Plan prezentacji
Politechnika Rzeszowska
Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska
Katedra Mechaniki Konstrukcji
Układy kratownicowe
Podstawowe pojęcia
Mechanika teoretyczna
Analiza budowy
Wykład 7: Statyka (cd)
Obliczanie sił w prętach kratownicy
Piotr Nazarko
Metoda równoważenia węzłów (MRW)
pnazarko.sd.prz.edu.pl
Metoda Rittera
Metody wykreślne
Studia niestacjonarne
Rzeszów 2012
Kratownice
Kratownica jest to geometrycznie niezmienny układ prętów
prostych połączonych między sobą za pomocą przegubów
idealnych (bez tarcia).
Obciążeniem kratownicy mogą być jedynie siły skupione
przyłożone w węzłach (pomijając ciężar własny prętów).
UKA
ADY KRATOWNICOWE
Pomimo, że założenie przegubowych połączeń prętów
kratownicy znacznie upraszcza teorię kratownic to jednak w
rzeczywistych konstrukcjach inżynierskich połączenia tworzące
tzw. węzły są realizowane w sposób odbiegający od tego
założenia.
Kratownica może być płaska (gdy wszystkie pręty leżą w
jednej płaszczyz
nie) lub przestrzenna.
Obliczanie sił w prętach kratownic płaskich Analiza budowy
Układ 3 prętów połączonych przegubami, tworzący trójkąt można
traktować jako jedno ciało sztywne.
Rozwiązanie płaskiej kratownicy sprowadza się do obliczenia
reakcji podpór i wyznaczenia sił we wszystkich prętach. Biorąc
pod uwagę przyjęte wcześniej założenia jedyną siłą w pręcie
kratownicy jest siła działająca wzdłuż osi pręta (ściskająca lub
rozciągająca).
Jeżeli do takiej tarczy dołączymy za pomocą dwóch prętów nie
Poznany wcześniej warunek konieczny geometrycznej
leżących na jednej prostej kolejny przegub, to także otrzymamy
niezmienności i statycznej wyznaczalności
układ, który można traktować jako jedno ciało sztywne, a fragment
V = 3t - 2b - p - 3 = 0 w przypadku kratownic jest
kratownicy zbudowany z trójkątów można traktować jako jedną
uciążliwy do sprawdzenia, bo większość przegubów to
tarczę.
przeguby wielokrotne.
Analiza budowy układów kratownicowych będzie zatem polegać na
tworzeniu takich tarcz, a następnie badaniu sposobu połączenia
między nimi oraz tarczą podłoża (ostoją).
Analiza budowy  przykłady Analiza budowy  przykłady (cd.)
Przykład 1: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Przykład 2: Przeprowadz
analizę budowy układu.
t = 3
b = 0
t = 3
p = 6
b = 3
p = 0
V = 3 � 3 - 6 - 3 = 0
Tarcze 1 i 2 połączone są w sposób geometrycznie niezmienny (za
V = 3 � 3 - 2 � 3 - 3 = 0
pomocą 3 prętów nie przecinających się w jednym punkcie) 
można traktować je jako jedno ciało sztywne, z którym tarcza 3
Trzy tarcze połączone przegubami nie leżącymi na jednej prostej
jest także połączona w sposób geometrycznie niezmienny. Zatem
stanowią układ GN i SW.
kratownica jest GN i SW.
Analiza budowy  przykłady (cd.) Analiza budowy  przykłady (cd.)
Przykład 3: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Przykład 4: Przeprowadz
analizę budowy układu.
t = 4
b = 0
t = 3
p = 9
b = 1
p = 4
V = 3 � 4 - 9 - 3 = 0
Warunek konieczny GN i SW jest spełniony, ale kratownica jest
V = 3 � 3 - 2 � 1 - 4 - 3 = 0
GN. Tarcze 1 i 2 są połączone w sposób GN i można je traktować
Układ jest GZ, bo trzy tarcze połączone są trzema przegubami
jako jedną tarczę, do której tarcze 3 i 4 dołączone są w sposób GN
(jeden rzeczywisty i dwa umowne), które leżą na jednej prostej.
(za pomocą trzech prętów, których osie przecinają się w jednym
punkcie).
Analiza budowy  przykłady (cd.) Analiza budowy  przykłady (cd.)
Przykład 5: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Przykład 6: Przeprowadz
analizę budowy układu.
t = 3
t = 3
b = 3
b = 3
p = 0
p = 0
V = 3 � 3 - 2 � 3 - 3 = 0
V = 3 � 3 - 2 � 3 - 3 = 0
Układ jest GZ, bo trzy tarcze połączone są trzema przegubami
(jeden rzeczywisty i dwa umowne), które leżą na jednej prostej.
Układ jest GZ, bo trzy tarcze połączone są trzema przegubami
(jeden rzeczywisty i dwa umowne), które leżą na jednej prostej.
Analiza budowy  przykłady (cd.) Analiza budowy  przykłady (cd.)
Przykład 8: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Przykład 7: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Układ jest GZ.
Układ jest GZ.
Analiza budowy  przykłady (cd.) Metoda równoważenia węzłów
Jeżeli myślowo wytniemy z płaskiej kratownicy węzeł zastępując
Przykład 9: Przeprowadz
analizę budowy układu.
wszystkie przecięte pręty siłami, to otrzymamy płaski zbieżny układ
sił, dla którego możemy napisać dwa równania równowagi

Pix = 0 Piy = 0
Tych równań jest 2 � w. Jeżeli liczba niewiadomych to p + r, gdzie
p liczb prętów kratownicy, r liczba więzów podporowych (reakcji),
to warunek konieczny geometrycznej niezmienności i statycznej
wyznaczalności kratownicy płaskiej ma postać
Układ jest GN i SW. Można to wykazać odłączając od układy
parę prętów połączonych przegubem pojedynczym. Jeśli układ jest
p + r = 2 � w
WGN to połączenie z ostoją za pomocą przegubu i pręta sprawia,
że cały układ jest GN, a w tym przypadku także SW.
Przykład Przykład (cd)
Po obliczeniu reakcji podbór, wycinanie węzła zaczynamy od
miejsca, w którym zbiegają się dwa pręty (występują nie więcej niż
dwie niewiadome siły).
Węzeł A
Aby rozwiązać powyższą kratownicę metodą równoważenia węzłów
najpierw wyznaczamy reakcje podpór. Przystępując od razu do wycinania

4 4
Pix = 0 -4 + S1 + S2 � = 0 �! S1 = 4 - S2 � = 51 N
węzłów otrzymalibyśmy układ równań sprzężonych trudny do rozwiązania.
5 5 3

3
Piy = 0 1 + S2 � = 0 �! S2 = -5 N

5 3
Pix = 0 4 - HA = 0 �! HA = 4 N

MiA = 0 3 � 4 - 4 � 3 - VB � 12 = 0 �! VB = 2 N

Piy = 0 VA + VB - 3 = 0 �! VA = 3 - VB = 1 N
Przykład (cd) Przykład (cd)
Węzeł C
Węzeł E


Pix = 0 S3 - S1 = 0 �! S3 = S1 = 51 N 4 8
3 Pix = 0 S8 - S3 - S5 = 0 �! S8 = N

5 3

Piy = 0 S4 = 0 4
Piy = 0 S7 + S5 = 0 �! S7 = 2 N
5
Węzeł D
Węzeł F

4 4 4

Pix = 0 S6 + S5 - S2 = 0 �! S6 = N
3
5 5 3
Piy = 0 -S7 - S9 = 0 �! S9 = -10 N
3 3
5 3
Piy = 0 -3 - S5 - S2 = 0 �! S5 = -10 N
5 5 3
Przykład (cd) Przykład (cd)
Kontrola obliczeń:
W ten sposób otrzymaliśmy siły we wszystkich prętach
kratownicy.

Węzeł F
4
Piy = 0 -4 + 4 + (-10 ) � = 0
3 3 5
Zostały 3 niewykorzystane równania: 1 równanie dla węzła F i
2 równania dla węzła B. Zostały one dlatego, że z 2 � w
równań równowagi można obliczyć zarówno siły we wszystkich
prętach kratownicy, jak i reakcje podporowe. A w tym zadaniu
Węzeł B
reakcje wyznaczono z innych równań równowagi.
Niewykorzystane równania mogą posłużyć do kontroli
poprawności obliczeń.

4 4
Pix = 0 -S8 - S9 � = -8 - (-10) � = 0
5 3 3 5

3
Piy = 0 2 + S9 3 = 2 + (-10) � = 0
5 3 5
Wnioski z MRW  pręty zerowe Wnioski z MRW  pręty zerowe (cd)
Wnioski wynikające z metody równoważenia węzłów (pręty
2. Jeżeli w węz
le nie obciążonym schodzą się trzy pręty, a dwa
zerowe):
z nich leżą na jednej prostej, to siła w trzecim pręcie jest
1. Jeżeli w węz
le nie obciążonym schodzą się dwa pręty to siły
równa zeru, a dwie pierwsze siły są sobie równe.
w obu prętach są równe zeru.

Piy = 0 N3 sin ą = 0
Piy = 0 N2 sin ą = 0
N3 = 0

N2 = 0
Pix = 0 N2 - N1 + N3 cos ą = 0
Pix = 0 N1 + N2 cos ą = 0
N1 = N2
N1 = 0
Wnioski z MRW  pręty zerowe (cd)
3. Jeżeli w węz
le schodzą się dwa pręty, a węzeł jest obciążony
Przykład (cd): Wyznacz pręty zerowe.
siłą (lub reakcją) działającą wzdłuż jednego z prętów to siła
w tym drugim pręcie jest równa zeru.
Przykład: Wyznacz pręty zerowe.
Metoda Rittera
Przykład (cd): Wyznacz pręty zerowe. Wyznacz siły w zaznaczonych prętach kratownicy korzystając z metody
Rittera.
O tym, który pręt jest zerowy
decyduje przede wszystkim
sposób obciążenia kratownicy,
a także jej budowa.
1. Oblicz reakcje podpór.
W kratownicy nieobciążonej

wszystkie pręty są oczywiście
Pix = 0 HA = 4 N

zerowe.
MiA = 0 3 � 4 + 4 � 3 - VB � 12 = 0 �! VB = 2 N

Piy = 0 VA + VB - 3 = 0 �! VA = 1 N
Metoda Rittera (cd) Metoda Rittera (cd)
Punkt Rittera dla siły G jest punktem, w którym przecinają się kierunki
2. Aby obliczyć siły w zaznaczonych prętach przecinamy kratownicę
dwóch pozostałych przeciętych prętów (K i D).
przekrojem (ą - ą) na dwie tarcze. Jeżeli przekrój przecina trzy
pręty, których osie przecinają się w jednym punkcie to nazywamy do
przekrojem Rittera.

4
II
MR = 0 4 � 3 - G � 3 - 2 � 4 = 0 �! G = N
G
3
lub

3. Jeżeli dla danego pręta przekrój Rittera istnieje to siłę w tym pręcie 4
I
MR = 0 G � 3 - 3 � 4 + 1 � 8 = 0 �! G = N
G
można wyznaczyć z równania o jednej niewiadomej.
3
Metoda Rittera (cd) Metoda Rittera (cd)
Punkt Rittera dla siły K nie istnieje, bo pręty G i D są równoległe. W takim
Podobnie wyznaczamy punkt Rittera dla siły D.
przypadku, aby otrzymać równanie z jedną niewiadomą wykorzystujemy
równanie sumy rzutów sił na oś prostopadłą do prętów G i D.
16
II
MR = 0 D � 3 - 2 � 8 = 0 �! D = N
D

3
3 10
II
Piy = 0 2 + K � = 0 �! K = - N
5 3
lub

16
I lub

MR = 0 1 � 4 + 4 � 3 - D � 3 = 0 �! D = N
3 10
D I
3
Piy = 0 1 - 3 - K � = 0 �! K = - N
5 3
Przykład: Wyznacz siły w zaznaczonych prętach kratownicy.
3 r
sin ą = =
5 8
24
r =
5

II
MR = 0 D � 6 + 6 � 4 = 0 �! D = -4 N
D

II
MR = 0 S � 8 - 6 � 4 = 0 �! S = 3 N
S

II 24
MR = 0 6 � 4 - G � = 0 �! G = 5 N
G 5
W kratownicy wspornikowej można nie obliczać reakcji podpór tylko od
lub

II 3 4
MR = 0 6 � 4 - G � 4 - G � 3 = 0
razu układać równania Rittera dla części konstrukcji, w której nie
G 5 5
12 12
6 � 4 - G( + ) = 0 �! G = 5 N
występują podpory.
5 5
Przykład: Wyznacz siły w wybranych prętach kratownicy.

I 11
MR = 0 - D � 4 + 2 � 4 + 1 � 3 = 0 �! D = N
D 4
rK 4
sin ą = 15 = 5 �! rK = 12 m
I 3
2 3
MR = 0 K � 12 - 1 � 9 = 0 �! K = N
Reakcje podpór: = �! x = 9 m
K 4
6 x

Pix = 0 2 - HA = 0 �! HA = 2 N
4 3

lub: K � + � 4 - 1 � 9 = 0
5 5
4812 K
MiA = 0 3 � 6 + 2 � 3 - VB � 12 = 0 �! VB = 2 N
12

K + - 1 � 9 = 0
5 5
Piy = 0 VA + VB - 3 = 0 �! VA = 1 N
K � 12 - 1 � 9 = 0
Nietypowe przekroje Rittera
W niektórych przypadkach można zastosować metodę Rittera przecinając
większą liczbę prętów (więcej niż 3 pręty). Można tak zrobić, gdy
zauważymy, że jeden z przeciętych prętów jest zerowy, znamy wartość siły
w pręcie lub gdy osie wszystkich przeciętych prętów przecinają się w
jednym punkcie.
rG 15
"1 "
sin ą = = �! rG = m
15
10 10
rG 15
"3 "
lub: cos � = = �! rG = m
5
10 10
"

I 15
"
MR = 0 G � + 1 � 6 = 0 �! G = -2 10 N
G 5
10
"3 "1
lub: G � � 4 + G � � 3 + 1 � 6 = 0
10 10

"
12
MR = 0 G � 2a + P � a + P � 2a = 0 �! G = -3P
" "3
G + + 1 � 6 = 0 �! G = -2 10 N G
2
5
10 10
Nietypowe przekroje Rittera (cd) Nietypowe przekroje Rittera (cd)

MR = 0 5 � 3 + G � 4 = 0
G

15
G = - MR = 0 G � 3 + 6 � 4 = 0 MR = 0 -S � 2l - 2P � l = 0
G G
4
G = -8 N S = -P
Podsumowanie Metody wykreślne rozwiązywania kratownic
Na podstawie przedstawionych przykładów można zauważyć, że
Jeśli układ kratownicowy jest w równowadze, siły w każdym węz
le
w metodzie Rittera wykorzystywane są alternatywne warunki
kratownicy powinny tworzyć zamknięte wieloboki sił.
równowagi płaskiego dowolnego US działającego na CS.
Zamiast osobno rozpatrywać równowagę w węzłach kratownicy
W kratownicach o pasach nierównoległych w jednym przekroju
można wykreślić wszystkie siły na planie sił Cremony.
Rittera występują 3 punkty Rittera.
W przeszłości metoda Cremony znajdowała praktyczne zastosowanie
W kratownicach o pasach równoległych w jednym przekroju Rittera
w przypadku rozwiązywania kratownic złożonych z dużej liczby
występują 2 punkty Rittera. Aby obliczyć siłę w krzyżulcu należy
prętów (ze względów rachunkowych metoda analityczna była
w tym przypadku skorzystać dodatkowo z równania sumy rzutów sił
kłopotliwa).
na prostą prostopadłą do pasów kratownicy.
Metody wykreślne pozwalają na graficzną wizualizację pracy
Możemy korzystać z nietypowych przekrojów Rittera (przekrój
konstrukcji  modułów (długości) i zwrotów (ściskanie,
poprowadzony przez więcej niż 3 pręty) o ile znamy wartości
rozciąganie) wektorów sił, co jest istotne na etapie projektowania
nadmiarowych niewiadomych albo kierunki sił we wprowadzonym
geometrii kratownic (optymalizacja topologii).
przekroju przecinają się jednym punkcie.
Zastosowanie metod wykreślnych Graficzna metoda równoważenia węzłów
Przykład 1: Korzystając z metod wykreślnych rozwiąż kratownicę
przedstawioną na rysunku.
Węzeł G Węzeł E Węzeł F Węzeł D
Węzeł C Węzeł B Węzeł A
Wyznaczamy kierunki reakcji korzystając
z twierdzenia o trzech siłach. Następnie
budujemy wielobok sił  układ jest w
równowadze jeśli wielobok sił jest
zamknięty.
Plan sił Cremony Plan sił Cremony (cd)
Najpierw wykreślamy
wielobok sił zewnętrznych
Legenda:
(w kolejności z jaką
obchodzimy kratownicę),
 rozciąganie (+)
a następnie kreślimy
 ściskanie ( )
wieloboki sił odpowiadające
poszczególnym węzłom.
 pręt zerowy
Zwroty sił zaznaczmy na
planie kratownicy.
Plan sił Cremony (cd) Plan sił Cremony (cd)
Przykład 2: Dla kratownicy przedstawionej na rysunku sporządz
plan sił
Cremony.
W pierwszej kolejności
wyznaczamy wartości
reakcji. Należy w tym
przypadku skorzystać
z analitycznych równań
równowagi.
Wykreślamy wielobok sił zewnętrznych (mamy tu do czynienia z układem sił
równoległych), a następnie kreślimy wieloboki sił odpowiadające poszczególnym
węzłom. Zwroty sił zaznaczmy na planie kratownicy.
Plan sił Cremony (cd)
Legenda:
 rozciąganie (+)
 ściskanie ( )