Fizyka dla elektroników 1
Dr Grzegorz Harań
Wykład 05
Mechanika
Praca i energia
Praca dla siły jednowymiarowej działającej w jednowymiarowym układzie:
rÄ…B xB
Ä…
Ä…
Ä…
F =-kx W = F d r F dx
+" ą= F =śą F ,0 ,0źą rA=śą xA,0 ,0źą =+"
[ ]
d r=śą x ,0 ,0źą rąB=śą xB,0 ,0źą
Ä…
r xA
Ä…A
Praca wykonana przez siłę sprężystości:
xk
1 1 1
k
W = śą-kxźą dx=- kx2#"x = kx2- kx2
+"
xp p k
2 2 2
xp
F
Policzmy pracę wykonywaną przez sił działającą na swobodną spoczywającą cząstkę o masie
m i przyspieszającą tę cząstkę do prędkości :
V
xk t V
k k
dV
dV 1
F =ma=m 2
W = F dx= = m V dt= mV dV = mV
+" +" +"
dt k
dt 2
0 [ ] 0 0
dx=V dt
Możemy napisać dx=V dt dla nieskończenie małego przesunięcia.
m V
Definiujemy energię kinetyczną cząstki o masie poruszającej się z prędkością :
1
2
K = m V
2
Pokazaliśmy twierdzenie o pracy i energii:
Zmiana energii kinetycznej cząstki jest równa pracy wykonanej na tej cząstce.
xk V
k
1 1
2 2
Aneks: W = F dx= mV dV = mV - mV =K -ki=­Ä… K
+" +"
k i k
2 2
0 V
i
Energia kinetyczna jest skalarem, jej jednostkÄ… jest joul [J].
Pęd i zasada zachowania pędu
Pęd:
Pęd cząstki o masie m poruszającej się z prędkością u :
Ä…
p=mu
Ä… Ä…
Pęd jest wektorem!!!
Pęd jest wektorem!!!
We współrzędnych kartezjańskich:
u=śąux ,uy ,uzźą p=śą px , py , pzźą px=mux p =mu pz=muz
Ä… Ä…
y y
Stosując pojęcie pędu zapiszemy drugą zasadę dynamiki następująco:
Ä…
Ä…
d śą maV źą
d V d p
Ä…
Ä…
F =m a=m =[m=const ]= =
Ä…
dt dt dt
II Zasada Dynamiki w postaci uogólnionej (pędowej):
d p
Ä…
Ä…
F=
dt
d p
Ä…
Ä…
=0Ò! p=const
Jeśli F =0 to ą . Jest to:
dt
Zasada zachowania pędu jednej cząstki:
Jeśli na cząstkę nie działa żadna siła lub działające siły równoważą się, to pęd cząstki pozostaje
niezmienny.
Rozważmy izolowany układ dwóch cząstek oddziałujących ze sobą siłami
ą1 ą2 to prędkości tych cząstek w
V , V
wewnętrznymi, tak jak na rysunku.
chwili oddziaływania.
FÄ…12= FÄ…21
Ä…1
m1: p1=m1V
Pęd cząstki o masie ą
Ä…2
m2 : p2=m2V
Pęd cząstki o masie ą
W danej chwili początkowej  wtedy gdy zaczyna się oddziaływanie.
p= p1ƒÄ… p2
Całkowity pęd układu cząstek: ą ą ą .
d p1 d p2
Ä… Ä…
d p
Ä…
Policzmy zmianÄ™ tego pÄ™du w czasie: = ƒÄ… ,
dt dt dt
d p1 d p2
Ä… Ä…
p
z II zasady dynamiki: =FÄ…12 , =FÄ…21 d Ä… =FÄ…12ƒÄ… FÄ…21=FÄ…12-FÄ…12=0
dt dt dt
d p=0Ò! p
Ä…
Ä…=const
dt
Pokazaliśmy zasadę zachowania pędu układu dwóch cząstek:
(1) Jeśli dwie izolowane cząstki oddziałują ze sobą to ich całkowity pęd jest stały.
(2) Alternatywnie możemy tę zasadę sformułować następująco:
Siły wewnętrzne nie zmieniają pędu układu (całkowitego pędu):
p1ƒÄ… p2=const
Ä… Ä…
Przykładem oddziaływań wewnętrznych dwóch cząstek są zderzenia cząstek, przyjmujemy tzw.
impulsowe przybliżenie sił wewnętrznych, tzn. są one dużo większe od wszystkich sił
zewnętrznych (np. grawitacji) i działają bardzo krótko (impulsowo) tak, że w momencie ich
oddziaływania możemy zaniedbać pozostałe siły. Czyli w momencie zderzenia mamy tylko siły
wewnętrzne i dlatego całkowity pęd układu jest zachowany.
Zderzenia niesprężyste
Przed zderzeniem
Po zderzeniu
p
PÄ™d przed zderzeniem: Ä…p=m1VÄ…1 ƒÄ…m2 VÄ…2
p p
Ä…k
pk=śą m1ƒÄ…m2źąV
Pęd po zderzeniu: ą
p pk
Ä…p= Ä…
m1 VÄ…1 ƒÄ…m2VÄ…2
p p
Ä…kÔ!V
Ä…k=
m1VÄ…1 ƒÄ…m2 VÄ…2 =śą m1ƒÄ…m2źąV
p p
m1ƒÄ…m2
Centralne zderzenie doskonale sprężyste
Centralne tzn. cząstki przed i po zderzeniu poruszają się po jednej prostej. Doskonale sprężyste tzn.
zachowana jest całkowita energia kinetyczna cząstek, czyli energia kinetyczna przed zderzeniem
jest równa energii kinetycznej po zderzeniu.
Po zderzeniu
Przed zderzeniem
Zasada zachowania pędu:
m1VÄ…1 ƒÄ…m2 VÄ…2 =m1VÄ…1 ƒÄ…m2 VÄ…2
p p k k
Zasada zachowania energii kinetycznej:
1 1 1 1
2 2 2 2
m1 V ƒÄ… m2 V = m1V ƒÄ… m2V
1 2 1k 2k
p p
2 2 2 2
Biorąc pod uwagę jednowymiarowość ruchu możemy zapisać:
m1V ƒÄ…m2 V =m1V ƒÄ…m2 V
1 2 1k 2k
p p
2 2 2 2
m1V ƒÄ…m2 V =m1V ƒÄ…m2 V
1 2 1k 2k
p p
m1śąV -V źą=m2śąV -V źą
m1śąV -V źą=m2śąV -V źą
1p 1k 2 2
1p 1k 2 2k
p k
p
Ô! Ô!
2 2 2 2
V ƒÄ…V =V ƒÄ…V
m1śąV -V źą=m2śąV -V źą
1 1k 2 2k
1p 1k 2 2
p p
p k
m1śąV -V źą=m2śąV ƒÄ…V -2V2 źąÔ!
1p 1k 1 1k p
p
Ô!
V =V ƒÄ…V -V
2k 1 1k 2
p p
m1-m2 2m1
V = V ƒÄ… V
1k
p
m1ƒÄ…m2 1 m1ƒÄ…m2 2p
Ô!
m2-m1 2m2
V = V ƒÄ… V
2k
p p
m2ƒÄ…m1 2 m2ƒÄ…m1 1