60476

KanoRrufiu mtrtemutytytu. Elementy teorii powierzchni Odwątriiwanir powierzchni rui ptiwieruhnif.

Weźmy powierzchnię daną równaniem wektorowym r = r(u,v). Na tej powierzchni przez punkt P prowadzimy linie parametryczne u=consl., v-consi. Parametrom u i v (liniom parametrycznym) nadajemy różniczki du i dv. W wyniku tego otrzymujemy nowe linie parametryczne przecinające się w punkcie Pi (rys. 3). Punkty P i Pi łączymy tukiem o długości ds: chcemy znaleźć długość ds.

r

Wyznaczymy w tym celu różniczkę dr wektora

dr = r^-du + ^Ę-dv = r.du + r_tdv ou ov

Przyjmuje się, źc

ds = \dr\ = 4dr • dr

(6)

(7)

Wygodniej jest posłużyć się wyrażeniem ds.'

ds² = dr ■ dr

Wstawiając wyrażenie (6) do wzoru (8) otrzymujemy

ds² = r_m • r_mdu² + 2r • r_tdudv+r_r • r_rdv^:

(8)

(9)

I forma kwadratowa powierzchni (10)

| ds - - lulu • f 2 r dudv ł

gdzie: E * r_¥ • r., F = r_m • r,, G = r_v- r_r

Wyrażenie (10) nosi nazwę pierwszej formy kwadratowej powierzchni, zaś wyrażeniu E.F.G są jej współczynnikami.

Do pierwszej formy kwadratowej możemy również dojść korzystając z zależności:

ds² = dx² + dy² +dz²    (II)

43 Kai między krzy wymi na powierzchni i elementarne pole pow ierzchni

2