Fizyka dla elektroników 1
Dr Grzegorz Harań
Wykład 06
Mechanika
Praca i energia
Centralne zderzenie doskonale sprężyste
m1=m2 , wtedy:
Rozważmy przypadek równych mas
V =V
1k 2p
V =V
2k 1p
Następny przypadek:
m1
m2k"m1�! j"1, U =0
(np. zderzenie ze ścianą)
2p
m2
m1
-1
m1-m2 m2
V = V = V H"-V
1k
m1�ąm2 1p m1 1p 1p
�ą1
m2
m1
2m1 m2 m1
V = V =2 V H"2 V Śą 0
2k
m1�ąm2 1p m1 1p m2 1p m1Śą"
�ą1
m2
Krótki komentarz dotyczący zderzeń niecentralnych, na przykład na płaszczyz
nie (zderzeń
sprężystych)
p1 x , p1 y , p2 x , p2 y - 4 wielkości, a mamy następujące równania:
Szukamy
k k k k
p1 x�ą p2 x= p1 x�ą p2 x
p p k k
p1 �ą p2 = p1 �ą p2 �!
ą ą ą ą
Zasada zachowanie pędu:
p p k k
p1 y�ą p2 y= p1 y�ą p2 y
p p k k
2 2 2 2
m1V m2 V m1V m2V
1p 2p 1k 2k
Zasada zachowania energii:
�ą = �ą
2 2 2 2
2
m V p2
=
śą źą
2 2r
tzn. 3 równania i dlatego korzysta się z układu biegunowego i mierzy się jeden z kątów
rozproszenia.
Środek masy układu cząstek
m1 , m2,... , mn r1 , r2 , ... , rn
N-cząstek o masach w położeniach odpowiednio ą ą ą :
N
1
rą = ri mi
" ą
śm
N
Położenie środka masy:
mi i=0
"
i=1
rą =śą xśm , yśm , zśmźą
śm
N
M = mi - całkowita masa układu
"
i=0
N N N
1 1 1
xśm- xi mi yśm- yi mi zśm- zi mi
" " "
M M M
i =1 i=1 i=1
m1 , 2m1 w położeniach r1=śą1,0 ,0źą , r2=śą2,0 ,0źą
Przykład: Dwie masy ą ą
rą =śą xśm ,0,0źą
śm
1 5
x = "śąm1�ą2m1"2źą=
śm
3m1 3
d ri 1
ą
d 1 1
ąi= 1 pi
Vąśm= ri mi= mi = mi V
Prędkość środka masy ą ą
" " " "
dt M M dt M M
i i i i
ąi to pęd cząstki numer i
pi=mi V
ą
M Vąśm= pi=ą
pcałkowity całkowity pęd układu jest równy pędowi cząstki o masie M
" ą
czyli
i
ą
V
(całkowita masa układu) poruszającej się z (prędkość środka masy) czyli pędowi środka
śm
masy.
Środek masy to taki teoretyczny punkt, którego pęd jest równy pędowi całego układu.
ą
pcałkowity=M V =ą to jest pęd środka masy, któremu przypisano całą
pśm
Całkowity pęd układu ą
śm
masę układu.
Zmiana w czasie całkowitego pędu układu:
ą
d pcałkowity d pśm d V
ą ą
d p
śm ą
ąi
ą
F
= =M = = Fi
, gdzie to całkowita (wypadkowa) siła
" "
dt dt dt dt
i i
ąi=F iz ą
ą
F �ąF
i
działająca na cząstkę .
iw
ą
F
i
- siła zewnętrzna działająca na cząstkę (np. grawitacja, pole elektromagnetyczne)
iz
ą ą
F = Fij - siła wewnętrzna działająca na cząstkę i , F ij to siła z jaką cząstka j działa na
" ą
iw
j `"i
i
cząstkę .
ą ą
F =-F
ij ji
d pcałkowity
ą
ą ą ą ą
czyli = Fiz�ą Fiw=F �ą F
" " "
z ij
dt
i i i`" j
ą ą ą ą ą ą
F = -F =- F =- F =- Fij�! Fij=0
" " " " " "
ij ji ji ji
Zauważmy, że z III zasady dynamiki
i , j i , j i , j j ,i i , j i , j
i`" j i`" j i`" j i`" j i`" j i`" j
tzn. suma wszystkich sił wewnętrznych jest równa 0.
Otrzymaliśmy, że:
d p
ącałkowity ą
ą ą
F = F
"
z iz
=F , gdzie jest wypadkową zewnętrzną siła działającą na układ.
z
i
dt
ąz=0 to ą
F pcałkowity=const
Jeśli tzn. siły zewnętrzne nie zmieniają pędu układu (Zasada
zachowania pędu dla układu cząstek)
Energia potencjalna i zasada zachowania energii
ą
u śąr F śąrźą
Jeśli istnieje jednoznaczna funkcja taka, że siła spełnia równość
ąźą ą
ą ą
F śąrźą=-" uśąr r F uśąr
to siła jest siłą potencjalną, a jest energią potencjalną
ą ąźą=-grad u śąąźą ąźą
ą ą
u śąr F
tej siły. Określa pole siły i w każdym punkcie przestrzeni działa siła F =-" u :
ąźą
" " " " u "u " u
"= , , , " u śąąźą=" u śą x , y , zźą= , ,
r
śą źą śą źą
" x " y " z " x " y " z
(z funkcji skalarnej robi wektor)
ą
u
Jeśli F =-" u to różniczka czyli
" u "u " u "u " u " u
du śą x , y , zźą= dx�ą dy�ą dz= , , śądx , dy , dz uźąd r=-F d r
�ąźą=śą" ą ą ą
śą źą
" x " y " z " x " y " z
d r
ą
ą
tzn. F d r jest różniczka zupełną.
ą
r r
Policzmy pracę wykonaną przez siłę potencjalną na dowolnej drodze pomiędzy punktami ąA ,ąB
rąB rB
ą
- nie zależy od drogi
ą
W = F d r du=u śąrąBźą-u śąrąAźą
+" ą=-+"
r rA
ąA ą
Widzimy, że praca wykonana przez siłę potencjalną nie zależy od
drogi po której była wykonana, a zależy jedynie od położenia
punktów pomiędzy którymi była wykonana.
A stąd mamy koleją własność siły potencjalnej: praca wykonana przez
siłę potencjalną na drodze zamkniętej jest równa zeru.
r r rA
ąB ąB ą
ą ą ą
W = F d r , W = F d r F d r
+" ą +" ą=-+" ą
I II
rA r rB
ą ąA ą
I II II
r r
ąB ąA
ą ą
W =W �!W -W =0 F d r F d r =0
+" ą- +" ą
I II I II
śą źą
r rB
ą ą
A
r r r
ąB ąA ąA
ą ą ą
F d r F d r F d r
+" ą�ą+" ą=." ą=0
rA r r
ą ąB ąA
I II