plik

��Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE Budownictwo, studia I stopnia, semestr III rok akademicki 2010/2011 Instytut L-5, WydziaB In|ynierii Ldowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Czym jest problem wBasny? Algebraiczny problem wBasny definicja W teorii ukBad�w liniowych dla ukBadu liniowych r�wnaD algebraicznych o zwykBej postaci: A x = y, gdzie An�n jest macierz kwadratow, wyr�|nia si: 1) pewn dan wielko[ wej[ciow y (sygnaB wej[ciowy) 2) i poszukiwan wielko[ wyj[ciow x (sygnaB wyj[ciowy). R�wnanie to przedstawia odwzorowanie wektora x w wektor y. Istot algebraicznego problemu wBasnego jest poszukiwanie takiego sygnaBu wej[ciowego y, do kt�rego byBby proporcjonalny sygnaB wyj[ciowy x. Zatem powinien zachodzi zwizek: y = � x, w kt�rym � jest skalarnym wsp�Bczynnikiem proporcjonalno[ci. Otrzymujemy og�ln posta standardowego problemu wBasnego: A x = � x lub (A - � I) x = 0 MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Czym jest problem wBasny? Algebraiczny problem wBasny definicja Standardowy problem wBasny ma posta: A x = � x lub (A - � I) x = 0 x y = A x y = � x x inny kierunek ten sam kierunek = kolinearno[ inna norma inna norma Algebraiczny problem wBasny sprowadza si zatem do poszukiwania rozwizaD jednorodnego ukBadu liniowych r�wnaD algebraicznych, w kt�rym macierz wsp�Bczynnik�w A - � I zale|y od jednego parametru �. MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Rozwizanie problemu wBasnego Rozwizanie problemu wBasnego Problem wBasny (A - � I) x = 0 ma nietrywialne rozwizanie x = 0 tylko wtedy, gdy: det(A - � I) = 0 Zajmiemy si takimi algebraicznymi problemami wBasnymi, o kt�rych bdzie wiadomo a priori, |e maj dokBadnie n liniowo niezale|nych rozwizaD, przy czym n okre[la rozmiar macierzy An�n. Rozwizaniem problemu wBasnego jest zatem caBy zbi�r n par wBasnych: (�i, xi ), i = 1, 2, . . . , n uporzdkowany przez relacje �1 �2 . . . �n. Warto[ci �i, i = 1, 2, . . . , n nazywamy warto[ciami wBasnymi rowizywanego problemu. Ka|dej warto[ci wBasnej odpowiada wektor wBasny xi . Zbi�r warto[ci wBasnych �i , i = 1, 2, . . . , n oznaczamy Sp(A) i nazywamy widmem (spektrum) macierzy A, a liczb max|�i | jej promieniem spektralnym �(A). i MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Rozwizanie problemu wBasnego Wektor wBasny dowolna dBugo[ Je|eli (�i , xi ) jest par wBasn macierzy A, to jej par wBasn jest tak|e w (�i , c xi), gdzie c jest dowolnym skalarem r�|nym od zera. Wynika to z faktu, |e je|eli xi jest rozwizaniem r�wnania: (A - �i I) xi = 0 to jego rozwizaniem bdzie r�wnie| c xi (c = 0), gdy| speBnia ono r�wnanie: (A - �i I) (c xi ) = 0 Wektor wBasny jest wic okre[lony tylko z dokBadno[ci do kierunku, natomiast jego dBugo[ mo|e by dowolna. MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Rozwizanie problemu wBasnego Unormowany wektor wBasny Dla wygody i zapewnienia jednoznaczno[ci rozwizania problemu wBasnego wektory wBasne poddaje si normalizacji. Je[li xi ma np. norm ||xi || = �i , to unormowany wektor wBasny ui o jednostkowej dBugo[ci ||ui || = 1 otrzymujemy mno|c xi przez skalar ci : ||ui || = ||ci xi|| = |ci | � ||xi|| = |ci | �i = 1 �! |ci | = 1/�i Je|eli warto[ci wBasne �i speBniaj relacje �1 �2 . . . �n, to macierz U utworzona z kolejnych wektor�w wBasnych: �� u11 u12 � � � u1n �� u21 u22 � � � u2n �� U = [u1, u2, . . . , un] = �� un1 un2 � � � unn jest ortonormalna, tzn. U UT = UT U = I. MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne R�wnanie charakterystyczne R�wnanie charakterystyczne Po rozwiniciu wyznacznika det(A - � I) = 0 otrzymujemy r�wnanie wielomianowe w(�) znane jako r�wnanie charakterystyczne det(A - � I) = w(�) = (1)n �n - a1�n-1 + a2�n-2 + . . . - an-1� + an = 0 o pierwiastkach �i, i = 1, 2, . . . , n , kt�re s warto[ciami wBasnymi, a rozwizania xi ukBadu (A - � I)x = 0 s wektorami wBasnymi macierzy A. Tradycyjne rozwizanie problemu wBasnego polega na: 1 obliczeniu warto[ci wBasnych jako pierwiastk�w r�wnania charakterystycznego, 2 rozwizaniu r�wnaD (liniowo zale|nych) (A - �i I) xi = 0, tzn. wyznaczeniu wektor�w wBasnych xi MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne R�wnanie charakterystyczne Rozwizanie problemu wBasnego na podstawie r�wnania charakterystycznego PrzykBad: Znalez warto[ci wBasne i wektory wBasne macierzy: �� 1 -1 0 �� A = -1 2 -1 0 -1 1 Rozwizanie: R�wnanie charakterystyczne ma posta: 1 - � -1 0 det(A - �I) = -1 2 - � -1 = -�3 + 4�2 - 3� = 0. 0 -1 1 - � Warto[ci wBasne wynosz odpowiednio: �1 = 0; �2 = 1; �3 = 3. MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne R�wnanie charakterystyczne Rozwizanie problemu wBasnego na podstawie r�wnania charakterystycznego Wektory wBasne s rozwizaniami ukBadu: (A - � I) x = 0. Wyznacznik macierzy jest zerem co oznacza , |e r�wnania nie s liniowo niezale|ne. Dlatego, mo|na dowolnie przyj jeden z element�w x a nastpnie z dw�ch r�wnaD wyznaczy pozostaBe skBadniki rozwizania. MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne R�wnanie charakterystyczne Rozwizanie problemu wBasnego na podstawie r�wnania charakterystycznego Wektor wBasny odpowiadajcy �3 = 3, jest rozwizaniem r�wnania (A - � I) x = 0 gdzie � = �3. �� 1) 1 -1 0 x1 0 �� 2) -1 2 -1 x2 �� = 0 3) 0 -1 1 x3 0 Po przyjciu np. x1=1, z r�wnania 1) obliczamy x2 = -2 a nastpnie z r�wnia 3) x3 = 1. Wektor wBasny odpowiadajcy warto[ci wBasnej �3 = 3 ma posta: �� 1 �� x3 = -2 . 1 MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne R�wnanie charakterystyczne Rozwizanie problemu wBasnego na podstawie r�wnania charakterystycznego PozostaBe dwa wektory wBasne maj posta: �� 1 1 �� x2 = 0 x1 = 1 . -1 1 Dla wygody, wektory wBasne s przestawiane jako kolumny macierzy X. W rozwa|anym przykBadzie: �� 1 1 1 �� X = [ x1 x2 x3 ] = 1 0 -2 . 1 -1 1 Po znormalizowaniu, wektory wBasne przyjmuj posta: " " " �� 1/ 1/ 2 1/ "3 "6 �� u = 1/ "3 "0 -2/"6 . 1/ 3 -1/ 2 1/ 6 MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Problem wBasny wybrane definicje W dalszym cigu przytoczone zostan wybrane definicje i twierdzenia dotyczcych macierzy symetrycznych. Definicja 1. Macierz A nazywamy diagonalnie dominujc, je|eli moduBy element�w na jej przekatnej s niemniejsze od sumy moduB�w pozostaBych element�w z tego wiersza: n |aii| |aik|, i = 1, 2, . . . , n k=1,k=i Definicja 2. Ilorazem Rayleigha nazywamy wyra|enie powstajce na podstawie r�wno[ci A xi = �i xi pomno|onej lewostronnie przez xT: i xTAxi i xTAxi = �ixTxi �! �i = i i xTxi i MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Problem wBasny wybrane twierdzenia Twierdzenie 1. Warto[ci i wektory wBasne macierzy symetrycznej s rzeczywiste. Twierdzenie 2. Warto[ci wBasne macierzy symetrycznej i dodatnio okre[lonej s dodatnie. Twierdzenie 3. Wektory wBasne macierzy symetrycznej odpowiadajce r�|nym warto[ciom wBasnym s wzajemnie ortogonalne tzn. xTx = I Twierdzenie 4. Je|eli warto[ciami wBasnymi macierzy A s liczby �i to warto[ciami wBasnymi macierzy odwrotnej A-1 s liczby �-1 (i = 1, 2, . . . , n). i Twierdzenie 5. Je|eli do macierzy A dodamy dowoln macierz skalarn �I to Sp(A + �I) = Sp(A) + �. Widmo macierzy A + �I jest wic zbiorem liczb: �1 + �, �2 + �, . . . , �n + �. MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Twierdzenia Gerszgorina o lokalizacji warto[ci wBasnych Twierdzenie 6. Twierdzenia Gerszgorina sBu|y do okre[lenia globalnych przedziaB�w warto[ci wBasnych macierzy A tzn. granic w kt�rych zawarte s wszystkie warto[ci wBasne. Uproszczone twierdzenie dla macierzy symetrycznych: Je[li � jest warto[ci wBasn A, to ai - Ri � ai + Ri, i = 1, 2, . . . , n gdzie n ai = Aii Ri = | Aij | j=1 j=i Z tego wynika, |e globalne granice w kt�rych zawieraj si warto[ci wBasne s: �min min(ai - Ri ) �max max(ai + Ri) i i MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Twierdzenie Gerszgorina przykBad zastosowania Zastosowa twierdzenie Gerszgorina dla zlokalizowania warto[ci wlasnych macierzy A: �� 1.5 -1.0 0.0 �� A = -1.0 4.0 0.5 0.0 0.5 2.0 Rozwizanie: a11 = 1.5 a22 = 4.0 a33 = 2.0 R1 = | - 1.0| + 0.0 = 1.0 R2 = | - 1.0| + 0.5 = 1.5 R3 = 0.0 + 0.5 = 0.5 R1 1 2 3 4 5 6 � R3 R2 �min min(ai - Ri) = 0.5 �max max(ai + Ri) = 5.5 i i MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Metoda potgowa Idea metody potgowej Metoda ta sBu|y do wyznaczania pojedynczej warto[ci wBasnej, o najwikszym module, macierzy A stopnia n i odpowiadajcego jej wektora wBasnego x. Metoda polega na iteracyjnym generowniu cigu wektor�w: x(1) = Ax(0), x(2) = Ax(1), . . . , x(k) = Ax(k-1), . . . Po udanym wyborze startowego wektora wBasnego x(0), w kolejnych przybli|eniach cig jest zbie|ny do wektora wBasnego x1 odpowiadajcego warto[ci wBasnej �1. MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Metoda potgowa Zasada dziaBania metody potgowej ZakBadamy, |e istniej unormowane wektory wBasne ui, i = 1, 2, . . . , n macierzy A. Wektory te tworz pewn baz przestrzeni Rn: U = [u1, u2, . . . , un] Dziki temu ka|dy wektor x " Rn mo|emy przedstawi jako kombinacj liniow wektor�w wBasnych: n x(0) = �iui i=1 gdzie �i oznacza i-t wsp�Brzdn wektora x(0) liczon wzgldem przyjtej bazy. MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Metoda potgowa Zasada dziaBania metody potgowej Dla kazdej pary wBasnej (�i, ui ) mamy A ui = �i ui . Otrzymujemy: n n n x(1) = Ax(0) = A �i ui = �i Aui = �i�i ui i=1 i=1 i=1 n n n x(2) = Ax(1) = A �i �iui = �i �iAui = �i �2 ui i i=1 i=1 i=1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � n n k �i x(k) = �i �k ui = �k �1 ui + �i �1 ui i 1 i=1 i=2 czyli n k x(k) �i = �1u1 + �i ui �k �1 1 i=1 MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Metoda potgowa Zasada dziaBania metody potgowej ZakBadajc, |e �1 jest najwiksz co do moduBu i pojedyncz warto[ci wBasn, tzn. gdy: |�1| > |�2| |�3| . . . |�n|, otrzymujemy k �i �! 0 dla k �! ", i = 1, 2, . . . , n �1 oraz x(k) lim = u1. k�!" �k�1 1 Majc przybli|ony wektor wBasny u1 mo|emy wykorzysta twierdzenie Rayleigha do obliczenia przybli|onej warto[ci wBasnej (maksymalnej co do moduBu). MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Metoda potgowa Metoda potgowa przykBad Znalez najwiksz warto[ wBasn �max i odpowiadajcy jej wektor wBasny x macierzy A: �� 1.5 1.0 0 1 �� A = 1.0 4.0 0.5 , Wektor startowy: x0 = 0 0 0.5 2.0 0 R1 1 2 3 4 5 6 � R3 R2 �max max(ai + Ri ) = max(2.5, 5.5, 2.5) = 5.5. i MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Metoda potgowa Metoda potgowa wyniki dla przykBadu it � u1 u2 u3 0 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 1 1.50000 0.83205 0.55470 0.00000 2 3.19231 0.50718 0.85830 0.07803 3 4.28234 0.37342 0.91779 0.13497 4 4.42428 0.33362 0.92824 0.16452 5 4.43968 0.32174 0.92983 0.17862 6 4.44181 0.31798 0.92986 0.18509 7 4.44216 0.31670 0.92971 0.18800 8 4.44223 0.31623 0.92961 0.18928 9 4.44224 0.31605 0.92955 0.18985 10 4.44224 0.31597 0.92953 0.19010 11 4.44224 0.31594 0.92952 0.19021 12 4.44224 0.31593 0.92951 0.19026 13 4.44224 0.31592 0.92951 0.19028 14 4.44224 0.31592 0.92951 0.19030 MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Metoda iteracji odwrotnej Zasada dziaBania metody iteracji odwrotnej Metoda ta sBu|y do obliczenia najmniejszej co do moduBu warto[ci wBasnej i odpowiadajcego jej wektora wBasnego. W tym celu r�wnanie: (A - �I)x = 0 mno|ymy przez macierz A-1: A-1 (A - �I)x = 0 -�! (I - �A-1)x = 0 Co prowadzi do: (A0 - �0I)x = 0 gdzie: A0 = A-1 �0 = 1/�. Dziki temu tak warto[ wBasn mo|na obliczy metod potgow. przyjmujc macierz A-1 zamiast macierzy A. MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Metoda iteracji odwrotnej Metoda iteracji odwrotnej przykBad do rozwizania Znalez najmniejsz warto[ wBasn �min i odpowiadajcy jej wektor wBasny x macierzy A: �� 1.5 1.0 0 1 �� A = 1.0 4.0 0.5 Wektor startowy: x0 = 0 0 0.5 2.0 0 �� 0.898551 -0.231884 0.057971 �� A-1 = -0.347826 0.347826 -0.086957 0.086957 -0.086957 0.521739 R1 �min min(ai - Ri ) = 0.5 i 1 2 3 4 5 6 � R3 R2 MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Przesuwanie widma Przesuwanie widma Metod iteracji odwrotnej mo|na uog�lni na poszukiwanie warto[ci wBasnej najbli|szej |danej warto[ci �. Wezmy macierz: A 0 = (A - �I)-1 = (A )-1. Je[li macierz A ma warto[ wBasn �i , to macierz A = A - �I ma warto[ wBasn � = �i - �, i 1 1 a macierz A 0 = (A )-1 ma warto[ wBasn � 0 = = . � �i -� i Wniosek: Je[li znajdziemy warto[ wBasn macierzy A 0 �! (� ) i to znajdziemy najbli|sz � warto[ wBasn macierzy A, kt�ra wynosi: 1 �i = + �. � MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Przesuwanie widma Przesuwanie widma przykBad �� 1.5 1.0 0 1 �� A = 1.0 4.0 0.5 , Wektor startowy: x0 = 0 0 0.5 2.0 0 Wyniki: � it � u1 u2 u3 0.0 18 1.11563 0.91480 -0.35161 0.19878 2.0 7 1.94213 -0.25169 -0.11128 0.96139 4.0 9 4.44224 0.31592 0.92951 0.19030 R1 1 2 3 4 5 6 � R3 R2 MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Uog�lniony problem wBasny Uog�lniony problem wBasny (A - �B)x = 0 lub Ax = �Bx gdzie A i B s macierzami symetrycznymi o wymiarach n � n. Dla macierzy symetrycznych i dodatnio okre[lonych mo|na przeksztaBci odpowiedni uog�lniony problem wBasny w odpowiedni problem standardowy (prosty). Wykonujc dekompzycj Choleskiego dla macierzy A otrzymujemy: A = L LT -�! L LT x = �B x. Po wprowadzeniu transformacji: x = (L-1)Tz otrzymujemy: L LT (L-1)T z = �B (L-1)T z kt�re po obustronnym pomno|eniu przez L-1 ma posta: L-1L LT (L-1)T z = �L-1B (L-1)T z. MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY Wiadomo[ci wstpne Wybrane definicje i twierdzenia Rozwizanie problemu wBasnego metody numeryczne Uog�lniony problem wBasny Uog�lniony problem wBasny L-1L LT (L-1)T z = �L-1B (L-1)T z. Poniewa| L-1L = LT (L-1)T = I r�wnanie zostanie zredukowane do postaci standardowej: � (� - �I)� = 0 (1) x gdzie: � � = L-1 B (L-1)T � = 1/� � = LT x. x Po rozwizaniu problemu opisanego r�wnaniem (1) warto[ wBasn i wektor wBasny mo|na obliczy ze wzor�w: � � = 1/� x = (L-1)T � x MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE ALGEBRAICZNY PROBLEM WAASNY

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
W07 W08 SCR
W07 08 WYKLADY TIORB 2007 MECHANIZACJA CALOSC z rysunkami
0708z sk zlm w07
Fund w07
Gazownictwo w07
ti w07
PKM II w07 Czolowe przekladnie walcowe o zebach srubowych
W07 Fizyka Haran
W07 Dyskretna Zakrzewski (2)
so w07 print
PI w07
inf2 w07
m1 w07
mt pn w07
AM23 w07 Pochodne cząstkowe zastosowania
W07 Przekształcenia 2D

więcej podobnych podstron