Plan prezentacji
Politechnika Rzeszowska
Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska
Katedra Mechaniki Konstrukcji
Analiza budowy układów CS
Stopnie swobody, geometryczna niezmienność
Mechanika teoretyczna
Warunki geometrycznej niezmienności układów
Wykład 6: Statyka (cd)
Twierdzenie o zamianie tarczy na pręt
Piotr Nazarko
Przykłady analizy budowy układów
pnazarko.sd.prz.edu.pl
Belki i ramy proste
Belki przegubowe
Studia niestacjonarne
Rzeszów 2012
Stopnie swobody
Liczbą stopni swobody układu jest liczba niezależnych
współrzędnych, określających jednoznaczne jego położenie.
Punkt na płaszczyz
nie ma 2 Punkt w przestrzeni ma 3
stopnie swobody. stopnie swobody.
ANALIZA BUDOWY UKA
ADÓW CS
Tarcza na płaszczyz
nie ma 3 Bryła w przestrzeni ma 6
stopnie swobody. stopni swobody.
Stopnie swobody Układy geometrycznie zmienne
Jeden przegub jest równoważny 2
Jeden pręt pozbawia
więzom elementarnym i pozbawia Pręty przecinają się w jednym punkcie
tarczę jednego stopnia
tarczę 2 stopni swobody.  przegub (lub przegub umowny).
swobody.
Pręty łączące tarcze są
równoległe.
Aby pozbawić tarczę wszystkich 3 stopni swobody należy
przymocować ją do nieruchomego układu odniesienia (ostoi) za
pomocą prętów o kierunkach nierównoległych i nie przecinających
się w jednym punkcie, lub za pomocą przegubu i jednego pręta,
którego oś nie przechodzi przez ten przegub.
Układy geometrycznie niezmienne Układy geometrycznie niezmienne (cd)
3. Trzy tarcze wzajemnie połączone za pomocą przegubów nie
Układ tarcz nazywamy wewnętrznie geometrycznie
leżących na jednej prostej stanowią układ WGN.
niezmiennym (WGN) jeśli można go zastąpić jedną tarczą.
1. Dwie tarcze połączone za pomocą przegubu i więzi
elementarnej o osi nie przechodzącej przez przegub tworzą
układ WGN.
2. Dwie tarcze połączone za pomocą trzech więzi elementarnych
Tarcze tak połączone nie mogą wykonywać żadnych ruchów
jednocześnie nierównoległych i niezbieżnych stanowią układ
względem siebie!
WGN.
Warunek ilościowy Warunek ilościowy i jakościowy
V = 3t - 2b - p - 3
gdzie:
Przykład: Czy układ przedstawiony na rysunku jest GN?
V  liczba stopni swobody,
t  liczba tarcz z uwzględnieniem ostoi,
t = 2
b  liczba przegubów z uwzględnieniem ich krotności,
b = 0
p  liczba więzi elementarnych łączących tarcze (prętów).
p = 4
V = 3 � 2 - 2 � 0 - 4 - 3 = -1 < 0
Warunkiem koniecznym
geometrycznej niezmienności
Warunek ilościowy jest spełniony, ale układ jest geometrycznie
jest V 0.
zmienny ponieważ kierunki wszystkich prętów łączących tarcze
przecinają się w jednym punkcie (tworzą przegub).
Nie jest to warunek wystarczający.
Oprócz warunku ilościowego musi
być także spełniony warunek
jakościowy!
Warunek ilościowy i jakościowy (cd) Warunek ilościowy i jakościowy (cd)
Jeżeli liczba niewiadomych reakcji jest większa od liczby równań
równowagi to układ nazywamy statycznie niewyznaczalnym.
Gdy V = 0 i spełniony jest warunek jakościowy to układ jest
Stopień statycznej niewyznaczalności układu wynosi n = -V .
geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny.
Przykład: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Gdy V < 0 i spełniony jest warunek jakościowy to układ jest
geometrycznie niezmienny i statycznie niewyznaczalny.
Gdy V > 0 układ jest geometrycznie zmienny.
Układ nazywamy statycznie wyznaczalnym, jeżeli wszystkie
t = 2 p = 4 V = 3 � 2 - 4 - 3 = -1
reakcje (zewnętrzne i wewnętrzne) można wyznaczyć z równań
Układ geometrycznie niezmienny (GN) statycznie niewyznaczalny
równowagi.
(SN), n = 1.
Przykład: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Przykład: Przeprowadz
analizę budowy układu.

t = 5 b = 6 p = 0
t = 4 b = 2 p = 5 a)
V = 3 � 5 - 2 � 6 - 0 - 3 = 15 - 15 = 0 �! UMGN
V = 3 � 4 - 2 � 2 - 5 - 3 = 12 - 12 = 0 �! UMGN
t = 3 b = 2 p = 2
b)
Ponieważ warunek jakościowy jest spełniony (co oczywiście zawsze
V = 3 � 3 - 2 � 2 - 2 - 3 = 9 - 9 = 0 �! UMGN
należy wykazać!), układ jest geometrycznie niezmienny (GN) i
Warunek jakościowy jest spełniony zarówno w przypadku a), jak i
statycznie wyznaczalny (SW).
b)  układ jest geometrycznie niezmienny (GN) i statycznie
wyznaczalny (SW).
Przykład: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Przykład: Przeprowadz
analizę budowy układu.
t = 3 b = 1 p = 4
V = 3 � 3 - 2 � 1 - 4 - 3 = 9 - 9 = 0 �! UMGN
t = 5 b = 5 p = 2
Warunek jakościowy nie jest spełniony  układ jest geometrycznie
V = 3 � 5 - 2 � 5 - 2 - 3 = 15 - 15 = 0 �! UMGN
zmienny (GZ).
Warunek jakościowy nie jest spełniony  układ jest geometrycznie
zmienny (GZ).
Twierdzenie (o zamianie tarczy na pręt)
Przykład: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Jeżeli jakaś tarcza (również tarcza podłoża) połączona jest
z innymi tarczami za pomocą dwóch przegubów to można ją
traktować jako pręt. Twierdzenie odwrotne jest także prawdziwe.
GZ
Przykład: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Przykład: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Trzy tarcze połączone
przegubami leżącymi na
GZ
jednej linii  układ GZ.
Przykład: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Przykład: Przeprowadz
analizę budowy układu.
t = 3
b = 2
GZ
p = 2
SW
t = 3
V = 0
b = 2
UMGN
p = 2
V = 0 �! UMGN
Przykład: Przeprowadz
analizę budowy układu.
Tarcze 1 i 2 połączone są w sposób GN, ale za dużą ilością więzów.
Całość połączona z tarczą podłoża za małą liczbą więzów  GZ.
t = 2 b = 0 p = 3 V = 0 �! UMGN GZ
Przykłady belek, dla których warunek ilościowy geometrycznej
niezmienności i statycznej wyznaczalności jest spełniony (V = 0).
Układy GN i SW Układy GZ
PRZYKA
ADY ANALIZY BUDOWY UKA
ADÓW
Jedną z metod badania geometrycznej niezmienności układu jest
sprzeczność równań równowagi. Obciążamy układ dowolną siłą
Przykłady ram prostych, dla których warunek ilościowy
zewnętrzną i sprawdzamy, czy rozwiązanie układów równań równowagi
geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności jest
nie prowadzi do sprzeczności.
spełniony (V = 0).
Układy GN i SW Układy GZ

Piy = 0 VB - P = 0
MiA = 0 P � l = 0
VB = P

 sprzeczność
MiA = 0 P � l - VB � 2l = 0
P
VB =  sprzeczność
2
Przykłady analizy budowy układu
Badanie
wyznacznika
Zad. 1. Przeprowadz
analizę budowy układu.
głównego
równań
równowagi
"

Pix = 0 HA - RC 22 = 0
"

Piy = 0 VB + RC 22 - P = 0

MiC = 0 HA � a + VB � a - P � 2a = 0 / : a
Ponieważ det W = 0 układ równań
HA VB RC

"
nie ma jednoznacznego rozwiązania
2
1 0
- t = 3 p = 6
"2
(jest ich nieskończenie wiele). Układ
2
det = 0
V = 3 � 3 - 6 - 3 = 0 UMGN
0 1
2
geometrycznie zmienny! Układ GN i SW

1 1 0
Przykłady analizy budowy układu (cd.) Przykłady analizy budowy układu (cd.)
Zad. 3. Przeprowadz
analizę budowy układu.
Zad. 2. Przeprowadz
analizę budowy układu.
t = 3 b = 1 p = 4
t = 3 b = 1 p = 4
V = 3 � 3 - 2 � 1 - 4 - 3 = 0 UMGN
Układ GZ
V = 3 � 3 - 2 � 1 - 4 - 3 = 0 UMGN
Układ GN i SW
Przykłady analizy budowy układu (cd.) Przykłady analizy budowy układu (cd.)
Zad. 5. Przeprowadz
analizę budowy układu.
Zad. 4. Przeprowadz
analizę budowy układu.
t = 3 b = 1 p = 4
V = 3 � 3 - 2 � 1 - 4 - 3 = 0
UMGN
Układ GZ, bo trzy przeguby
(jeden rzeczywisty i dwa
umowne) leżą na jednej
prostej.
t = 4 b = 1 p = 7
V = 3 � 4 - 2 � 1 - 7 - 3 = 0 UMGN
Układ GN i SW
Przykłady analizy budowy układu (cd.) Przykłady analizy budowy układu (cd.)
Zad. 7. Przeprowadz
analizę budowy układu.
Zad. 6. Przeprowadz
analizę budowy układu.
t = 4 b = 3 p = 3
V = 3 � 4 - 2 � 3 - 3 - 3 = 0
UMGN
t = 3 b = 1 p = 4
Układ GN i SW.
V = 3 � 3 - 2 � 1 - 4 - 3 = 0 UMGN
Układ GZ
Przykłady analizy budowy układu (cd.)
W przypadku ram z konturami zamkniętymi sztywno, liczbę stopni
swobody obliczać możemy ze wzoru
V = 3 � t - 2 � b - p - 3 - 3 � z
Zad. 8. Przeprowadz
analizę budowy układu.
gdzie z jest liczbą połączeń typu  z .
Zad. 9. Przeprowadz
analizę budowy układu.
t = 2 b = 1 p = 3
V = 3 � 2 - 2 � 1 - 3 - 3 = -2 UMGN
Układ GN i SN
n = -V = 2
t = 2 b = 0 p = 3 z = 1
n = -V = 3
V = 3 � 2 - 3 - 3 - 3 � 1 = -3 UMGN
Układ GN i SN
Warunek konieczny GN i SW Przykłady schematów pracy (cd.)
Warunek konieczny geometrycznej niezmienności i statycznej
wyznaczalności w przypadku belek przegubowych
liczba niewiadomych = liczba równań równowagi
r = 3 + b
gdzie r jest liczbą reakcji (więzów) podporowych, a b liczbą przegubów
łączących belki między sobą.
Przykłady schematów pracy belek przegubowych.
Przykłady belek GZ
Jeżeli pomimo spełnieni warunku r = 3 + b nie można zbudować
logicznego schematu pracy, świadczy to o geometrycznej zmienności belki.
a)
b)
c)
r = 5
3 + b = 3 + 2 = 5