Fizyka dla elektroników 1
Dr Grzegorz Harań
Wykład 07
Mechanika
Energia potencjalna i zasada zachowania energii
ą
F =-" u=-grad u - energia potencjalna  siła potencjalna
u �ą u u
ą
F d r
ą=-duśą x , y , zźą=-�ą x dx-�ą y dy-�ą z dz
�ą �ą
rąB
u śąrąAźą-uśą rBźą - praca nie zależy od drogi
+" ą
r
ąA
ą
ą=0
."F d r
Zasada zachowania energii mechanicznej
Energia mechaniczna = energia kinematyczna + energia potencjalna
E=K �ąU
ą
F m
Policzmy pracę jaką wykona siła potencjalna przy przesunięciu cząstki o masie z
ąA ąB
rąA rąB V V
położenia do położenia . Cząstki w tych położeniach mają prędkości i .
rąB
ą
W = F d r śąrąAźą-U śąrąBźą
+" ą=U
rąA
Z twierdzenia o pracy i energii mamy:
2 2
mV mV
B A
W = - =K -K
B A
2 2
U śąrąAźą-U śąrąBźą=K -K tzn.
B A
K �ąU śąrąAźą=K �ąU śąrąAźą�! K �ąU =const
B B
Pokazaliśmy zasadę zachowania energii mechanicznej: siły potencjalne nie zmieniają
energii mechanicznej cząstki.
E=K �ąU =const
Układy jednowymiarowe
�ą U �ąU �ą U �ą �ą �ą
ą
F =-" U =- , , , "= , ,
śą źą śą źą
�ą x �ą y �ą z �ą x �ą y �ą z
�ąU �ą U �ą U
ą
F =śą F ,0,0źą śą F ,0 ,0źą=- , ,
w jednym wymiarze i czyli
śą źą
�ą x �ą y �ą z
�ą U �ą U dU
F =-�ą U , = =0 F =-
tzn.
�ą x �ą y �ą z dx
F
Widzimy, że warunkiem istnienia energii potencjalnej (potencjalności siły ) jest jej
F
całkowalność tzn. istnieje i dodatkowo musi być jednoznacznie określoną funkcję
+"F dx
położenia.
Przykład siły niepotencjalnej:
siła tarcia
dU
-�ą mg=-
dx#"x niejednoznacznie określona przez położenie
dU
�ąmg=-
dx#"x
dU
T `"- mimo że jest całkowalna.
czyli
dx
Żadna siła, która zależy od prędkości nie jest siłą potencjalną.
Jednowymiarową siłą potencjalną jest siła sprężystości
F =-kx
x
1 1 1
U śą xźą-U śą x0źą=- śą-kxźą dx= kx2#"x = kx2- kx2
Policzmy energię potencjalną
+"
x0 0
2 2 2
x0
Fizyczne znaczenie ma tylko różnica energii potencjalnej tzn. praca wykonana przez siłę
x
U śą x źą= Fdx�ąU śą x0źą
potencjalną. Aby określić funkcję energii potencjalnej musimy przyjąć
+"
x0
U śą x0źą x0
U
wartość i wartość tzn. określić punkt od którego liczymy wartości , czyli znalez
ć
 poziom zero energii potencjalnej. Energia potencjalna jest określona z dokładnością do stałej
U śą x0źą U śą x0źą=0
i dlatego najlepiej wybrać .
x0=0 U śą x0=0źą=0
Dla siły sprężystości fizycznie naturalnym wyborem jest i , tzn. U =0
gdy układ jest w położeniu równowagi (nie działa siła sprężystości). Wtedy
x
1
U śą x źą=- śą-kxźądx= kx2
+"
2
x0
Zasada zachowania energii mechanicznej dla siły sprężystości:
1 1
2
mV �ą kx2=const
2 2
Układy trójwymiarowe
�ą �ą �ą
ą
Aśą x , y , zźą=śą Axśą x , y , zźą , Ayśą x , y , zźą , Az śą x , y , zźąźą "= , ,
śą źą
�ą x �ą y �ą z
ą ą ą
A A A
Definiujemy rotację pola (siły ) (iloczyn wektorowy gradientu i )
ęą
( )
#"ęą#"=#"ęąj#"=#"k#"=1
i
ęą
ęą ęąj k
i
�ą Az �ą Ay �ą Ax �ą Az ęą �ą Ay �ą Ax
�ą �ą �ą
ą
rot A="�ą =ęą - �ąęąj - �ąk - =
A= i
śą źą śą źą śą źą
�ą x �ą y �ą x
�ą y �ą z �ą z �ą x �ą x �ą y
#" #"
Ax Ay Az
�ą Az �ą Ay �ą Ax �ą Az �ą Ay �ą Ax
= - , - , -
śą źą
�ą y �ą z �ą z �ą x �ą x �ą y
Rotacja robi z wektora wektor (mówi czy pole ma wiry).
Twierdzenie Stokesa:
�ą F �ą F �ą F �ą F �ą F �ą F
x x y y z z
ą
F =śą F , F , F źą
Jeśli jest ciągła wraz z pochodnymi , , , , , to
x y z
�ą y �ą z �ą x �ą z �ą x �ą y
ą
ą ą
S F d l
,"śąrot F źą�"d ą=."
ą
Sc
c d S
gdzie jest powierzchnią, a jej brzegiem jest
Sc c
ą
d S
zorientowanym różniczkowym elementem powierzchni, tzn jest
normalny do powierzchni (prostopadły),
ą
#"d S#"=dS = pole powierzchni elementu
dS
ą
d l to zorientowany różniczkowy element długości
ą#"=dl=
#"d l długość elementu .
dl
ą ą
d l d S
Kierunki i są określone regułą prawej ręki.
ą ą
śąrot F źą�"d S - iloczyn skalarny dwóch wektorów.
ą
F
Jeśli siła jest określona w obszarze powierzchniowo jednospójnym (na dowolnej krzywej c
ą
Sc
F
można rozpiąć powierzchnię , która całkowicie zawiera się w tym obszarze), to jest
ą
potencjalna wtedy i tylko wtedy, gdy rot F =0 .
ą
ą ."F dl=0 dla każdej krzywej c
F Jest potencjalna wtedy i tylko wtedy, gdy
c
Tw.Stokesa
ą ą=0 dla powierzchni Sc której brzegiem jest c czyli dla dowolnej
�! śąrot F źą�"d S
,"
S
c
ą
Sc�! rot F =0
powierzchni .
Ważne pola potencjalne:
ą
F =śą F , F , F źą=const
1. Pole jednorodne
x y z
ą
rot F =0 czyli pole jest potencjalne
r
ą
ą
U śąrźą-U śąr0źą= F d r
ą ą +" ą=
r0
ą
śąx , y , z źą śąx , y , z źą
=- śą F , F , F źą�"śą dx , dy , dzźą=- śą F dx�ąF dy�ąF dzźą=
+" +"
x y z x y z
śąx0 , y0 , z źą śąx0 , y0, z źą
0 0
x y z
=-F dx- F dy-F dz=-F śą x-x0źą-F śą y- y0źą- F śą z-z0źą
+" +" +"
x y z x y z
x0 y0 z0
ą
U śąr
otrzymaliśmy ąźą-U śąr0źą=-F śąr-r0źą
ą ą ą
Przykładem takiego pola jest jednorodne pole grawitacyjne (w pobliżu Ziemi)
ą
F =śą0,0 ,-mg źą
U śąr śąr0źą=-śą0,0 ,-mg źą�"śąą-r0źą=mg śą z-z0źą
r
ąźą-U ą ą
U śąr
ąźą=mgz�ąU śąr0źą-mgz0 skalujemy energię potencjalną tak, że
ą
�ą
const=c
z0=0,U śą z0źą=0 śąU śąr0=śą x0 , y0 , z0źąźąźą
U śąr śą zźą=mgz - energia
ą i otrzymujemy
ąźą=U
m z
potencjalna cząstki o masie na wysokości .
2
mV
Zasada zachowania energii mechanicznej: mgz�ą =const
2