Fizyka dla elektroników 1
Dr Grzegorz Harań
Wykład 08
Mechanika
Energia potencjalna i zasada zachowania energii
Ważne pola potencjalne:
1. Pole jednorodne (poprzedni wykład).
2. Pole siły centralnej:
ą
F śąrźą= f śąrźąą
r
Siła centralna
ą
Dwie możliwości:
rąA ,rąB .
Policzmy pracę wykonaną przez siłę centralną na dowolnej drodze między położeniami
r r r
ąB ąB ąB
ą
W = F d r= f śąrźą r d r f śą x2�ą y2�ąz2źąśą x , y , zźąśądx ,dy ,dzźą=
ćą
+" ą +" ą ą=+"
r r r
ąA ąA ąA
r r
ąB ąB
1 1 1
= f śą x2�ą y2�ą z2źąśą xdx�ą ydy�ą zdzźą= f śą x2�ą y2�ą z2źą dx2�ą dy2�ą dz2 =
ćą ćą
+" +"
śą źą
2 2 2
r r
ąA ąA
r r r
B B B
1
=1 f śą x2�ą y2�ąz2 śą x2�ą y2�ąz2 1 f śąrźą dr2= f śąrźą dr dr=
ćą
+" +" +"
�ąźąd �ąźą= 2
2 2
r 2 r r
A A A
r r2
r
B
= f śąrźą r dr
+"
r
A
Siła jest potencjalna, ponieważ praca nie zależy od drogi, a jedynie od odległości
rąA rąB rA rB
punktów i od centrum czyli od i .
Siłą centralną jest siła grawitacji.
GmM
ą
F śąrźą=- r
ą ą
r3
Nm2
G=6,673"10-11
Wszystkie te
[ ]
kg
prace są takie
ą
F śąrźą= f śąrźąą , f śą rźą=-GmM same
r
Energia potencjalna siły grawitacji ą
r3
r r r
ą
GmM dr 1#"
r
ą
U śąr śąr0źą=- F d r=- - r dr=GmM =-GmM
ąźą-U ą +" ą +" +"
r0
śą źą
śą źą
r
r3 r2
r r0 r0
ą0
GmM
GmM U śąrźą=-GmM �ąU śąr0źą�ą
U śąrźą-U śą r0źą=-GmM �ą
r r0
�ą
r r0 �!
const
lim U śąr0źą=0
r0Śą" U śąrźą=-GmM - energia potencjalna układu
Przyjmijmy i , wtedy
r Śą"
0
r
dwóch mas m , M w odległości r , czyli praca jaką należy wykonać aby stworzyć ten układ.
Zasada zachowania energii mechanicznej:
1
2 2
-GmM �ą MV �ą1 mV =const
M m
r 2 2
m
M k"m j"1 V H"const
Jeśli to możemy przyjąć, że i
M
śą źą
M
d VąM
#" #"
M d VąM m d Vąm
dt
d d m
M VąM �ą mVąm =0 �ą =0, = j"1
śą źą śą źą
dt dt dt dt
d Vąm M
#" #"
dt
i wtedy:
-GmM 1
2
�ą mV H"const
m
r 2
Policzmy energię układu Ziemia  Słońce w układzie odniesienia związanym
ze Słońcem (środkiem masy układy Ziemia  Słońce)
1
2
E=-GmM �ą mV
r 2
b
ą0.98
Orbita Ziemi jest przybliżona przez okrąg (elipsa )
a
2
mV GmM GmM
2
= mV =
Siła grawitacji jest siłą dośrodkową
r r
r2
1 GmM GmM
E=-GmM �ą =-1 "ą0
r 2 r 2 r
Dynamika ruchu obrotowego
ą
XY
r , F leża w płaszczyz
nie .
ą
ą
F 0
Moment siły względem punktu :
ą
�ą=ą�F
r
ą
ą
�ą jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez i , a jeśli
r F
ą
ą
to .
r%"F �ą=0
ą
ą
#"�ą#"=#"ą� F#"=rF sin �ą
r
Wartość
ą
ą
m V
Moment pędu cząstki o masie poruszającej się z prędkością względem
0
punktu .
ą ą
L=r� p=ą�m V
r
ą ą
ą
jest prostopadły do płaszczyzny p L=0
to
L r , p , a jeśli r%"ą ą .
ą ą ą
ą
L
Policzmy zmianę w czasie:
ą
d L d d r r p
ą
ą ą ą ą ą
= śąą�ą źą= � p�ąą�d ą =V � p�ąr�F =V �mV
r p
ą ą ą ą ą
�ą�ąr�F =�ą
dt dt dt dt
=0
ą
d L=�ą
ą
�ą L
Otrzymaliśmy ą . Uwaga: i są liczone względem tego samego punktu.
ą
dt
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego:
ą
d L=�ą d p
ą
ą
=F
ą (analogicznie do )
dt dt
N
ą ą Li
N . To moment pędu cząstki numer
Dla układu cząstek całkowity moment pędu L= Li ą
"
i=1
N
�ąi
i . Jeśli działa sił to całkowity (wypadkowy) moment siły to �ą= �ąi , gdzie ą to
N
ą " ą
i=1
ąi
F
moment siły .
0
Uwaga: Wszystkie momenty są liczone względem tego samego punktu .
N
ą
d Li
ą ą ąi
N
Układ cząstek, L= Li =�ąi=ri�F
" ą ą
dt
i=1
N
ą ąj
d Li
ą d L
d L
= =�ą F
" ąj=r ą j
ąj�
dt dt dt
i=0
ąi=F ąiz
ąiz�ąFąiw F - siły zewnętrzne działające na cząstkę numer i , Fąiw - wypadkowa siła
F
i
wewnętrzna działająca na cząstkę numer .
N N N N N N
ą
d L
ąi= ąiz�ąri�Fąiwźą= �ąiz�ą �ąiz�ą �ąąiw
= �ąi= ri�F śąri�F
" ą " ą " ą ą " ą " ą "
dt
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
�ąiz �ąiw
ą - moment sił zewnętrznych, ą - moment sił wewnętrznych działających na cząstkę numer
N
i �ąiw=0 Ponieważ siły wewnętrzne występują w parach (III zasada dynamiki).
.
" ą
i=1
I moment siły takiej pary (rys.) jest równy 0.
ąij�ąr ąji=ri�F ąj� Fij=śąri-r ą
ąij-r ą
ri�F
ą ąj�F ą ą ąjźą�Fij=0
N
ą
d L
N
Otrzymaliśmy = �ąiz=�ąz dla dowolnego układu cząstek.
" ą ą
dt
i=1
Wniosek:
Zasada zachowania momentu pędu:
Jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ jest równy 0, to całkowity
moment pędy tego układu jest zachowany.
ą
d L
ą
�ąz=0�! =0�! L=const
ą
dt
Inne sformułowanie: moment sił wewnętrznych nie zmieniają momentu pędu układu.