a u w a |m y a n a l o g i r ó w n a n i a ( 9 . 5 ) d o z n a n e g o n a m z k u r s u m e c h a n i k i t e c h n i c z n e j r ó w n a n i a r u -
c h u o j e d n y m s t o p n i u s w o b o d y ( m x ' + e x + k x = r ) . J e |e l i r ó w n a n i e ( 9 . 5 ) m a o p i s y w a o k r e [l o n y
p r o b l e m b r z e g o w o - p o c z t k o w y , t o n a l e |y j e o c z y w i [c i e r o z p a t r y w a z w a r u n k a m i p o c z t k o w y m i :
d ( t 0 ) = d
( 9 . 8 )
Z m a t e m a t y c z n e g o p u n k t u w i d z e n i a m a c i e r z o w e r ó w n a n i e ( 9 . 5 ) r e p r e z e n t u j e u k Ba d n s p r z |o n y c h z e
s o b l i n i o w y c h r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h z w y c z a j n y c h r z d u d r u g i e g o z e s t a By m i w s p ó Bc z y n n i k a m i . R o z w i -
z a n i e t e g o u k Ba d u ( t z n . z n a l e z i e n i e n f u n k c j i - s k Ba d o w y c h w e k t o r a u o g ó l n i o n y c h p r z e m i e s z c z e D u k Ba d u )
o t r z y m a m o |n a s t o s u j c s t a n d a r d o w e p o d e j [c i e r o z w i z y w a n i a r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h z e s t a By m i w s p ó B-
c z y n n i k a m i . R o z w i z a n i e t o m o |n a s t o s u n k o w o Ba t w o o t r z y m a , g d y l i c z b a r ó w n a D j e s t m a Ba , t z n . g d y m a -
m y d o c z y n i e n i a z n i e w i e l k l i c z b s t o p n i s w o b o d y . W z a g a d n i e n i a c h i n |y n i e r s k i c h w y m i a r y m a c i e r z y , w y -
s t p u j c y c h w r ó w n a n i u ( 9 . 5 ) s j e d n a k d u |e ( c z s t o w i k s z e o d 1 0 0 0 ) . D l a t e g o t e | c e l o w e j e s t s t o s o w a n i e
t a k i c h m e t o d r o z w i z a n i a , k t ó r e w y k o r z y s t y w a By b y p e w n e c e c h y t y c h m a c i e r z y ( i c h s y m e t r i , p a s m o w o [) ,
p o z w a l a j c j e d n o c z e [n i e n a u p r o s z c z e n i e r o z w i z a n i a .
M e t o d y r o z w i z y w a n i a u k Ba d u r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h o p o s t a c i ( 9 . 5 ) m o |n a p o d z i e l i n a d w i e z a s a d -
n i c z e g r u p y : m e t o d y c a Bk o w a n i a b e z p o [r e d n i e g o i m e t o d s u p e r p o z y c j i m o d a l n e j . J a k p o k a |e m y n i |e j o b i e
t e m e t o d y s s o b i e b l i s k i e , a w y b ó r j e d n e j z n i c h z a l e |e b d z i e o d i c h n u m e r y c z n e j e f e k t y w n o [c i .
T o m a s z Ao d y g o w s k i , W i t o l d K k o l M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y b r a n y c h z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i A l m a M a t e r
k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h
9 . W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I 3
9 . 1 Z a g a d n i e n i a w Ba s n e w d y n a m i c e k o n s t r u k c j i
R o z p a t r z m y o b e c n i e p r o b l e m t z w . d r g a D w Ba s n y c h u k Ba d u b e z t Bu m i e n i a , o p i s a n y n a s t p u j c y m u k Ba -
d e m r ó w n a D:
&
( 9 . 9 )
M d & + K d = 0 ,
Z a Bó |m y r o z w i z a n i e u k Ba d u r ó w n a D ( 9 . 9 ) w p o s t a c i :
d ( t ) = Æ s i n ( t - t 0 ) ,
( 9 . 1 0 )
g d z i e m a c i e r z $ s k Ba d a s i z n w e k t o r ó w z w a n y c h p o s t a c i a m i d r g a D w Ba s n y c h , a É j e s t c z s t o [c i d r g a D
w Ba s n y c h ( w j e d n o s t k a c h : r a d / s ) . P o d s t a w i a j c p o w y |s z e d o r ó w n a n i a ( 9 . 9 ) , o t r z y m u j e m y :
2
( K - É M ) Æ = 0 , ( 9 . 1 1 )
l u b
2
K Æ = É M Æ ( 9 . 1 2 )
R ó w n a n i e ( 9 . 1 1 ) l u b ( 9 . 1 2 ) d e f i n i u j e t z w . u o g ó l n i o n y p r o b l e m w Ba s n y . R ó w n a n i e t o m a n r o z w i z a D r z e c z y w i -
s t y c h w p o s t a c i p a r : w a r t o [ w Ba s n a - w e k t o r w Ba s n y : ( É1 2 , $1 ) ( É2 2 , $2 ) . . . ( Én 2 , $n ) , g d z i e p r z e z $i o z n a c z o -
n o - t y w e k t o r w Ba s n y , t j . i - t k o l u m n m a c i e r z y $
O m ó w i m y t e r a z p o d s t a w o w e w Ba s n o [c i w a r t o [c i i w e k t o r ó w w Ba s n y c h , w y s t p u j c y c h w r ó w n a n i u
( 9 . 1 1 ) , k t ó r e o k a z a s i m o g p r z y d a t n e p r z y i c h p o s z u k i w a n i u .
1 . K a |d a z w a r t o [c i w Ba s n y c h i k a |d y w e k t o r w Ba s n y s p e Bn i a r ó w n a n i e ( 9 . 1 1 ) l u b ( 9 . 1 2 ) :
K Æi = Éi 2 M Æi . ( 9 . 1 3 )
R ó w n a n i e t o j e s t s p e Bn i o n e r ó w n i e | p r z e z w e k t o r ±$i ( ± j e s t s t a B r ó |n o d z e r a ) , p o n i e w a |
K ( ±Æi ) = Éi 2 M ( ±Æi ) ( 9 . 1 4 )
M ó w i m y z a t e m , |e w e k t o r w Ba s n y j e s t z d e f i n i o w a n y t y l k o p r z e z j e g o k i e r u n e k w n - w y m i a r o w e j p r z e s t r z e n i .
W y m a g a s i p o n a d t o , b y b y B s p e Bn i o n y w a r u n e k
Æi T M Æi = 1 ( 9 . 1 5 )
W a r u n e k t e n o g r a n i c z a d Bu g o [ w e k t o r a $i . Z a l e |n o [ ( 9 . 1 5 ) o z n a c z a s p e Bn i e n i e t z w . w a r u n k u M -
o r t o n o r m a l n o [c i w e k t o r ó w w Ba s n y c h , b o w i e m z a c h o d z i
T
Æi M Æ = ´i j ,
( 9 . 1 6 )
j
g d z i e ´i j j e s t s y m b o l e m K r o n e c k e r a ( p r z y j m u j e w a r t o [1 , g d y i = j , i r ó w n z e r u w p o z o s t a By c h p r z y p a d -
k a c h ) . W a r u n e k ( 9 . 1 6 ) w y n i k a b e z p o [r e d n i o z o r t o g o n a l n o [c i w e k t o r ó w w Ba s n y c h s t a n d a r d o w e g o p r o b l e -
m u w Ba s n e g o . Z a u w a |m y , |e p r z e m n a |a j c l e w o s t r o n n i e r ó w n a n i e ( 9 . 1 3 ) p r z e z w e k t o r $j T . , o t r z y m u j e m y
T T
Æ K Æi = Éi 2 µ M Æi = Éi 2 ´i j ,
( 9 . 1 7 )
j j
R ó w n a n i e t o o b r a z u j e k o l e j n w Ba s n o [ w e k t o r ó w w Ba s n y c h p r o b l e m u ( 9 . 1 1 ) , a m i a n o w i c i e i c h K -
o r t o g o n a l n o [.
T o m a s z Ao d y g o w s k i , W i t o l d K k o l M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y b r a n y c h z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i A l m a M a t e r
k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h
9 . W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I 4
2 . W a |n c e c h w a r t o [c i w Ba s n y c h p r o b l e m u ( 9 . 1 1 ) j e s t t o , |e s o n e p i e r w i a s t k a m i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y -
s t y c z n e g o
2 2
p ( É ) = d e t ( K - É M ) ( 9 . 1 8 )
b o w i e m j e d n o r o d n e r ó w n a n i e ( 9 . 1 1 ) m a n i e z e r o w e r o z w i z a n i e t y l k o w t e d y , g d y
d e t ( K - Éi 2 M ) = 0 ( 9 . 1 9 )
J e |e l i m a c i e r z ( K Éi 2 · M ) r o z Bo |y m y n a d o l n y i g ó r n y t r ó j k t w e d Bu g r o z k Ba d u C h o l e s k i e g o , t o
n
d e t ( K - Éi 2 M ) = d e t ( L T L ) = ,
( 9 . 2 0 )
"l i i
i - 1
c o p r o w a d z i d o w a r u n k u 1 i i . . = 0 , t z n .
n
2
p ( É ) = = 0
( 9 . 2 1 )
"l i i
i - 1
3 . W a r t o [c i w Ba s n e s r z e c z y w i s t e .
Z a Bó |m y , |e $i i Éi 2 . s w a r t o [c i a m i z e s p o l o n y m i , a $i o r a z Éi - 2 s z n i m i s p r z |o n e . M o |e m y
z a p i s a
K Æi = Éi 2 M Æi , ( 9 . 2 2 )
i p r z e m n a |a j c l e w o s t r o n n i e p r z e z $i - T m a m y :
Æi - T K µi = Éi 2 Æi - T M Æi , ( 9 . 2 3 )
P o d s t a w i a j c d o ( 9 . 2 2 ) r o z w i z a n i e s p r |o n e i o b l i c z a j c t r a n s p o z y c j t e g o r ó w n a n i a , o t r z y m u j e m y :
Æi - T K = Éi 2 Æi - T M , ( 9 . 2 4 )
N a s t p n i e p r z e m n a |a j c l e w o s t r o n n i e p r z e z $i , m a m y :
Æi - T K Æi = Éi 2 Æi - T M Æi , ( 9 . 2 5 )
P o n i e w a | l e w e s t r o n y r ó w n a D ( 9 . 2 3 ) i ( 9 . 2 5 ) s s o b i e r ó w n e , w i c o t r z y m u j e m y
( Éi - 2 - Éi 2 ) Æi - T M Æi = 0 , ( 9 . 2 6 )
c z y l i :
Éi - 2 = Éi 2 ( 9 . 2 7 )
w o b e c c z e g o w a r t o [c i w Ba s n e Éi - 2 , Éi 2 m u s z b y r z e c z y w i s t e .
T o m a s z Ao d y g o w s k i , W i t o l d K k o l M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y b r a n y c h z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i A l m a M a t e r
k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h
9 . W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I 5
9 . 2 . T r a n s f o r m a c j a u o g ó l n i o n e g o p r o b l e m u w Ba s n e g o d o p o s t a c i s t a n d a r -
d o w e j
W i k s z o [ p r o b l e m ó w m e c h a n i k i , k t ó r y c h r o z w i z a n i e s p r o w a d z a s i d o r o z w i z a n i a p r o b l e m u
w Ba s n e g o , p r o w a d z i d o s t a n d a r d o w e g o p r o b l e m u w Ba s n e g o l u b m o |e b y d o n i e g o z r e d u k o w a n a . W t y m
m i e j s c u c h c e m y p o k a z a , j a k t e n p r o c e s m o |n a p r z e p r o w a d z i w p r z y p a d k u r ó w n a D d y n a m i k i . Z a -
z n a c z m y , |e w y m a g a n i e t o n i e j e s t t y l k o f o r m a l n e , a l e p r o w a d z i d o s t o s o w a n i a z n a c z n i e e f e k t y w n i e j s z y c h
a l g o r y t m ó w r o z w i z y w a n i a p r o b l e m u , n i | m a t o m i e j s c e w p r z y p a d k u r o z w i z y w a n i a u o g ó l n i o n e g o p r o -
b l e m u w Ba s n e g o . I n n y m i s Bo w y p r o b l e m s t a n d a r d o w y r o z w i z u j e s i Ba t w i e j i s z y b c i e j . O k a z u j e s i p o n a d -
t o , |e w Ba s n o [c i w a r t o [c i w Ba s n y c h i w e k t o r ó w w Ba s n y c h p r o b l e m u s t a n d a r d o w e g o z a c h o w u j s w w a |-
n o [ w p r o b l e m i e u o g ó l n i o n y m , c o m a i s t o t n e z n a c z e n i e z p u n k t u w i d z e n i a m e c h a n i c z n e j i n t e r p r e t a c j i w y -
n i k ó w . B i o r c p o d u w a g e f e k t y w n o [ s t o s o w a n y c h t e c h n i k o b l i c z e n i o w y c h , b d z i e m y s t a r a l i s i z a c h o -
w a w a |n c e c h m a c i e r z y w y s t p u j c y c h w r ó w n a n i u r ó w n o w a g i t y p u ( 9 . 1 1 ) , a m i a n o w i c i e i c h s y m e t r i .
D |y b d z i e m y d o t e g o , b y p o w s t a By p r o b l e m w Ba s n y b y B s y m e t r y c z n y .
Z a Bó |m y , |e m a c i e r z m a s M j e s t d o d a t n i o o k r e [l o n a . N i e s p e Bn i e n i e t e g o z a Bo |e n i a w y m a g a p r z e -
p r o w a d z e n i a s t a t y c z n e j k o n d e n s a c j i t y c h s t o p n i s w o b o d y , k t ó r e o d p o w i a d a j z e r o w y m w a r t o [c i o m w Ba -
s n y m ( p o r ó w n a j r o z d z . 5 ) . R ó w n a n i e K · $ = É2 M $ m o |e m y p r z e t r a n s f o r m o w a d o i n n e j p o s t a c i p r z e z
d e k o m p o z y c j m a c i e r z y M :
( 9 . 2 8 )
M = L L T ,
g d z i e m a c i e r z L j e s t d o l n y m t r ó j k t e m o t r z y m a n y m w p r o c e s i e d e k o m p o z y c j i C h o l e s k i e g o m a c i e r z y M .
P o d s t a w i a j c p o w y |s z e d o r ó w n a n i a ( 9 . 1 1 ) o t r z y m u j e m y :
2
K Æ = É L L T Æ , ( 9 . 2 9 )
P r z e m n a |a j c o b i e s t r o n y p r z e z L - 1 i d e f i n i u j c w e k t o r
~
( 9 . 3 0 )
Æ = L T Æ ,
o t r z y m u j e m y
~ ~ ~
2
( 9 . 3 1 )
K Æ = É Æ ,
g d z i e
~
( 9 . 3 2 )
K = L - 1 K L - T ,
Z a u w a |m y , |e m a c i e r z K j e s t m a c i e r z s y m e t r y c z n . J e |e l i m a c i e r z M j e s t zl e u w a r u n k o w a n a ( c o p r o w a -
d z i m o |e d o n i e d o k Ba d n e j j e j d e k o m p o z y c j i ) , w ó w c z a s m o |e m y r o z Bo |y m a c i e r z s z t y w n o [c i K n a m a -
c i e r z e t r ó j k t n e . P r z e p i s u j c r ó w n a n i e ( 9 . 1 1 ) w p o s t a c i
1
M Æ = K Æ , ( 9 . 3 3 )
2
É
o t r z y m a m y p o d o b n i e j a k w y |e j
1
M Æ = Æ , ( 9 . 3 4 )
2
É
g d z i e
~
( 9 . 3 5 )
M = L - 1 M L - T ,
( 9 . 3 6 )
K = L T L ,
T o m a s z Ao d y g o w s k i , W i t o l d K k o l M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y b r a n y c h z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i A l m a M a t e r
k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h
9 . W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I 6
~
( 9 . 3 7 )
Æ = L T Æ ,
Z w r ó m y u w a g n a p e w n e c e c h y p r z e d s t a w i o n y c h w y |e j t r a n s f o r m a c j i . W p r z y p a d k u , g d y m a -
c i e r z M j e s t d i a g o n a l n a t o m a c i e r z K m a t s a m s z e r o k o [ p ó Bp a s m a c o m a c i e r z K . G d y m a c i e r z m a s M
n i e j e s t d i a g o n a l n a ( c z y l i j e s t k o n s y s t e n t n a ) , m a c i e r z K j e s t w o g ó l n o [c i m a c i e r z p e Bn , c o p r o w a d z i d o
d u |e g o n a k Ba d u p r a c y p r z y w y k o n y w a n i u t r a n s f o r m a c j i . W d r u g i m p r z y p a d k u Ba t w o z a u w a |y , |e p o -
n i e w a | m a c i e r z K j e s t z a w s z e p a s m o w a , m a c i e r z M j e s t z a w s z e m a c i e r z p e Bn i t r a n s f o r m a c j a j e s t
n i e e f e k t y w n a ( w y m a g a n a j e s t d u |a l i c z b a o p e r a c j i ) . P o d k r e [l m y j e s z c z e , |e e f e k t y w n o [ a l g o r y t m u
r o z w i z y w a n i a r ó w n a n i a ( 9 . 1 1 ) j e s t b a r d z o i s t o t n a w e w s z y s t k i c h n i e m a l z a g a d n i e n i a c h d y n a m i k i k o n -
s t r u k c j i , w k a |d e j b o w i e m m e t o d z i e c a Bk o w a n i a r ó w n a n i a ( 9 . 5 ) k o n i e c z n a j e s t z n a j o m o [ c z s t o [c i k o -
Bo w y c h i p o s t a c i d r g a D a n a l i z o w a n e g o u k Ba d u .
9 . 3 M e t o d y c a Bk o w a n i a r ó w n a D r u c h u
P o w r ó m y p o n o w n i e d o r ó w n a n i a m a c i e r z o w e g o ( 9 . 5 ) . R ó w n a n i e t o , j a k j u | p o w i e d z i e l i [m y , j e s t
r ó w n a n i e m r ó |n i c z k o w y m d r u g i e g o r z d u z e s t a By m i w s p ó Bc z y n n i k a m i . D o r o z w i z a n i a t e g o r ó w n a n i a
m o |n a s t o s o w a s t a n d a r d o w e p o d e j [c i e , j e d n a k z e w z g l d u n a p e w n e w Ba s n o [c i m a c i e r z y M , C , K w
a n a l i z i e r u c h u c i a Ba d y s k r e t y z o w a n e g o e l e m e n t a m i s k o Dc z o n y m i s t o s u j e s i z a s a d n i c z o d w i e g r u p y
m e t o d : m e t o d y c a Bk o w a n i a b e z p o [r e d n i e g o i m e t o d s u p e r p o z y c j i m o d a l n e j . P o n i |e j o m ó w i m y o b i e t e
g r u p y .
9 . 3 . 1 M e t o d y c a Bk o w a n i a b e z p o [r e d n i e g o
W m e t o d a c h b e z p o [r e d n i e g o c a Bk o w a n i a r ó w n a n i e r u c h u w p o s t a c i ( 9 . 5 ) j e s t c a Bk o w a n e k r o k p o
k r o k u . T e r m i n " c a Bk o w a n i e b e z p o [r e d n i e " o z n a c z a , |e r ó w n a n i e t o n i e j e s t p r z e k s z t a Bc a n e d o i n n e j p o -
s t a c i ( w o d r ó |n i e n i u o d m e t o d y s u p e r p o z y c j i m o d a l n e j ) . I s t o t m e t o d y c a Bk o w a n i a b e z p o [r e d n i e g o j e s t
z a Bo |e n i e , |e r ó w n a n i e r u c h u ( 9 . 5 ) m a b y s p e Bn i o n e w w y b r a n y c h c h w i l a c h t , a n i e w c a By m p r z e d z i a l e
c a Bk o w a n i a o r a z z a Bo |e n i e o c h a r a k t e r z e z m i e n n o [c i p r z e m i e s z c z e D, p r d k o [c i i p r z y s p i e s z e D p o m i -
d z y t y m i c h w i l a m i .
Z a Bó |m y z a t e m , |e w c h w i l i t = 0 s z n a n e p r z e m i e s z c z e n i a d 0 , p r d k o [c i d 0 i p r z y s p i e s z e n i a d 0
u k Ba d u o p i s a n e g o r ó w n a n i e m ( 9 . 5 ) . R o z p a t r y w a n y p r z e d z i a B c z a s o w y ( 0 , T ) d z i e l i m y n a n r ó w n y c h
p r z e d z i a Bó w , w k t ó r y c h p o s z u k u j e m y t y c h w i e l k o [c i , c z y l i d l a c h w i l i 0 , "t , 2 "t , . . . . t , t + "t , . . . . T . Z b u d u -
j e m y a l g o r y t m , k t ó r y p o z w o l i o b l i c z y p o s z u k i w a n e w i e l k o [c i w n a s t p n y c h k r o k a c h , w y k o r z y s t u j c
r o z w i z a n i e z p o p r z e d n i e g o k r o k u . W t e n s p o s ó b o t r z y m a m y r o z w i z a n i a w e w s z y s t k i c h r o z p a t r y w a -
n y c h c h w i l a c h z p r z e d z i a Bu ( 0 , T ) . O p i s a n e w y |e j p o d e j [c i e z i l u s t r u j e m y j e d n z m e t o d c a Bk o w a n i a
b e z p o [r e d n i e g o , a m i a n o w i c i e t z w . m e t o d r ó |n i c c e n t r a l n y c h . M e t o d a t a n a l e |y d o j e d n e j z n a j b a r -
d z i e j e f e k t y w n y c h m e t o d t e j g r u p y . W m e t o d z i e t e j z a k Ba d a s i z m i e n n o [ w c z a s i e w e k t o r a p r z y s p i e -
s z e D w p o s t a c i
1
&
d & = ( d t - "t - 2 d t + d t + "t ) , ( 9 . 3 8 )
t
2
"t
a w e k t o r p r d k o [c i w p o s t a c i
1
&
d = ( - d t - "t + d t + "t ) , ( 9 . 3 9 )
2 "t
R o z w i z a n i e r ó w n a n i a ( 9 . 5 ) d l a c h w i l i t + "t o t r z y m a m y r o z p a t r u j c s t a n r ó w n o w a g i d y n a m i c z n e j w
c h w i l i t :
T o m a s z Ao d y g o w s k i , W i t o l d K k o l M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y b r a n y c h z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i A l m a M a t e r
k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h
9 . W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I 7
& &
M d & + C d t + K d t = R t ( 9 . 4 0 )
t
P o d s t a w i a j c w y r a |e n i a n a o p e r a t o r y r ó |n i c o w e ( 9 . 3 8 ) i ( 9 . 3 9 ) d o ( 9 . 4 0 ) , o t r z y m u j e m y :
1 1
( d t - "t - 2 d t + d t + "t ) M + ( d t - "t + d t + "t ) C + K d t = R t , ( 9 . 4 1 )
2
"t 2 "t
l u b
1 1 2 1 1
( M + C ) d t - "t = R t + ( ( M - K ) d t - ( ( M - C ) d t - "t ( 9 . 4 2 )
2 2 2
"t 2 "t "t "t 2 "t
Z r ó w n a n i a t e g o o b l i c z a m y p o s z u k i w a n y s t a n p r z e m i e s z c z e D w c h w i l i t + "t , c z y l i d t + "t . Z a u w a |-
m y , |e r o z w i z a n i e d t + "t j e s t o t r z y m y w a n e n a p o d s t a w i e r o z w i z a n i a w c h w i l i t . M e t o d t z a l i c z a
s i z a t e m d o m e t o d c a Bk o w a n i a j a w n e g o ( e x p l i c i t ) . Z a u w a |m y r ó w n i e |, |e w p r o c e s i e r o z w i z y w a n i a
r ó w n a n i a ( 9 . 4 1 ) n i e w y m a g a s i o d w r a c a n i a m a c i e r z y s z t y w n o [c i K , c o j e s t d u | z a l e t . O b l i c z e n i e
w e k t o r a d w y m a g a u p r z e d n i e g o o b l i c z e n i a w e k t o r a p r z e m i e s z c z e D w c h w i l a c h p o p r z e d n i c h t i t - "t .
Z a c h o d z i w i c k o n i e c z n o [ o p r a c o w a n i a p e w n e j p r o c e d u r y s t a r t o w e j . P o n i e w a | w e k t o r y d 0 , d 0 ,
d 0 s z n a n e d l a c h w i l i t = 0 , d l a t e g o k o r z y s t a j c z ( 9 . 3 8 ) i ( 9 . 3 9 ) , m o |e m y w y z n a c z y d w f i k c y j n e j
c h w i l i p o p r z e d z a j c e j p o c z t e k r u c h u t - "t :
2
"t
&
( 9 . 4 3 )
d - "t = d 0 - "t Å" d 0 + d 0
2
P o n i |e j p o d a n o d w u s t o p n i o w y a l g o r y t m c a Bk o w a n i a r ó w n a n i a r u c h u m e t o d r ó |n i c c e n t r a l n y c h .
O b l i c z e n i a w s t p n e
1 . O b l i c z e n i e m a c i e r z y K , M , C
2 . O b l i c z e n i e d 0 , d 0 , d 0
3 . O k r e [l e n i e "t i o b l i c z e n i e s t a By c h :
1 1 1
a 0 = , a 1 = , a 2 = 2 a 0 , a 3 = ,
2 "t 2 2 "t a 2
4 . O b l i c z e n i e d - "t = d 0 - "t d 0 + "t 2 · 0 . 5 · d 0
~
5 . O b l i c z e n i e M = a 0 · M + a 1 C
~ ~
6 . T r i a n g u l a r y z a c j a m a c i e r z y M : M = L · D · L T
O b l i c z e n i a d l a k a |d e g o k r o k u
1 . O b l i c z e n i e w e k t o r a o b c i |e n i a e f e k t y w n e g o R
Æ
R = R t - ( K - a 2 M ) d t - ( a 0 M - a 1 C ) d t - "t
3 . R o z w i z a n i e r ó w n a n i a ( 9 . 4 1 ) d l a c h w i l i t + "t
L T · D · L · d t + "t = R t
3 . O b l i c z e n i e w e k t o r ó w p r d k o [c i i p r z y s p i e s z e D ( o i l e j e s t t o w y m a g a n e )
&
d & = a 0 ( d t - "t - 2 d t + d t + "t ) ,
t
&
d t = a 1 ( - d t - "t + d t + "t ) ,
T o m a s z Ao d y g o w s k i , W i t o l d K k o l M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y b r a n y c h z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i A l m a M a t e r
k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h
9 . W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I 8
W p r z y p a d k u , g d y m a c i e r z t Bu m i e n i a j e s t r ó w n a z e r u , r ó w n a n i e ( 9 . 4 1 ) u p r a s z c z a s i d o p o s t a c i :
1
Æ
( M ) d t - "t = R t ( 9 . 4 4 )
2
"t
g d z i e
2 1
Æ
R = R - ( K - M ) d - ( - M ) d ( 9 . 4 5 )
2 2
"t "t
G d y w r ó w n a n i u ( 9 . 4 4 ) m a c i e r z m a s b d z i e d i a g o n a l n a , w t e d y r o z w i z a n i e o t r z y m u j e s i , w y k o n u -
j c t y l k o p r z y p i s a n e w z o r e m ( 9 4 5 ) m n o |e n i a :
2
"t
Æ
d t ( i ) = R t ( i ) ( ) ,
( 9 . 4 6 )
+ "t
m i i
g d z i e d t + "t ( i ) o r a z R t ( i ) o z n a c z a j i - t e s k Ba d o w e w e k t o r ó w d t + "t ( i ) i R t ( i ) , a m i i . i - t s k Ba d o w d i a g o n a l n e j m a -
c i e r z y m a s ( z a Bo |y l i [m y d o d a t k o w o , |e m i i > 0 ) . Z a u w a |m y r ó w n i e |, |e p o n i e w a | n i e r o z w i z u j e m y
w t y m p r z y p a d k u u k Ba d u r ó w n a D l i n i o w y c h , n i e j e s t t e | w y m a g a n a z n a j o m o [ g l o b a l n y c h m a c i e r z y
s z t y w n o [c i i m a s . M a c i e r z e t e m o g b y o k r e [l o n e t y l k o n a p o z i o m e e l e m e n t ó w , a i c h u d z i a B u w z g l d -
n i a n y o d p o w i e d n i o p r z y b u d o w i e w e k t o r a R .
Z p o s t a c i r ó w n a n i a ( 9 . 4 6 ) i p o w y |s z e j u w a g i w y n i k a , |e m e t o d a r ó |n i c c e n t r a l n y c h w t y m
p r z y p a d k u j e s t b a r d z o e f e k t y w n a . W i d a b o w i e m , |e d o r o z w i z a n i a ( 9 . 4 6 ) n i e j e s t w y m a g a n a d u -
|a p a m i k o m p u t e r a ( n i e m a m y g l o b a l n y c h m a c i e r z y ) , a r o z w i z a n i e u z y s k u j e s i , w y k o n u j c t y l k o
m n o |e n i a m a c i e r z y ( a n i e i c h t r i a n g u l a r y z a c j ) .
P o d s t a w o w e k o r z y [c i t e j m e t o d y o s i g a s i w p r z y p a d k u , g d y m a c i e r z m a s j e s t d i a g o n a l n a i t Bu -
m i e n i e u k Ba d u m o |n a p o m i n . C h o c i a |, j a k w s p o m n i e l i [m y w c z e [n i e j , d i a g o n a l n a p o s t a m a c i e r z y
m a s j e s t t y l k o p e w n y m j e j p r z y b l i |e n i e m , t o j e d n a k n a s k u t e k b a r d z o p r o s t e j p r o c e d u r y c a Bk o w a n i a
r ó w n a D r u c h u w t e j p o s t a c i o p Ba c a s i d o k o n y w a n a w e t b a r d z o g s t e g o p o d z i a Bu a n a l i z o w a n e g o
u k Ba d u n a e l e m e n t y s k o Dc z o n e , b y z r e k o m p e n s o w a p r z y b l i |o n j e j p o s t a .
W a |n c e c h m e t o d y r ó |n i c c e n t r a l n y c h j e s t j e j z a l e |n o [ o d k r o k u c a Bk o w a n i a "t . O k a z u j e
s i b o w i e m , |e k r o k t e n n i e m o |e b y d o w o l n i e d u |y i m u s i s p e Bn i a z a l e |n o [
T n
"t d" "t k r = , ( 9 . 4 7 )
À
g d z i e T j e s t n a j m n i e j s z y m o k r e s e m d r g a D w Ba s n y c h u k Ba d u .
C z y t e l n i k Ba t w o z a u w a |y s i l n e o g r a n i c z e n i e t e j m e t o d y w y n i k a j c e z p o j a w i e n i a s i w a r u n k u
( 9 . 4 7 ) . O k a z u j e s i , |e w c e l u o k r e [l e n i a n a j m n i e j s z e g o o k r e s u d r g a D n a l e |y o b l i c z y n a j w i k s z c z -
s t o [ d r g a D w Ba s n y c h , c z y l i r o z w i z a p e Bn y p r o b l e m ( 9 . 1 1 ) . M e t o d y c a Bk o w a n i a , k t ó r e w y m a g a j
s p e Bn i e n i a w a r u n k u t y p u ( 9 . 4 7 ) , n a z y w a j s i m e t o d a m i w a r u n k o w o s t a b i l n y m i . O z n a c z a t o , |e n i e -
s p e Bn i e n i e t e g o w a r u n k u m o |e p o w o d o w a n a r a s t a n i e ( a k u m u l a c j ) b Bd ó w c a Bk o w a n i a i z a o k r g l e D
w t r a k c i e r o z w i z y w a n i a r ó w n a D r u c h u .
W [r ó d i n n y c h m e t o d c a Bk o w a n i a b e z p o [r e d n i e g o r ó w n a D r u c h u , k t ó r y c h n i e b d z i e m y t u t a j
o m a w i a , n a l e |y w y m i e n i m e t o d H o u b o l t a , W i l s o n a i N e w m a r k a . M e t o d y t e n a l e | d o m e t o d
b e z w a r u n k o w o s t a b i l n y c h ( p o d w a r u n k i e m p r z y j c i a p e w n y c h w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k ó w , k t ó r e
c h a r a k t e r y z u j k a |d z n i c h ) .
9 . 3 . 2 . M e t o d a s u p e r p o z y c j i m o d a l n e j
E f e k t y w n o [ m e t o d c a Bk o w a n i a b e z p o [r e d n i e g o r ó w n a D r u c h u m a l e j e , g d y l i c z b a k r o k ó w j e s t
d u |a . O z n a c z a t o , |e c e l o w e j e s t s t o s o w a n i e t y c h m e t o d w p r z y p a d k u a n a l i z y r u c h u w s t o s u n k o w o
k r ó t k i m c z a s i e j e g o t r w a n i a . G d y c z a s t e n j e s t d Bu g i , t o c e l o w e j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e r ó w n a n i a ( 9 . 5 )
w i n n p o s t a , d l a k t ó r e j a n a l i z a r u c h u b d z i e e f e k t y w n i e j s z a . P o d s u m o w u j c p o w y |s z e , g d y l i c z b a
T o m a s z Ao d y g o w s k i , W i t o l d K k o l M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y b r a n y c h z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i A l m a M a t e r
k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h
9 . W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I 9
s t o p n i s w o b o d y u k Ba d u j e s t d u |a i l i c z b a k r o k ó w j e s t r ó w n i e | d u |a , t o l e p i e j j e s t p r z e k s z t a Bc i u k Ba d
r ó w n a D r ó w n o w a g i d o p o s t a c i w y m a g a j c e j m n i e j s z e g o n a k Ba d u p r a c y .
N a j c z [c i e j p r z e k s z t a Bc e n i a t a k i e g o m o |n a d o k o n a w y k o r z y s t u j c r o z w i z a n i a p r o b l e m u
d r g a D w Ba s n y c h
&
( 9 . 4 8 )
M d & + K d = 0
P r z y p o m n i j m y , |e r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a m a c i e r z o w e g o ( 9 . 4 8 ) j e s t n p a r ( Éi 2 , $i . ) ,
c z y l i m a c i e r z e o p o s t a c i :
2
îø ùø
É1
ïø úø
2
É2
2
ïø úø,
&! =
( 9 . 4 9 )
ïø úø
K
ïø úø
2
Én ûø
ïø úø
ðø
P o r ó w n u j c w z o r y ( 9 . 1 5 ) i ( 9 . 1 7 ) , w i d z i m y , |e s p e Bn i o n e s n a s t p u j c e z a l e |n o [c i :
T 2 T
Æ K Æ = &! i Æ M Æ = 1 ( 9 . 5 0 )
D o k o n a j m y t e r a z t r a n s f o r m a c j i r ó w n a n i a ( 9 . 5 ) , s t o s u j c p o d s t a w i e n i e
d ( t ) = Æx ( i )
( 9 . 5 1 )
O t r z y m a m y w ó w c z a s r ó w n a n i e r u c h u w p o s t a c i :
& &
M ÆX & + C ÆX + K ÆX = R , ( 9 . 5 2 1 )
a p o l e w o s t r o n n y m p r z e m n o |e n i u p r z e z $t o t r z y m a m y :
T T T
& &
ÆT M ÆX & + Æ C ÆX + Æ K ÆX = Æ R ( 9 . 5 2 2 )
B i o r c p o d u w a g ( 9 . 5 0 ) . m a m y o s t a t e c z n i e :
T 2 T
& &
X & + Æ C ÆX + &! X = Æ R ( 9 . 5 3 )
R ó w n a n i e ( 9 . 5 2 ) n a l e |y j e s z c z e u z u p e Bn i w a r u n k a m i p o c z t k o w y m i :
T
& &
X 0 = Æ M d 0 , X 0 = ÆT M d 0 . ( 9 . 5 4 )
Z r ó w n a n i a ( 9 . 5 3 ) w y n i k a , |e g d y p o m i n i e m y m a c i e r z t Bu m i e n i a , t o o t r z y m a m y u k Ba d r ó w n a D r o z p r z |o n y
w p o s t a c i
2 T
&
X & + &! X = Æ R , ( 9 . 5 5 )
t j . n r ó w n a D s k a l a r n y c h
& &
x i ( t ) + Éi 2 x i ( t ) = r i ( t ) ( 9 . 5 6 )
T o m a s z Ao d y g o w s k i , W i t o l d K k o l M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y b r a n y c h z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i A l m a M a t e r
k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h
9 . W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I 1 0
g d z i e
r i ( t ) = Æi T R ( t ) ( 9 . 5 7 )
W a r u n k i p o c z t k o w e r u c h u o t r z y m a m y z ( 9 . 5 4 ) :
&
&
x i 0 = Æi T M d 0 , x i 0 = Æi T M d 0 ( 9 . 5 8 )
R o z w i z a n i e r ó w n a D ( 9 . 5 6 ) m o |e m y u z y s k a w s p o s ó b p r z e d s t a w i o n y w p o p r z e d n i m r o z d z i a l e , t j . w y k o r z y -
s t u j c j e d n z m e t o d c a Bk o w a n i a b e z p o [r e d n i e g o l u b w y k o r z y s t u j c t z w . c a Bk D u h a m e l a :
t
1
x i ( t ) = ( Ä ) s i n Éi ( t - Ä ) d Ä + ±i s i n Éi t + ²i c o s Éi t ,
( 9 . 5 9 )
+"r
Éi 0 i
g d z i e s t a Be ±i . i ²i . w y z n a c z a s i z w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h ( 9 . 5 8 ) . R ó w n a n i e ( 9 . 5 9 ) r o z w i z u j e s i
z a z w y c z a j n u m e r y c z n i e . A b y o t r z y m a r o z w i z a n i e n a s z e g o p r o b l e m u w y j [c i o w e g o n a l e |y p o r o z w i z a n i u
n r ó w n a D ( 9 . 5 6 ) p o w r ó c i d o t r a n s f o r m a c j i ( 9 . 5 1 ) . W t e n s p o s ó b o t r z y m a m y o s t a t e c z n i e r o z w i z a n i e w p o -
s t a c i :
n
d ( t ) = x i ( t ) ,
( 9 . 6 0 )
"Æi
i = 1
P o d s u m o w u j c , w m e t o d z i e s u p e r p o z y c j i m o d a l n e j w p r z y p a d k u b r a k u s i B t Bu m i e n i a n a l e |y n a j p i e r w
r o z w i z a u o g ó l n i o n y p r o b l e m w Ba s n y , n a s t p n i e r o z p r z |o n y u k Ba d r ó w n a D r ó w n o w a g i , a n a k o n i e c d o k o -
n a s u p e r p o z y c j i k a |d e g o z o t r z y m a n y c h r o z w i z a D w e d Bu g z a l e |n o [c i ( 9 . 6 0 ) .
D o d a j m y n a k o n i e c , |e w w i e l u p r z y p a d k a c h p r a k t y c z n y c h m o |e m y u w z g l d n i w ( 9 . 6 0 ) t y l k o k i l k a
p i e r w s z y c h w e k t o r ó w < t > . ( p o s t a c i d r g a D) , c o d a l e j z n a k o m i c i e u p r a s z c z a p o w y |s z y a l g o r y t m .
W p r z y p a d k u a n a l i z y r u c h u o p i s a n e g o p e Bn y m r ó w n a n i e m ( 9 . 5 3 ) , t z n . z u w z g l d n i e n i e m t Bu m i e n i a ,
m e t o d a s u p e r p o z y c j i m o d a l n e j m o |e b y n a d a l e f e k t y w n a , g d y z a Bo |y m y t Bu m i e n i e p r o p o r c j o n a l n e :
Æi T C Æ = 2 Éi ¶ ´i j ,
( 9 . 6 1 )
j i
g d z i e Âi . j e s t w s p ó Bc z y n n i k i e m t Bu m i e n i a , a ´i i . s y m b o l e m K r o n e c k e r a . W t e n s p o s ó b z a Bo |y l i [m y , |e
w e k t o r w Ba s n y ( p o s t a d r g a D) j e s t r ó w n i e | C - o r t o g o n a l n y i o s t a t e c z n i e o t r z y m u j e m y r ó w n a n i e r u c h u w
p o s t a c i :
& &
x i ( t ) + 2 Éi ¶ ´i j + Éi 2 x i ( t ) = r i ( t ) ,
( 9 . 6 2 )
i
k t ó r e r o z w i z u j e s i w p o d o b n y s p o s ó b , j a k d l a p r z y p a d k u b e z t Bu m i e n i a , z t y m t y l k o , |e c a Bk a D u h a m e l a
m a t e r a z n i e c o i n n p o s t a u w z g l d n i a j c e f e k t t Bu m i e n i a
t
1
i i
x i ( t ) = ( Ä ) e - ¶ Éi ( t - Ä ) s i n Éi ( t - Ä ) d Ä + e - ¶ Éi t ( ±i s i n Éi t + ²i c o s Éi t ) ,
( 9 . 6 3 )
+"r
Éi 0 i
g d z i e
2
( 9 . 6 4 )
Éi = Éi 1 - ¶
i
a s t a Be ±i . i ²i . . w y z n a c z a s i z w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h ( 9 . 5 8 ) .
T o m a s z Ao d y g o w s k i , W i t o l d K k o l M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y b r a n y c h z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i A l m a M a t e r
k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h
9 . W Y B R A N E Z A G A D N I E N I A D Y N A M I K I K O N S T R U K C J I 1 1
Z a d a n i a
1 . W y p r o w a d z i w z ó r n a w s p ó Bc z y n n i k i m a c i e r z y m a s M ( 9 . 3 ) , w y k o r z y s t u j c s f o r m u Bo w a n i e
e n e r g e t y c z n e ( e n e r g i k i n e t y c z n ) .
2 . W y p r o w a d z i w z ó r n a m a c i e r z m a s M d l a p r t a k r a t o w n i c y p Ba s k i e j :
- m a c i e r z k o n s y s t e n t n ,
- m a c i e r z n i e k o n s y s t e n t n .
3 . R o z w i z a z a g a d n i e n i e d r g a D s w o b o d n y c h u k Ba d u o p o s t a c i
&
2 0 îø ùø 6
îø ùø d & îø - 2 d 1 0
ùø îø ùø îø ùø
1
Å" =
ïø úø
ïø0 1 úø Å" + ïø úø ïød úø ïø1 2 úø
&
ðø ûø ðø- 2 4 ûø ðø 2 ûø ðø ûø
ðød & 2 ûø
i w a r u n k a c h p o c z t k o w y c h d 0 = d 0 = 0 w p r z e d z i a l e c z a s o w y m [ 0 , 2 T 1 ] , g d z i e T 1 j e s t n a j -
m n i e j s z y m o k r e s e m d r g a D w Ba s n y c h ( p r z y j "t = T 1 / 1 0 ) . W y k o r z y s t a m e t o d r ó |n i c c e n -
t r a l n y c h i m e t o d s u p e r p o z y c j i m o d a l n e j . P o r ó w n a w y n i k i z r o z w i z a n i e m d o k Ba d n y m :
îø1 / 3 0 . 5 2 / 3 ùøîø 5 / 3 ( 1 - c o s 2 t ) ùø
d =
ïø úøïø úø
ðø1 / 3 - 2 / 3 ûøðø2 2 / 3 - ( 1 + c o s 5 t ) ûø
4 . R o z w i z a z a p o m o c c a Bk i D u h a m e l a r ó w n a n i e r u c h u u k Ba d u o j e d n y m s t o p n i u s w o b o d y w p o -
s t a c i :
2
& & &
x + É x = R s i n p t o r a z x 0 = 0 x 0 = 1
5 . O b l i c z y m a c i e r z t r a n s f o r m a c j i $ d l a p r o b l e m u d r g a D, p r z e d s t a w i o n e g o z a p o m o c m a c i e r z y w
z a d a n i u 2 . N a s t p n i e n a p i s a r o z p r z |o n y u k Ba d r ó w n a D ( 9 . 5 6 ) .
T o m a s z Ao d y g o w s k i , W i t o l d K k o l M e t o d a e l e m e n t ó w s k o Dc z o n y c h w w y b r a n y c h z a g a d n i e n i a c h m e c h a n i k i A l m a M a t e r
k o n s t r u k c j i i n |y n i e r s k i c h
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